北京初二數(shù)學知識點與常見題型總結(jié)

第頁知識點復習及基本題型總結(jié)1．平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形這個定義包含兩層意義：①四邊形；②兩組對邊分別平行2．對角線的定義平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫做它的對角線3．平行四邊形的性質(zhì)①從邊看：平行四邊形的對邊平行且相等②從角看：平行四邊形的對角相等，鄰角互補③從對角線看：平行四邊形的對角線互相平分，互相平分是指兩條線段有公共的中點4．平行四邊形的面積平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．5.平行四邊形的判別方法①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形⑤兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形6.平行四邊形的性質(zhì)及判定的區(qū)別平行四邊形的性質(zhì)是指平行四邊形的邊,角,對角線等所具有的大小或位置之間的關(guān)系,而平行四邊形的判定是指四邊形具有什么條件就是平行四邊形7.矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形是矩形8.矩形的性質(zhì)①具有平行四邊形的一切性質(zhì)②矩形的四個角都是直角③矩形的對角線相等④矩形是軸對稱圖形,它有兩條對稱軸9.矩形的判定①有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形②對角線相等的平行四邊形是矩形③有三個角是直角的四邊形是矩形另外還有對角線相等且互相平分的四邊形是矩形10.直角三角形的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半11.矩形對角線產(chǎn)生的三角形的特點矩形的一條對角線把矩形分成兩個全等的直角三角形,兩條對角線把矩形分成四個小的全等的等腰三角形12.有關(guān)矩形面積的計算①面積公式:矩形面積=長寬②如圖.矩形的兩條對角線相交于,則13.菱形的定義一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形14.菱形的性質(zhì)①具有平行四邊形的一切性質(zhì)②菱形的四條邊都相等③菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角④菱形是軸對稱圖形,每條對角線所在的直線都是它的對稱軸15.菱形的判定方法①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形③四條邊都相等四邊形是菱形16.有關(guān)菱形的面積計算由于菱形的對角線互相垂直平分,也可以用平行四邊形的面積計算公式=底高17.正方形的定義一組鄰邊相等的矩形叫做正方形正方形不僅是特殊的平行四邊形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形18.正方形的性質(zhì)正方形具有平行四邊形,矩形,菱形的一切性質(zhì)①邊:四邊相等,對邊平行②角:四個角都是直角③對角線:互相平分;相等;且垂直;每一條對角線平分一組對角,即正方形的對角線及邊的夾角為④正方形是軸對稱圖形,有四條對稱軸19.正方形的判定①菱形+矩形的一條特征②菱形+矩形的一條特征③平行四邊形+一個直角+一組鄰邊相等說明一個四邊形是正方形的一般思路是:先判斷它是矩形,在判斷這個矩形也是菱形;或先判斷它是菱形,再判斷這個菱形也是矩形20.正方形對角線產(chǎn)生的三角形特點正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形,兩條對角線把正方形分成四個小的全等的等腰直角三角形21.正方形常用的輔助線添加方法①正方形中常連對角線,把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題②有垂直時做垂線構(gòu)造正方形③有正方形一邊中點時常取另一邊中點構(gòu)造圖形來應用④利用旋轉(zhuǎn)法將及正方形有關(guān)的題目的分散元素集中起來,從而為解決問題創(chuàng)造條件22.平行四邊形,菱形,矩形,和正方形四者之間的關(guān)系23.梯形定義:一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形梯形的底:梯形中平行的兩邊叫做梯形的底,通常把較短的底叫做上底,較長的底叫做下底梯形的腰:梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰梯形的高:梯形兩底之間的距離叫做梯形的高等腰梯形:兩腰相等的梯形直角梯形:一腰垂直于底的梯形24.梯形的判定①判定四邊形一組對邊平行,另一組對邊不平行②一組對邊平行但不相等的四邊形是梯形25.等腰梯形的性質(zhì)①兩底平行,兩腰相等②等腰梯形在同一底上的兩個角相等③等腰梯形的兩條對角線相等④等腰梯形是軸對稱圖形,只有一條對稱軸,一底的垂直平分線是它的對稱軸26.