2024屆新教材二輪復(fù)習(xí) 　變化率問題 作業(yè)

2024屆新教材二輪復(fù)習(xí)變化率問題作業(yè)一、選擇題1．函數(shù)y＝2x在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為(D)A．x0＋Δx B．1＋ΔxC．2＋Δx D．2[解析]由題意，可得平均變化率eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(2x0＋Δx－2x0,Δx)＝2，故選D.2．某物體沿水平方向運(yùn)動(dòng)，其前進(jìn)距離s(米)與時(shí)間t(秒)的關(guān)系為s(t)＝5t＋2t2，則該物體在運(yùn)動(dòng)的前2秒的平均速度為(C)A．18米/秒 B．13米/秒C．9米/秒 D．eq\f(13,2)米/秒[解析]∵s(t)＝5t＋2t2，∴該物體在運(yùn)動(dòng)前2秒的平均速度為eq\f(s2－s0,2)＝eq\f(18,2)＝9(米/秒)，故選C.3．(2023·杭州高二檢測(cè))設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，當(dāng)自變量x由1變?yōu)?.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為(A)A．2.1 B．1.1C．2 D．0[解析]∵函數(shù)f(x)＝x2－1的自變量x由1變成1.1，所以Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝(1.12－1)－(12－1)＝0.21，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(0.21,0.1)＝2.1.故選A.4．汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v1)，eq\x\to(v2)，eq\x\to(v3)，則三者的大小關(guān)系為(B)A.eq\x\to(v1)>eq\x\to(v2)>eq\x\to(v3) B．eq\x\to(v3)>eq\x\to(v2)>eq\x\to(v1)C.eq\x\to(v2)>eq\x\to(v1)>eq\x\to(v3) D．eq\x\to(v2)>eq\x\to(v3)>eq\x\to(v1)[解析]eq\x\to(v1)＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kOA，eq\x\to(v2)＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v3)＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由圖象知kOA<kAB<kBC，選B.5．一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝eq\f(1,2)at2(a為常數(shù))，則該物體在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度是(A)A．a(chǎn)t0 B．－at0C．eq\f(1,2)at0 D．2at0[解析]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝eq\f(1,2)aΔt＋at0，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝at0.二、填空題6．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s＝4－2t2，則在時(shí)間段[1,1＋Δt]上相應(yīng)的平均速度eq\x\to(v)與Δt滿足的關(guān)系式為eq\x\to(v)＝－2Δt－4.[解析]Δs＝[4－2(1＋Δt)2]－(4－2·12)＝4－2－4Δt－2(Δt)2－4＋2＝－4Δt－2(Δt)2，eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－4Δt－2Δt2,Δt)＝－4－2Δt.7．由瞬時(shí)變化率的研究方法可求得，函數(shù)f(x)＝x2－2x在x＝1處的瞬時(shí)變化率為_0__.[解析]eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(1＋Δx2－21＋Δx＋1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))Δx＝0.8．已知自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝5t2，則t在2到2＋Δt這一段時(shí)間內(nèi)落體的平均速度為_20＋5Δt__，落體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為_20__.[解析]由題物體在t＝2到t＝2＋Δt這一段時(shí)間內(nèi)的平均速度為eq\x\to(v)＝eq\f(52＋Δt2－5×22,Δt)＝20＋5Δt，則當(dāng)Δt→0時(shí)eq\x\to(v)→20，即t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為20.三、解答題9．巍巍泰山為我國(guó)的五岳之首，有“天下第一山”之美譽(yù)，登泰山在當(dāng)?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語(yǔ)來形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路線圖．同樣是登山，但是從A處到B處會(huì)感覺比較輕松，而從B處到C處會(huì)感覺比較吃力．想想看，為什么？你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎？[解析]山路從A到B高度的平均變化率為kAB＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(10－0,50－0)＝eq\f(1,5)，山路從B到C高度的平均變化率為kBC＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(20－10,70－50)＝eq\f(1,2)，∴kBC>kAB，∴山路從B到C比從A到B陡峭．10．(2023·石家莊高二檢測(cè))一輛汽車按規(guī)律s＝3t2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(時(shí)間單位：s，位移單位：m)，求這輛汽車在t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度．[解析]設(shè)這輛汽車在3s到(3＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的位移的增量為Δs，則Δs＝3·(3＋Δt)2＋1－28＝3(Δt)2＋18Δt，所以eq\f(Δs,Δt)＝3Δt＋18，所以eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(3Δt＋18)＝18.故這輛汽車在t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度為18m/s.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)已知某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，則(ABD)A．該物體在[1,3]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是28B．該物體在t＝4時(shí)的瞬時(shí)速度是56C．該物體位移的最大值為43D．該物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是70[解析]該物體在1≤t≤3時(shí)的平均速度是eq\f(s3－s1,3－1)＝eq\f(71－15,2)＝28，故A項(xiàng)正確；物體在t＝4時(shí)的瞬時(shí)速度是eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(s4＋Δt－s4,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(56＋7Δt)＝56，故B項(xiàng)正確；物體的最大位移是7×52＋8＝183，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(s5＋Δt－s5,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(70＋7Δt)＝70，故D項(xiàng)正確．2．(多選題)某物體做自由落體運(yùn)動(dòng)的位移s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝9.8m/s2，若eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8m/s，則對(duì)于數(shù)據(jù)9.8m/s，下列說法錯(cuò)誤的是(ABD)A．是從0s到1s這段時(shí)間的平均速度B．是從1s到(1＋Δt)s這段時(shí)間的平均速度C．是t＝1s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度D．是t＝Δts這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度[解析]根據(jù)題意，eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8m/s，則物體在t＝1s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9.8m/s，故選ABD.3．已知曲線y＝2x2－7在點(diǎn)P處的切線方程為8x－y－15＝0，則切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(C)A．(－2,1) B．(0，－7)C．(2,1) D．(3,11)[解析]設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,2xeq\o\al(2,0)－7)，則eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(2[x\o\al(2,0)＋2x0Δx＋Δx2]－7－2x\o\al(2,0)＋7,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(4x0＋2Δx)＝4x0.所以4x0＝8，解得x0＝2.所以P的坐標(biāo)為(2,1)．二、填空題4．函數(shù)f(x)＝x2－1在區(qū)間[1，m]上的平均變化率為3，則實(shí)數(shù)m的值為_2__.[解析]根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x2－1在區(qū)間[1，m]上的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(m2－1－12－1,m－1)＝m＋1，∴m＋1＝3則m＝2.5．設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝ax3＋2，若f(x)在x＝－1處的切線斜率為3，則a＝_1__.[解析]Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx.∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(aΔx3－3aΔx2＋3aΔx,Δx)＝a(Δx)2－3aΔx＋3a.當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，a(Δx)2－3aΔx＋3a無限趨近于3a.∴k＝3a＝3，∴a＝1.三、解答題6．若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下：(位移s：m，時(shí)間t：s)s＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.))求：(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．[解析](1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時(shí)間變化量為Δt＝5－3＝2，位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度v0，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度．∵物體在t＝0附近位移的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物體在t＝0處位移的瞬時(shí)變化率為eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物體的初速度v0＝－18m/s.(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度即為物體在t＝1處位移的瞬時(shí)變化率．∵物體在t＝1附近位移的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12，∴物體在t＝1處位移的瞬時(shí)變化率為eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(3Δt－12)＝－12，即物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速