高二數(shù)學(xué)同步練習(xí)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精選修1—12。2。1HYPERLINK”file：///D:\\TDDOWNLOAD\\人教B版數(shù)學(xué)選修1-1，1-2\\1、2—2-1。ppt"\t”_parent”雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、選擇題1．已知點(diǎn)F1（0，－13），F(xiàn)2（0，13)，動(dòng)點(diǎn)P到F1與F2的距離之差的絕對(duì)值為26,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A．y＝0 B．y＝0（|x|≥13）C．x＝0（|y｜≥13) D．以上都不對(duì)［答案]C［解析]∵｜｜PF1｜－｜PF2|｜＝|F1F2|，∴點(diǎn)P的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線．2．已知定點(diǎn)A,B，且|AB｜＝4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|＝3，則｜PA|的最小值為（)A.eq\f(1，2) B。eq\f(3，2)C。eq\f（7，2) D．5[答案］C[解析]點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，如右圖所示，當(dāng)P與雙曲線右支頂點(diǎn)M重合時(shí),｜PA｜最小，最小值為a＋c＝eq\f（3,2）＋2＝eq\f(7，2），故選C。3．已知方程eq\f（x2,1＋k)－eq\f（y2,1－k）＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是(）A．－1〈k<1 B．k〉0C．k≥0 D．k>1或k〈－1［答案]A［解析]由題意得（1＋k）（1－k)>0，∴（k－1）(k＋1）〈0，∴－1<k〈1.4．雙曲線eq\f（x2,m2＋12）－eq\f(y2,4－m2）＝1的焦距是()A．4 B．2eq\r(2)C．8 D．與m有關(guān)[答案］C［解析］∵a2＝m2＋12，b2＝4－m2,c2＝a2＋b2＝16,∴c＝4,∴焦距2c＝8.5．已知雙曲線方程為eq\f（x2，20）－eq\f(y2，5）＝1，那么它的焦距為()A．10 B．5C。eq\r(15） D．2eq\r(15）[答案］A［解析]∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5,∴焦距2c＝10.6．雙曲線8kx2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)為(0，3),那么k的值為(）A．1 B．－1C。eq\f（\r(65),3) D．－eq\f(\r（65）,3）［答案]B［解析]方程8kx2－ky2＝8可化為：eq\f（x2,\f(1，k））－eq\f(y2，\f(8,k))＝1，又它的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，3)，∴a2＝－eq\f（8,k），b2＝－eq\f（1，k），c2＝－eq\f(9，k）＝9，∴k＝－1.7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,在左支上過(guò)F1的弦AB的長(zhǎng)為5,若2a＝8，那么△ABF2的周長(zhǎng)是()A．16 B．18C．21 D．26[答案]D［解析］∵|AF2|－|AF1|＝2a＝8，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a＝8,∴｜AF2|＋｜BF2|－（|AF1｜＋｜BF1｜）＝16,∴|AF2|＋｜BF2|＝16＋5＝21,∴△ABF2的周長(zhǎng)為|AF2｜＋|BF2｜＋|AB|＝21＋5＝26。8．已知雙曲線eq\f(x2,9）－eq\f（y2，16）＝1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為8，則P到焦點(diǎn)F2的距離為（)A．2 B．2或14C．14 D．16[答案]B［解析］如圖，設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，由已知得a＝3，b＝4，c＝5,∵雙曲線右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)F1的距離為a＋c＝8，∴點(diǎn)P在雙曲線右頂點(diǎn)時(shí),|PF2｜＝c－a＝5－3＝2,當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，|PF2|－｜PF1|＝2a＝6，∴｜PF2｜＝|PF1｜＋6＝8＋6＝14.9．動(dòng)圓與圓x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為（）A．雙曲線的一支 B．圓C．拋物線 D．雙曲線［答案]A[解析]設(shè)動(dòng)圓半徑為r,圓心為O,x2＋y2＝1的圓心為O1，圓x2＋y2－8x＋12＝0的圓心為O2，由題意得｜OO1|＝r＋1,|OO2｜＝r＋2，∴｜OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<｜O1O2|＝4，由雙曲線的定義知，動(dòng)圓圓心O的軌跡是雙曲線的一支．10．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－eq\r（5),0）、F2(eq\r（5），0)，P是此雙曲線上的一點(diǎn),且PF1⊥PF2，|PF1｜·｜PF2|＝2，則該雙曲線的方程是(）A。eq\f（x2,2)－eq\f(y2，3)＝1 B。eq\f（x2，3）－eq\f(y2,2）＝1C.eq\f(x2，4）－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,4）＝1［答案]C[解析］∵c＝eq\r（5)，|PF1|2＋|PF2｜2＝｜F1F2|2＝4c2，∴（｜PF1|－|PF2｜）2＋2|PF1|·|PF2｜＝4c2,∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1。