等腰梯形的判定①兩腰相等的梯形是等腰梯形②在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形(以前出現(xiàn),但是在新課標中沒有出現(xiàn)的判定方法:對角線相等的梯形是等腰梯形)27.梯形的面積面積=（上底+下底）×高÷2．三角形中位線：連接三角形兩邊中點的線段，叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半梯形中位線：連接梯形兩腰中點的線段，叫做梯形的中位線．梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半梯形輔助線的添法（圖一）（圖二）（圖三）（圖四）（圖五）（圖六）（圖七）（圖八）基礎(chǔ)題型1．如圖在平行四邊形中，，求這個平行四邊形各內(nèi)角的度數(shù)解：四邊形是平行四邊形由于故設(shè)，則即解得因此，平行四邊形各內(nèi)角度數(shù)分別是，，，２．已知平行四邊形的周長為，，相交于，且的周長比的周長小于，如圖，求平行四邊形各邊的長解：四邊形為平行四邊形的周長＝的周長＝且的周長比的周長小于又平行四邊形的周長為３．如圖，已知：在平行四邊形中，是對角線，于，于求證：證明：方法一：四邊形是平行四邊形方法二：連接，交于四邊形是平行四邊形，又，，而４．如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，延長線上的點，且，則及具有怎么樣的位置關(guān)系？試說明理由解：證明：方法一：在平行四邊形中，，，又方法二．連接，交于在平行四邊形中，，方法三．連接，交于，連接，由方法二知．，四邊形為平行四邊形５．如圖，已知是平行四邊形對角線的交點，，，，那么的周長為＿＿＿＿＿解：根據(jù)平行四邊形對角線互相平分以及對邊相等的性質(zhì)可知的周長為６．如圖平行四邊形中，，，及交于，則該圖形中的平行四邊形的個數(shù)共有（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．由題意可知圖中的平行四邊形分別是：，，，，，，，，所以共有個７.如圖，平行四邊形中，平分交于，交的延長線于，，交于，交延長線于，垂足為，試證明：證明：四邊形為平行四邊形平分，８．如圖，已知：，，分別在的各邊上，，，延長到，使．求證：及互相平分．證明：連接，四邊形是平行四邊形又，而四邊形為平行四邊形及互相平分９．如圖，已知是的邊的中點，是上的一點，試說明：及互相平分證明：連接，四邊形為平行四邊形，是中點，四邊形為平行四邊形及互相平分．如圖，點，分別在平行四邊形的邊，上，且，，，垂足分別為，，求證：及互相平分證明：連接，四邊形是平行四邊形四邊形是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）及互相平分．如圖，及互相平分，交點為，及互相平分，交點為，那么，四邊形是平行四邊形么？你是怎么判定的？解：四邊形是平行四邊形證明：連接，，，，及互相平分四邊形是平行四邊形及互相平分四邊形是平行四邊形四邊形是平行四邊形.如圖，已知,是的高，是的中點．求證：證明：，是的高，，均為直角三角形是的中點是斜邊上的中線，是斜邊上的中線.如圖，先將矩形紙片對折一次折痕為，展開后又將紙片折疊使點落在上，此時折痕為，求度數(shù)的大小提示：根據(jù)題意得過點作，垂足為則，（直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半，反過來也成立）.過矩形對角線的中點作分別交，于,，點為的中點，若，求證：證明：連接四邊形是矩形是線段的垂直平分線是中點.在矩形，,，將矩形折疊，使點及點重合，折痕為，在展開，求折痕的長解：,由勾股定理可得根據(jù)題意有，設(shè)，由勾股定理，即解得（提示：對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半）．已知：如圖，是矩形對角線的交點，平分，，求的度數(shù)答案：提示為等腰直角三角形，為等邊三角形，為等腰三角形，，.如圖，為過的直角頂點的直線，且于，于點，，為的中點，求證：證明：連接為直角三角形，為斜邊的中點，又，，為的中點，即又，（）總結(jié)：在直角三角形中，出現(xiàn)中點時，常見的輔助線是斜邊上的中線以及中位線．如圖是菱形邊的中點，于，交的延長線于，交于，求證：及互相平分證明：四邊形是菱形，即及互相平分方法二：連接，由，得，則且四邊形為平行四邊形及互相平分．如圖，在中，，是的平分線，交于點，是邊上的高，交于，于．求證：四邊形是菱形證明：是的平分線是的平分線，，四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形．菱形中，，如果它的一條對角線長為，求菱形的邊長解：若對角線，如圖四邊形為菱形，且則為等邊三角形菱形的邊長為若對角線，如圖四邊形為菱形，且則為等邊三角形又設(shè)，，由勾股定理可得，解得，綜上所述：菱形的邊長為或．如圖，四邊形是正方形，是的中點，是上的一點，且求證：證明：連接，設(shè)，則四邊形是正方形，為中點在中，在中，在中，則，是直角三角形（到初三的時候此題還有額外的證明方法）．如圖，過正方形對角線上一點，作于，作于，連接，．求證：，證明：連接，延長交于點四邊形是正方形四邊形為矩形（有三個角為直角的四邊形為矩形）．