3.1離散型隨機(jī)變量的均值+課件-【知識(shí)精講精研】高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

3.1離散型隨機(jī)變量的均值1.理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)，達(dá)到邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)水平一的層次；2.會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值，達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平一的層次；3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平一的層次；

環(huán)節(jié)一離散型隨機(jī)變量的均值我們回顧一下本章§2中的例1：已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品.從這10件產(chǎn)品中任取3件，用X表示取得產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù).我們可求得X的分布列如表：現(xiàn)在我們關(guān)心，取3件該產(chǎn)品時(shí),平均會(huì)取到幾件不合格品？那么，怎樣的一個(gè)數(shù)能夠“代表”這個(gè)隨機(jī)變量取值的平均水平呢?1、離散型隨機(jī)變量的均值k012P(X=k)分析由平均數(shù)的意義,西瓜的平均質(zhì)量應(yīng)為12個(gè)瓜的總質(zhì)量除以西瓜的總個(gè)數(shù)，即問(wèn)題1設(shè)有12個(gè)西瓜，其中有4個(gè)質(zhì)量是5kg,3個(gè)質(zhì)量是6kg,5個(gè)質(zhì)量是7kg,求這12個(gè)西瓜的平均質(zhì)量.①式也可寫(xiě)成如下形式:①②1、離散型隨機(jī)變量的均值思考1：上面的紅圈里面的式子的意義是什么？分別為質(zhì)量是5kg，6kg和7kg的西瓜個(gè)數(shù)在總個(gè)數(shù)中所占的比例思考2：從上面的例子中，你知道可以怎么求數(shù)據(jù)的平均值？1、離散型隨機(jī)變量的均值平均值=數(shù)值乘以對(duì)應(yīng)的占比k012P(X=k)思考3：那你能求出下面的分布列的平均值？平均數(shù)0.6就代表“取次品問(wèn)題”中隨機(jī)變量X的平均取值。設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：xix1x2…xi…xnP(X=xi)p1p2…pi…pn則稱EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望）.

1、離散型隨機(jī)變量的均值1.理解隨機(jī)變量X的意義，寫(xiě)出X所有可能的取值.2.求出X取每個(gè)值的概率P（X＝k）.3.寫(xiě)出X的分布列.4.利用均值的定義求EX.思考4：你能歸納出隨機(jī)變量X的均值的求解步驟嗎？1、離散型隨機(jī)變量的均值思考4：兩個(gè)分布列的均值（期望）能一樣嗎？1、離散型隨機(jī)變量的均值可以一樣，所以均值（期望）只能表示數(shù)據(jù)的“中心位置”，不能反映出數(shù)據(jù)的所有特點(diǎn)思考5：前面我們學(xué)過(guò)兩點(diǎn)分布，你能求出兩點(diǎn)分布的均值（期望）嗎？解

依題意知EX=0·P(X=0)+l·P(X=1)=0·(1-p)）+1·p=p.因此，當(dāng)X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布時(shí)，其均值EX=p.例1設(shè)X表示拋擲一枚均勻骰子擲岀的點(diǎn)數(shù)，求EX.解

依題意知X的分布列為i123456P(X=xi)根據(jù)均值的定義，可知1、離散型隨機(jī)變量的均值2、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且EX＝1.6，則a－b等于（）X0123P0.1ab0.1A.0.2B.0.1C.－0.2D.－0.4解析：由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.又由EX＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，則a－b＝－0.2.C例3一個(gè)袋子里裝有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè),則取出的紅球個(gè)數(shù)的均值是多少？解設(shè)X表示取出紅球的個(gè)數(shù)，則X的取值為0,1,21、離散型隨機(jī)變量的均值故X的分布列如表X012P根據(jù)均值的定義，可知例4袋中有4只紅球，3只黑球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值.解答：取出4只球顏色及得分的分布情況是4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，X的可能取值為5，6，7，8，

2、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)X5678P

故X的分布列為例5根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期暴發(fā)小洪水的概率為0.25，暴發(fā)大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案:方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元.方案2：建一保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水.方案3：不釆取措施，希望不發(fā)生洪水.此時(shí)遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元.你會(huì)選擇哪一種方案呢？1、離散型隨機(jī)變量的均值解

用X1,X2和X3分別表示以上3種方案的損失.采用方案1,無(wú)論有無(wú)洪水，都損失3800元，即X1=3800,故EX1=3800（元）.采用方案2,遇到大洪水時(shí)，損失2000+60000=62000（元）；沒(méi)有大洪水時(shí)，損失2000元.因此，EX2

=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600（元）.采用方案3,遇到大洪水時(shí)，損失60000元；遇到小洪水時(shí)，損失10000元；無(wú)洪水時(shí),損失為0元.因此，EX3=60000×0.01+10000×0.25+0×(1-0.01-0.25)=3100（元）由此可見(jiàn)，平均而言方案2的損失最小，可供選擇.1、離散型隨機(jī)變量的均值

1、離散型隨機(jī)變量的均值

X－4136P

環(huán)節(jié)二離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【證明】若Y=aX+b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量.所以，Y的分布列為··················2、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)思考1：若Y=ax+b，如何求出EY呢？

例1

已知隨機(jī)變量X的分布列為X－2－1012P

m

解答：由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得

由Y＝－2X，得EY＝－2EX，

2、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)例2已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，求m的值。ξ1234P

mn

2、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)

例3：某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示：規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.歌曲ABC猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元1000200030002、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)解

分別用A,B,C表示猜對(duì)歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨(dú)立X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.1922、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)環(huán)節(jié)三均值的應(yīng)用例1隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為X.（1）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即X的均值）；（1）EX＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋（－2）×0.02＝4.34（萬(wàn)元）.3、均值的應(yīng)用例1隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為X.3、均值的應(yīng)用（2）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1％，一等品率提高為70％.若此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？（2）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為EX＝6×0.7＋2×（1－0.7－0.01－x）＋1×x＋（－2）×0.01＝4.76－x（0≤x≤0.29），依題意，EX≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多為3％.例2某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間x（年）0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轎車數(shù)量（輛）2345545每輛利潤(rùn)（萬(wàn)元）1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問(wèn)題：3、均值的應(yīng)用（1）從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；

例2某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間x（年）0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轎車數(shù)量（輛）2345545每輛利潤(rùn)（萬(wàn)元）1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問(wèn)題：3、均值的應(yīng)用（2）若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2，分別求X1，X2的分布列；（2）若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2，分別求X1，X2的分布列；解析

（2）依題意得，X1的分布列為X1123P

X2的分布列為X21.82.9P

例2某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間x（年）0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轎車數(shù)量（輛）2345545每輛利潤(rùn)（萬(wàn)元）1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問(wèn)題：3、均值的應(yīng)用（3）該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說(shuō)明理由.（3）該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只