雙曲線方程為eq\f(x2,4）－y2＝1。二、填空題11．過(guò)雙曲線eq\f(x2，4)－eq\f(y2,3)＝1的左焦點(diǎn)F1的直線交雙曲線的左支于M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn),則|MF2｜＋|NF2｜－｜MN|的值為_(kāi)_______．［答案]8[解析］|MF2｜＋|NF2｜－|MN|＝（MF2－MF1)＋(|NF2|－｜NF1｜）＝2a＋2a＝4a＝8.12．設(shè)一圓過(guò)雙曲線eq\f(x2，9)－eq\f（y2,16)＝1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是________．[答案]eq\f（16，3)［解析］設(shè)圓心為P（x0，y0）,則|x0｜＝eq\f（c＋a，2）＝4，代入eq\f（x2,9)－eq\f(y2,16）＝1，得yeq\o\al（2，0)＝eq\f(16×7,9），所以|OP｜＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al（2,0))＝eq\f（16,3).13．過(guò)雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4）＝1的焦點(diǎn)且與x軸垂直的弦的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．［答案］eq\f(8\r（3),3）[解析]∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7,∴c＝eq\r（7），弦所在直線方程為x＝eq\r(7），由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\r（7），\f(x2,3）－\f(y2,4)＝1))得y2＝eq\f(16,3)，∴|y|＝eq\f(4\r（3），3），弦長(zhǎng)為eq\f(8\r（3),3)。14．如果橢圓eq\f（x2,4）＋eq\f（y2,a2)＝1與雙曲線eq\f(x2，a）－eq\f（y2,2)＝1的焦點(diǎn)相同，那么a＝________.［答案]1[解析］由題意得a〉0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.三、解答題15．討論eq\f（x2,25－k）＋eq\f（y2，9－k)＝1表示何種圓錐曲線,它們有何共同特征．[解析］(1）當(dāng)k〈9時(shí),25－k>0，9－k〉0，所給方程表示橢圓，此時(shí)a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，這些橢圓有共同的焦點(diǎn)(－4，0），(4,0)．(2）當(dāng)9<k〈25時(shí)，25－k〉0，9－k<0，所給方程表示雙曲線，此時(shí)，a2＝25－k，b2＝k－9,c2＝a2＋b2＝16，這些雙曲線也有共同的焦點(diǎn)(－4,0)，(4,0）．（3）當(dāng)k〉25時(shí),所給方程沒(méi)有軌跡．16．設(shè)雙曲線eq\f(x2,4）－eq\f（y2，9)＝1,F1，F(xiàn)2是其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在雙曲線上．（1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面積；(2）若∠F1MF2＝60°時(shí),△F1MF2的面積是多少？若∠F1MF2＝120°時(shí)，△F1MF2的面積又是多少？[解析］結(jié)合雙曲線的定義，注意三角形面積公式的應(yīng)用．(1)由雙曲線的方程知a＝2，b＝3，c＝eq\r（13）,設(shè)|MF1|＝r1，｜MF2|＝r2（r1〉r2）如圖所示．由雙曲線定義，有r1－r2＝2a＝4.兩邊平方得req\o\al（2，1)＋req\o\al（2，2）－2r1r2＝16，因?yàn)椤螰1MF2＝90°，所以req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2）＝｜F1F2|2＝(2c)2＝52,17．設(shè)雙曲線與橢圓eq\f(x2,27）＋eq\f(y2，36）＝1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，在第一象限的交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求此雙曲線的方程．［解析］橢圓eq\f（x2,27)＋eq\f(y2，36）＝1的焦點(diǎn)為(0，±3）,由題意,設(shè)雙曲線方程為：eq\f（y2,a2)－eq\f（x2，b2)＝1（a〉0，b>0），又點(diǎn)A（x0,4)在橢圓eq\f(x2，27）＋eq\f（y2,36)＝1上，∴xeq\o\al(2，0)＝15,又點(diǎn)A在雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2，b2）＝1上，∴eq\f（16，a2)－eq\f(15,b2）＝1，又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，所求的雙曲線方程為：eq\f(y2,4)－eq\f（x2，5)＝1.18．已知△ABC的底邊BC長(zhǎng)為12,且底邊固定，頂點(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn)，使sinB－sinC＝eq\f(1，2)sinA.求點(diǎn)A的軌跡．[解析]以BC所在直線為x軸,線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則B（－6,0）、C(6,0)，設(shè)A(x，y）是所求軌跡上任一點(diǎn)，則y≠0。因?yàn)閟inB－sinC＝eq\f（1,2）sinA，利用正弦定理，我們有|AC|－｜AB|＝eq\f(