如圖正方形中，是的中點，，平分，交于求證：證明：取線段的中點，連接四邊形為正方形為中點，為中點平分在及中思考：若點是線段上一個動點，其他條件不變，則上面的結(jié)論還成立么？請參考上面的解題思路，本題還有額外的證明方法，但是需要初三學習的知識，現(xiàn)在就不列舉了．如圖，在梯形中，，，，分別是，的中點，且，求證：梯形為等腰梯形證明：過分別作，的平行線交于，，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，分別是，的中點是線段的垂直平分線故梯形是等腰梯形．已知等腰梯形中，，，，，求它的腰長解：方法一：過點作，交于點四邊形為平行四邊形四邊形為等邊三角形方法二過點作，垂足為，過點作，垂足為四邊形為等腰梯形四邊形為矩形．如圖，在中，，平分，，點是的中點求證：①②證明：①延長交于點平分（）（又是高，又是角平分線，很容易聯(lián)想到“三線合一”）點是的中點是三角形的中位線．如圖，在梯形中，，，是中點求證：證明：取中點，連接由梯形中位線性質(zhì)可知且基礎(chǔ)知識達標一、精心選一選（每小題3分，共30分）1、在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．2：2：1：1D．2：1：2：12、菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是（）A．對角線相等B．對角線互相垂直C．對角線互相平分D．對角線互相平分且相等3、下列命題中的假命題是（）A．等腰梯形在同一底邊上的兩個底角相等B．對角線相等的四邊形是等腰梯形C．等腰梯形是軸對稱圖形D．等腰梯形的對角線相等4、四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，能判定它是正方形的是（）A．AO＝OC，OB＝ODB．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDC．AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BDD．AO＝OC＝OB＝OD5、給出下列四個命題⑴一組對邊平行的四邊形是平行四邊形⑵一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形是菱形⑶兩條對角線互相垂直的矩形是正方形⑷順次連接等腰梯形四邊中點所得四邊形是等腰梯形。其中正確命題的個數(shù)為（）A．1個B．2個C．3個D．4個6、下列矩形中按虛線剪開后，能拼成平行四邊形，又能拼成直角三角形的是（）中中點中點中點ABCD7.順次連結(jié)四邊形各邊的中點，所成的四邊形必定是A．等腰梯形B．直角梯形C．矩形D．平行四邊形8、如圖：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，那么圖中的全等三角形共有A．1對B．2對C．3對D．4對9、下列圖形中是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四邊形10.等腰梯形的兩條對角線互相垂直，中位線長為8，則該等腰梯形的面積為A．16B．32C．64D．512二、耐心填一填（每小題３分，共30分）11、對角線＿＿＿＿＿平行四邊形是矩形。12、如圖⑴已知O是□ABCD的對角線交點，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的周長等于＿＿＿＿＿。ADBCADBCFE⑷ABDCO⑴ABDCE⑶ABDCO⑵13、在平行四邊形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,則∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。14、一個平行四邊形的周長為70cm，兩邊的差是10cm，則平行四邊形各邊長為＿＿＿＿cm。15、已知菱形的一條對角線長為12cm，面積為30cm2，則這個菱形的另一條對角線長為__________cm。6、菱形ABCD中，∠A＝60o，對角線BD長為7cm，則此菱形周長＿＿＿＿＿cm。17、如果一個正方形的對角線長為，那么它的面積＿＿＿＿＿＿。18、如圖2矩形ABCD的兩條對角線相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,則矩形對角線的長＿＿。19、如圖3,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5則△CDE周長＿＿＿。20、要從一張長為40cm，寬為20cm的矩形紙片中，剪出長為18cm，寬為12cm的矩形紙片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿張。三、用心想一想（共40分）21、（8分）如圖：在□ABCD中，∠BAD的平分線AE交DC于E，若∠DAE＝25o，DADACBEADBCADBCABABDCFE60o⑴△BCE及△DCF全等嗎？說明理由；⑵若∠BEC＝60o，求∠EFD。24、證明題：（8分）ABDCABDCFEABABDCFE參考答案1．D；2．C3．B4．B5．B6．B7．D8．C9．D10．C11．相等12．4513．∠A＝120o，∠D＝60o14．22.5，12.515．516．2817．