2024屆遼寧省五校聯(lián)考數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆遼寧省五校聯(lián)考數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,則=()A. B. C. D.2.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶,每個單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()A. B. C. D.3.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.164.向量,,且,則()A. B. C. D.5.已知,是雙曲線的兩個焦點,過點且垂直于軸的直線與相交于,兩點,若,則△的內(nèi)切圓的半徑為()A. B. C. D.6.棱長為2的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球,過正方體中兩條異面直線,的中點作直線,則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為()A. B. C. D.17.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.38.已知等差數(shù)列的前項和為,,,則()A.25 B.32 C.35 D.409.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.10.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.11.若集合M={1,3},N={1,3,5},則滿足M∪X=N的集合X的個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.412.學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個等級.某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科,這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中,這兩科等級均為的學(xué)生有人,這兩科中僅有一科等級為的學(xué)生,其另外一科等級為,則該班()A.物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人B.物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至少有人C.這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至多有人D.這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至少有人二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點處的切線方程為________.14.如圖,在正四棱柱中,P是側(cè)棱上一點,且.設(shè)三棱錐的體積為,正四棱柱的體積為V,則的值為________.15.若,則________,________.16.已知函數(shù),若,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)直線與拋物線相交于,兩點,且,若,到軸距離的乘積為.(1)求的方程;(2)設(shè)點為拋物線的焦點,當(dāng)面積最小時,求直線的方程.18.(12分)如圖所示,三棱柱中,平面,點,分別在線段,上,且,,是線段的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)設(shè)橢圓:的左、右焦點分別為,,下頂點為,橢圓的離心率是,的面積是.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線與橢圓交于,兩點(異于點),若直線與直線的斜率之和為1,證明:直線恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo).20.(12分)已知三棱錐P-ABC(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形ABCD為邊長等于的正方形,和均為正三角形,在三棱錐P-ABC中:(1)證明:平面平面ABC;(2)若點M在棱PA上運動,當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時,求直線MA與平面MBC所成角的正弦值.21.(12分)網(wǎng)絡(luò)看病就是國內(nèi)或者國外的單個人、多個人或者單位通過國際互聯(lián)網(wǎng)或者其他局域網(wǎng)對自我、他人或者某種生物的生理疾病或者機器故障進行查找詢問、診斷治療、檢查修復(fù)的一種新興的看病方式.因此,實地看病與網(wǎng)絡(luò)看病便成為現(xiàn)在人們的兩種看病方式,最近某信息機構(gòu)調(diào)研了患者對網(wǎng)絡(luò)看病,實地看病的滿意程度,在每種看病方式的患者中各隨機抽取15名,將他們分成兩組,每組15人,分別對網(wǎng)絡(luò)看病,實地看病兩種方式進行滿意度測評,根據(jù)患者的評分(滿分100分)繪制了如圖所示的莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷患者對于網(wǎng)絡(luò)看病、實地看病那種方式的滿意度更高?并說明理由;(2)若將大于等于80分視為“滿意”,根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表:滿意不滿意總計網(wǎng)絡(luò)看病實地看病總計并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān)?(3)從網(wǎng)絡(luò)看病的評價“滿意”的人中隨機抽取2人,求這2人平分都低于90分的概率.附,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,滿足.有三個條件:①;②;③.其中三個條件中僅有兩個正確,請選出正確的條件完成下面兩個問題:(1)求;(2)設(shè)為邊上一點,且,求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先求出集合A,B,再求集合B的補集,然后求【詳解】,所以.故選:D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率,利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式的計算,涉及到排列與組合的應(yīng)用,在正面情況較多時,可以先求其對立事件,即甲、乙兩人在同一個單位的概率,本題有一定難度.3、C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.4、D【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運算以及誘導(dǎo)公式,即可得出答案.【詳解】故選:D【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.5、B【解析】

設(shè)左焦點的坐標(biāo),由AB的弦長可得a的值,進而可得雙曲線的方程,及左右焦點的坐標(biāo),進而求出三角形ABF2的面積,再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設(shè)左焦點,由題意可得,由,可得,所以雙曲線的方程為:所以,所以三角形ABF2的周長為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,所以三角形的面積,所以,解得,故選:B【點睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法,內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應(yīng)用,屬于中檔題.6、C【解析】

連結(jié)并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,推導(dǎo)出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長.【詳解】如圖,MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故選:C.【點睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.7、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結(jié)果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個向量垂直,,且與的夾角為,說明以向量,為鄰邊,為對角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差,即可根據(jù)題意列出兩個方程,求出通項公式,從而求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為,則,解得,∴,即有.故選:C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的求法和應(yīng)用,涉及等差數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用,屬于容易題.9、D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個三棱錐,如圖所示,將其放在一個長方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點睛】本題主要考查三視圖的識別,復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時,一般借助長方體來實現(xiàn).10、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則,可得,然后利用復(fù)數(shù)模的概念,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:由,所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.11、D【解析】可以是共4個,選D.12、D【解析】

