第二章多項(xiàng)式插值-()

第二章函數(shù)基本逼近（一）

——插值逼近1湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院§1引言函數(shù)逼近:

數(shù)學(xué)中的基本問(wèn)題,最活躍的研究領(lǐng)域之一數(shù)值計(jì)算中函數(shù)表示的重要方法本質(zhì)是討論如何用簡(jiǎn)單函數(shù)近似代替復(fù)雜函數(shù)簡(jiǎn)單函數(shù)曲線(xiàn)擬合離散數(shù)據(jù)的方法、理論及其實(shí)現(xiàn)。2湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院簡(jiǎn)單函數(shù)逼近函數(shù)復(fù)雜函數(shù)被逼近函數(shù)近似代替逼近基本術(shù)語(yǔ)：討論如何用簡(jiǎn)單的函數(shù)一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)近似地代替的方法、理論及其實(shí)現(xiàn).

近似代替又叫做逼近

.被逼近的函數(shù)

或被近似的函數(shù)

逼近的函數(shù)

或近似的函數(shù)

即3湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院函數(shù)逼近是數(shù)值分析的許多分支的理論基礎(chǔ).

例如:數(shù)值積分;數(shù)值微分;微分方程數(shù)值解;曲線(xiàn)曲面擬合;函數(shù)值近似計(jì)算;等等4湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院從逼近論的觀點(diǎn)，通常有兩種意義下的逼近：局部逼近整體逼近1、局部逼近所謂局部逼近就是求函數(shù)在某點(diǎn)附近的近似最常用的逼近方法：Taylor逼近方法理論依據(jù)：Taylor定理5湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院定理1.1設(shè)n為一非負(fù)整數(shù)，在點(diǎn)某一鄰域有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，有

則對(duì)的這里，n次Taylor逼近多項(xiàng)式和誤差余項(xiàng)分別為(1.1)(1.2)(1.3)6湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院注意：1、Taylor逼近多項(xiàng)式滿(mǎn)足以下逼近要求

2、Taylor逼近是一種局部逼近在一點(diǎn)處的信息.僅利用了被逼近的函數(shù)下面舉例說(shuō)明Taylor多項(xiàng)式的逼近效果.7湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解由(1.2)式和(1.3)式易求得(1.2)(1.3)直觀理解可以參見(jiàn)下圖。8湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院(a)的一次和二次Taylor逼近函數(shù)

(b)的一次和二次Taylor逼近誤差(a)(b)9湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院因此，Taylor逼近適合作函數(shù)的局部逼近.由此可見(jiàn)：誤差不是均勻分布的.當(dāng)x越偏離x0誤差就越大即當(dāng)x越接近x0誤差就越小；我們將主要討論整體逼近問(wèn)題:即對(duì)定義域上的所有點(diǎn).近似函數(shù)對(duì)被逼近函數(shù)的逼近函數(shù)曲線(xiàn)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的擬合考慮:10湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例2

求區(qū)間[0,1.5]上的二次（拋物）曲線(xiàn),要求該曲線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)解設(shè)所求拋物線(xiàn)的方程為

利用待定系數(shù)法，可得此例將引出所謂的

Lagrange型多項(xiàng)式插值問(wèn)題,這時(shí)給定的樣本數(shù)據(jù)僅包含函數(shù)值.11湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例3

求區(qū)間[0,1]上的三次曲線(xiàn)，要求該函數(shù)曲線(xiàn)過(guò)且其一階導(dǎo)函數(shù)曲線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)和(即函數(shù)曲線(xiàn)在0,1點(diǎn)處的斜率分別為0和1).和樣本點(diǎn)解設(shè)所求的三次曲線(xiàn)為類(lèi)似于例2的計(jì)算，可得12湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院上例將引出所謂的Hermite型多項(xiàng)式插值問(wèn)題此時(shí)