118．1619．1520．321．解：∠BAD＝2∠DAE＝2×25o＝50o又∵□ABCD∴∠C＝∠BAD＝50o∴AD∥BC∴∠B＝180o－∠BAD＝180o－50o＝130o22．解：∵AD∥BC∴∠1＝∠2ADADBC123又AB＝DC得AB＝AD＝DC＝在△ADC中∵∠D＝120o∠1＝∠3＝又∠BCD＝2∠3＝60o∴∠B=∠BCD=60o∠BAD＝180o－∠B－∠2＝90o∠2＝30o則BC＝2AB＝2xAB＝4BC＝8在Rt△ABC中AC＝23．⑴△BCE≌△DCF理由：因為四邊形ABCD是正方形∴BC＝CD，∠BCD＝90o∴∠BCE＝∠DCF又CE＝CF∴△BCE≌△DCF⑵∵CE＝CF∴∠CEF＝∠CFE∵∠FCE＝90o∴∠CFE＝又∵△BCE≌△DCF∴∠CFD＝∠BEC＝60o∴∠EFD＝∠CFD－∠CFE＝60o－45o＝15o24．證明：∵D、E分別是AC、AB的中點∴DE∥BC∵∠ACB＝90o∴CE=AB＝AE∵∠A＝∠ECA∴∠CDF＝∠A∴∠CDF＝∠ECA∴DF∥CE∴四邊形DECF是平行四邊形25．答條件AE＝AF（或AD平分角BAC，等）證明：∵DE∥ACDF∥AB∴四邊形AEDF是平行四邊形又AE＝AF∴四邊形AEDF是菱形。【綜合能力過關(guān)】一、精心選一選（每小題3分，共30分）1、菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）A.對角線互相平分；B.四條邊都相等；C.對角相等；D.鄰角互補2、關(guān)于四邊形ABCD①兩組對邊分別平行；②兩組對邊分別相等；③有一組對邊平行且相等；④對角線AC和BD相等；以上四個條件中可以判定四邊形ABCD是平行四邊形的有（）。A．1個B．2個C．3個D．4個3、能夠判定一個四邊形是菱形的條件是（）。Ａ．對角線相等且互相平分B．對角線互相垂直且互相平分C．對角線相等且互相垂直D．對角線互相垂直4、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對角線相等B．對角線互相平分C．對角線互相垂直D．對角線平分對角5、三角形的重心是三角形三條（）的交點A．中線B．高C．角平分線Ｄ．垂直平分線6、若順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點所得四邊形是矩形，則四邊形ABCD必然是（）A．菱形B．對角線相互垂直的四邊形C．正方形D．對角線相等的四邊形7、下列命題中，真命題是（）A．有兩邊相等的平行四邊形是菱形B．有一個角是直角的四邊形是矩形C．四個角相等的菱形是正方形D．兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形8、如右圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°，BD平分∠ABC．如果這個梯形的周長為30，則AB的長為（）．A．4B．5C．6D．7下列說法中，不正確的是（）．A．有三個角是直角的四邊形是矩形B．對角線相等的四邊形是矩形C．對角線互相垂直的矩形是正方形D．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形10、如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，則∠BDE的度數(shù)為（）A．36oB．9oC．27oD．18o二、耐心填一填（每小題3分，共30分）11、平行四邊形ABCD中，∠A=500，AB=30cm，則∠B=____，DC=____cm。12、平行四邊形ABCD的周長為20cm，對角線AC、BD相交于點O，若△BOC的周長比△AOB的周長大2cm，則CD＝cm。13、若邊長為4cm的菱形的兩鄰角度數(shù)之比為1∶2，則該菱形的面積為cm2。14、如圖，△ABC中，EF是它的中位線，M、N分別是EB、CF的中點，若BC=8cm，那么EF=cm，MN=cm；15、若矩形的對角線長為8cm，兩條對角線的一個交角為600，則該矩形的面積為cm2。16、如右圖，若梯形的兩底長分別為4cm和9cm，兩條對角線長分別為5cm和12cm，則該梯形的面積為cm2。17、在□ABCD中，若添加一個條件________，則四邊形ABCD是矩形；若添加一個條件_______，則四邊形ABCD是菱形．18、菱形的兩條對角線分別是6cm，8cm，則菱形的邊長為_____cm，面積為______cm2．19、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=8cm，∠B=60°，則AB=_______cm．20、梯形的上底長為2，下底長為5，一腰為4，則另一腰m的范圍是。三、用心想一想（共40分）21．（7分）.如圖,平行四邊形ABCD中,G是CD上一點,BG交AD延長線于E,AF=CG,.(1)試說明DF=BG;(2)試求的度數(shù).22.（7分）已知：如圖，□ABCD各角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形EFGH是矩形．23．（7分）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分別為AD、BC、BD、AC的中點。求證：MN和PQ互相平分。2