2001年高考試題天津卷

高中數(shù)學(xué)網(wǎng)站長(zhǎng)：鄭建軍PAGE4-2001年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁(yè).第Ⅱ卷3至10頁(yè).共150分.考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）注意事項(xiàng)：1．答第Ⅰ卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2．每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,不能答在試題卷上.3．考試結(jié)束,監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式：如果事件A、B互斥,那么正棱錐、圓錐的側(cè)面積公式P（A·B）=P（A）·P（B）其中c表示底面周長(zhǎng),L表示斜高或母線長(zhǎng)Pn(k)=CknPk(1-P)n-k其中S表示底面積,h表示高一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（1）函數(shù)的周期，振幅依次是（A）4π、3 （B）4π、-3 （C）π、3 （D）π、-3分析：本題考查三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題。本題選A，難度為★（2）若Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=n2,則{an}是（A）等比數(shù)列,但不是等差數(shù)列（B）等差數(shù)列,但不是等比數(shù)列（C）等差數(shù)列,而且也是等比數(shù)列（D）既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列分析：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和都能寫成一個(gè)關(guān)于項(xiàng)數(shù)的二次函數(shù)形式。本題選B，難度為★（3）過(guò)點(diǎn)A（1,-1）、B（-1,1）且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是（A）(x-3)2+(y+1)2=4（B）(x+3)2+(y-1)2=4（C）(x-1)2+(y-1)2=4（D）(x+1)2+(y+1)2=4分析：本題考查直線和圓的問(wèn)題。對(duì)于求圓的方程，可以采用兩種策略，一是可以找到圓上的三個(gè)點(diǎn)聯(lián)立解方程組；二是求出圓心和半徑。而第二種策略往往比較簡(jiǎn)單。本題選C，難度為★★（4）若定義在區(qū)間（-1,0）內(nèi)的函數(shù)f(x)=log2a(x+1)滿足f(x)>0,則a的取值范圍是（A） （B） （C） （D）分析：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象很容易判斷。本題選A，難度為★★（5）若向量a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，則c=（A）a+b （B）a-b （C）ab （D）-a+b分析：本題考查向量運(yùn)算。本題選B，難度為★★（6）設(shè)A、B是x軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2且|PA|=|PB|.若直線PA的方程為x-y+1=0,則直線PB的方程是（A）x+y-5=0（B）2x-y-1=0（C）2y-x-4=0（D）2x+y-7=0分析：本題考查直線方程問(wèn)題，利用直線PA的方程可將P點(diǎn)和A點(diǎn)的坐標(biāo)解出，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B，最終求出PB的方程。本題選A，難度為★★（7）若，則（A）a<b（B）a>b（C）ab<1（D）ab>2分析：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，先利用輔助角公式將兩個(gè)三角函數(shù)合成一個(gè)，再進(jìn)行判斷。本題選A，難度為★★（8）函數(shù)y=1+3x-x2有以分開(kāi)沿不同的路線同時(shí)傳遞.則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為（A）26（B）24（C）20（D）19分析：本題考查識(shí)圖問(wèn)題，屬腦筋急轉(zhuǎn)彎。本題選D，難度為★★★★第Ⅱ卷（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：1．第Ⅱ卷共8頁(yè),用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中.2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚.二、填空題：本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.（13）（14）一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是_______________.(用數(shù)字作答)分析：本題考查期望與方差。列出分布列，并利用概率和等于1作檢驗(yàn)，沒(méi)問(wèn)題后，再求期望。本題答案：1.2，難度為★★（15）在空間中,①若四點(diǎn)不共面,則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線.②若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn),則這兩條線是異面直線.以上兩個(gè)命題中,逆命題為真命題的是__________（把符合要求的命題序號(hào)都填上）.分析：本題考查立體幾何基礎(chǔ)與簡(jiǎn)易邏輯，（1）的逆命題為假命題，（2）的逆命題為真命題。本題答案：（2），難度為★★（16）設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和.若{Sn}是等差數(shù)列,則q=_______.分析：本題考查等差等比數(shù)列基礎(chǔ)，先由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式將Sn展開(kāi)。由于Sn為等差數(shù)列，因此其通項(xiàng)應(yīng)為一次函數(shù)，但當(dāng)q不為1時(shí)，其通項(xiàng)不可能為一次函數(shù)。故q=1，驗(yàn)證無(wú)誤。本題答案：1，難度為★★★三、解答題：本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.（17）（本小題滿分12分）

（18）(本小題滿分12分)如圖,用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2.當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí),系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí),系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90.分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率P1、P2.