根據(jù)題意分別計算出物理等級為,化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級為,化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù),結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進行分析,可得出合適的選項.【詳解】根據(jù)題意可知,名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人(其中物理化學(xué)的有人,物理化學(xué)的有人),表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對于A選項,物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人,A選項錯誤;對于B選項,當(dāng)物理和,化學(xué)都是時,或化學(xué)和,物理都是時,物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少,至少為(人),B選項錯誤;對于C選項,在表格中,除去物理化學(xué)都是的學(xué)生,剩下的都是一科為且最高等級為的學(xué)生,因為都是的學(xué)生最少人,所以一科為且最高等級為的學(xué)生最多為(人),C選項錯誤;對于D選項,物理化學(xué)都是的最多人,所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生最少(人),D選項正確.故選:D.【點睛】本題考查合情推理,考查推理能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求導(dǎo),得到和,利用點斜式即可求得結(jié)果.【詳解】由于,,所以,由點斜式可得切線方程為.故答案為:.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)正四棱柱的底面邊長,高,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得.【詳解】解:設(shè)正四棱柱的底面邊長,高,則,即故答案為:【點睛】本題考查柱體、錐體的體積計算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式計算得到答案.【詳解】,故.故答案為:;.【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式和二倍角公式,屬于簡單題.16、【解析】

根據(jù)題意,利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為函數(shù),其定義域為,所以其定義域關(guān)于原點對稱,又,所以函數(shù)為奇函數(shù),因為,所以.故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì);考查運算求解能力;熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)設(shè)出兩點的坐標(biāo),由距離之積為16,可得.利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算,將轉(zhuǎn)化為.再利用兩點均在拋物線上,即可求得p的值,從而求出拋物線的方程;(2)設(shè)出直線l的方程,代入拋物線方程,由韋達(dá)定理發(fā)現(xiàn)直線l恒過定點,將面積用參數(shù)t表示,求出其最值,并得出此時的直線方程.【詳解】解:(1)由題設(shè),因為,到軸的距離的積為,所以,又因為,,,所以拋物線的方程為.(2)因為直線與拋物線兩個公共點,所以的斜率不為,所以設(shè)聯(lián)立,得,即,,即直線恒過定點,所以,當(dāng)時,面積取得最小值,此時.【點睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,直線與拋物線相交的問題,其中垂直條件的轉(zhuǎn)化,直線過定點均為該題的關(guān)鍵,屬于綜合性較強的題.18、(Ⅰ)證明見詳解;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)取中點為,根據(jù)幾何關(guān)系,求證四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.【詳解】(Ⅰ)取的中點,連接,.如下圖所示:因為,分別是線段和的中點,所以是梯形的中位線,所以.又,所以.因為,,所以四邊形為平行四邊形,所以.所以,.所以四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因為,且平面,故可以為原點,的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:不妨設(shè),則,所以,,,,.所以,,.設(shè)平面的法向量為,則所以可取.設(shè)直線與平面所成的角為,則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及用向量法求解線面角,屬綜合中檔題.19、(1);(2)證明見解析,.【解析】

(1)根據(jù)離心率和的面積是得到方程組,計算得到答案.(2)先排除斜率為0時的情況,設(shè),,聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到,,根據(jù)化簡得到,代入直線方程得到答案.【詳解】(1)由題意可得,解得,,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)當(dāng)直線的斜率為0時,直線與直線關(guān)于軸對稱,則直線與直線的斜率之和為零,與題設(shè)條件矛盾,故直線的斜率不為0.設(shè),,直線的方程為聯(lián)立,整理得則,.因為直線與直線的斜率之和為1,所以,所以,將,代入上式,整理得.所以,即,則直線的方程為.故直線恒過定點.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線過定點問題,計算出是解題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.20、(1)見解析(2)【解析】

(1)設(shè)的中點為,連接.由展開圖可知,,.為的中點,則有,根據(jù)勾股定理可證得,則平面,即可證得平面平面.(2)由線面成角的定義可知是直線與平面所成的角,且,最大即為最短時,即是的中點建立空間直角坐標(biāo)系,求出與平面的法向量利用公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)AC的中點為O,連接BO,PO.由題意,得,,.在中,,O為AC的中點,,在中,,,,,.,平面,平面ABC,平面PAC,平面平面ABC.(2)由(1)知,,,平面PAC,是直線BM與平面PAC所成的角,且,當(dāng)OM最短時,即M是PA的中點時,最大.由平面ABC,,,,于是以O(shè)C,OB,OD所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)平面MBC的法向量為,直線MA與平面MBC所成角為,則由得:.令,得,,即.則.直線MA與平面MBC所成角的正弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查線面成角問題,借助空間向量是解決線面成角問題的關(guān)鍵,難度一般.21、(1)實地看病的滿意度更高,理由見解析;(2)列聯(lián)表見解析,有;(3).【解析】

(1)對實地看病滿意度更高,可以從莖葉圖四個方面選一個回答即可;(2)先完成列聯(lián)表,再由獨立性檢驗得有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān);(3)利用古典概型的概率公式求得這2人平分都低于90分的概率.【詳解】(1)對實地看病滿意度更高,理由如下:(i)由莖葉圖可知:在網(wǎng)絡(luò)看病中,有的患者滿意度評分低于80分;在實地看病中,有的患者評分高于80分,因此患者對實地看病滿意度更高.(ii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病滿意度評分的中位數(shù)為73分,實地看病評分的中位數(shù)為87分,因此患者對實地看病滿意度更高.(iii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評分平均分低于80分;實地看病的滿意度的評分平均分高于80分,因此患者對實地看病滿意度更高.(iV)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評分在莖6上的最多,關(guān)于莖7

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