（19）(本小題滿分12分)（Ⅰ）求a的值:（Ⅱ）證明f(X)在(0,+∞)上是增函數(shù)

注意：考生在（20甲）、（20乙）兩題中選一題作答,如果兩題都答,只以（20甲）計(jì)分.（20甲）（本小題滿分12分）如圖,以正四棱錐V—ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,其中Ox//BC,Oy//AB.E為VC中點(diǎn),正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a,高為h.（Ⅱ）記面BCV為а,面DCV為β,若∠BED是二面角а-VC-β的平面角,求cos∠BED的值

（20乙）（本小題滿分12分）如圖,在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD＝．（Ⅰ）求四棱錐S—ABCD的體積；（Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

（21）某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸（即雙曲線的虛軸）旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A是又曲線的頂點(diǎn)，C、C是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，B、B是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，已知AAˊ=14m,CCˊ=18=22m，塔高20m。（Ⅰ）建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程：（Ⅱ）求冷卻塔的容積（精確到10m3

（22）（本小題滿分14分）（Ⅰ）求θ的取值范圍；（Ⅱ）證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓,并求圓半徑的取值范圍.

2001年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：一．本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.二．對(duì)計(jì)算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí),如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的給分,但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤,就不再給分.三．解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).四．只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分,滿分60分.（1）A（2）B（3）C（4）A（5）B（6）A（7）A（8）D（9）A（10）B（11）D（12）D二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分,滿分16分.（13） （14）1.2 （15）② （16）1三、解答題（17）本小題主要考查分式不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，滿分12分。解：原不等式的解集是下面不等式組（Ⅰ）、（Ⅱ）的解集的并集：（Ⅰ） （Ⅱ）……2分分情況討論（?。┊?dāng)a<0或a>1時(shí)，有a<a2，此時(shí)，不等式組（Ⅰ）的解集為∣x∣a<x<a2∣,不等式組（Ⅱ）的解集為空集Ф……6分（ⅱ）當(dāng)0<a<1時(shí)，有a2<a，此時(shí)，不等試組（Ⅰ）的解集為空集Ф不等式組（Ⅱ）的解集為∣x∣a2<x<a∣；……10分（ⅲ）當(dāng)a=0或a=1時(shí)，原不等式無(wú)解，綜上，當(dāng)a<0或a>1時(shí)，原不等式無(wú)解集為∣x∣a<x<a2∣；當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為∣x∣a2<x<a∣；當(dāng)a=0或a=1時(shí)，原不等式的解集為Ф……12分（18）本小題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生或互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法,考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.滿分12分.解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C,由已知條件P(A)=0.80，P(B)=0.90，P(C)=0.90.（Ⅰ）因?yàn)槭录嗀、B、C是相互獨(dú)立的,所以,系統(tǒng)N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648.故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648.……5分（Ⅱ）系統(tǒng)N2正常工作的概率∵……10分∴P2=0.80×[1-0.10×0.10]=0.80×0.99=0.792.故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0.792.……12分（19）本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等基本性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)和不等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算，以及綜合分析問(wèn)題的能力，滿分12分。（Ⅰ）解：依題意，對(duì)一切x∈R有f(x)=f(-x)，即所以對(duì)一切x∈R成立由此得到，即a2=1……4分又因?yàn)閍>0，所以a=1.(Ⅱ)證明一：設(shè)0<x1<x2，……8分由x1>0，x2>0，x2-x1>0,，得x1+x>0，ex2-x1－1>0，1－ex2+x1<0．∴f(x1)－f(x2)<0,即f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)，……12分證明二：由f(x)=ex+e-x,得f′(x)=ex－e-x=e-x(e2x－1).……8分當(dāng)x∈(0,+∝)時(shí)，有e-x(e2x－1).此時(shí)f′(x)>0,所以f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)?！?2分注意：考生在（20甲）、（20乙）兩題中選一題作答,如果兩題都答,只以（20甲）計(jì)分.（20甲）本小題考查空間直角坐標(biāo)的概念、空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及兩個(gè)向量夾角的計(jì)算方法；考查運(yùn)用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法.滿分12分.解：（Ⅰ）由題意知B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，由此得∴……3分由向量的數(shù)量積公式有（Ⅱ）若∠BED是二面角―VC―的平面角，則,即有又C(－a，a，0)，V(0，0，h)，那么，且∴即，這時(shí)有……9分即 ……12分（20乙）本小題考查線面關(guān)系和棱錐體積計(jì)算,考查空間想象能力和邏輯推理能力.滿分12分.解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面積是……2分∴四棱錐S—ABCD的體積是……4分（Ⅱ）延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱……6分∵AD//BC，BC=2AD，∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線,又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角……10分∵∴即所求二面角的正切值為……12分（21）本小題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解言程組等基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿分12分。解：（Ⅰ）如圖建立直解坐標(biāo)系系xOy，AA′在x軸上，AA′的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，CC′與BB′平行于x軸。設(shè)雙曲線方程為，則……2分又設(shè)B（11，y1）,C(9,y2),因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以有①②由題意知y2-y1=20③……6分由①、②、③得y1=－12,y2=8,故雙曲線方程為……6分（Ⅱ）由雙曲線方程得設(shè)冷卻塔的容積為V（m3）,則經(jīng)計(jì)算得