專題18 歸納平面向量中的范圍與最值問題（解析版）

專題18最全歸納平面向量中的范圍與最值問題【考點預測】一．平面向量范圍與最值問題常用方法：（1）定義法第一步:利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應的等式關系第二步：運用基木不等式求其最值問題第三步:得出結論（2）坐標法第一步:根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳c的坐標第二步:將平面向量的運算坐標化第三步:運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解（3）基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運算律化簡目標第三步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結論（4）幾何意義法第一步:先確定向量所表達的點的軌跡第二步:根據(jù)直線與曲線位置關系列式第三步：解得結果二．極化恒等式（1）平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：證明：不妨設，則，①②①②兩式相加得：（2）極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式①平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.②三角形模式：（M為BD的中點）AABCM三.矩形大法矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等已知點O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點，證明：?！咀C明】（坐標法）設，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標系xoy，則，設，則四.等和線（1）平面向量共線定理已知，若，則三點共線；反之亦然。（2）等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。①當?shù)群途€恰為直線時，；②當?shù)群途€在點和直線之間時，；③當直線在點和等和線之間時，；④當?shù)群途€過點時，；⑤若兩等和線關于點對稱，則定值互為相反數(shù)；【題型歸納目錄】題型一：三角不等式題型二：定義法題型三：基底法題型四：幾何意義法題型五：坐標法題型六：極化恒等式題型七：矩形大法題型八：等和線【典型例題】題型一：三角不等式例1．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學高一階段練習）已知向量滿足，若對任意，恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由條件可得，由向量性質(zhì)可得，從而，然后代入結合可得出答案.【詳解】解析：因為，則，因為，由，由，即，由，則恒成立.由,即則，解得，又所以.故答案為：例2．（2022·安徽省舒城中學三模（理））已知平面向量，，，，若，，則的最小值是________.【答案】##【解析】【分析】令，，即可得到且，令，，，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示及三角不等式計算可得；【詳解】解：令，，則，故，且，令，，，，所以根據(jù)已知條件有，所以，即，當且僅當，，時等號成立，所以的最小值是故答案為：例3．（2022·浙江湖州·模擬預測）已知平面向量滿足，若，則的最小值是_____________．【答案】【解析】【分析】利用絕對值三角不等式，及三角函數(shù)的有界性可進行化簡分析.【詳解】設，由，根據(jù)三角不等式，有，得，故.故答案為：.例4．（2022·浙江·模擬預測）已知平面內(nèi)兩單位向量，若滿足，則的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】設出得到，由不得關系得到，從而得到最小值.【詳解】由題意,可以設，則由得，由，所以，解得：即的最小值是.例5．（柯橋區(qū)2022屆高三下學期5月第二次適應性考試數(shù)學試題）已知平面向量滿足：與的夾角為，記是的最大值，則的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】設為AB中點，令，結合圖形，利用向量的線性運算求出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最小值即可.【詳解】如圖，設為AB中點，令，則

①，因為，故有，

②，由①②得，從而，因為，所以，即點C在以AB為直徑的圓E上.，，當且僅當時，即時等號成立.故答案為：例6．（2022·全國·高三專題練習）已知非零平面向量滿足，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】【分析】把給定等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積性質(zhì)轉(zhuǎn)化為的不等式即可得解.【詳解】依題意，，，，當時，上述最后等式不成立，從而有，，當且僅當時取“=”，又，當且僅當與同方向時取“=”，則有，解得，當且僅當=時取“=”，所以的最小值是4.故選：A例7．（2022·湖北·華中師大一附中高一階段練習）已知圓C的半徑為2，點A滿足，E，F(xiàn)分別是C上兩個動點，且，則的取值范圍是（

）A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]【答案】C【解析】【分析】借助于垂徑定理處理，結合向量整理可得，再根據(jù)向量的加法可得．【詳解】取EF的中點M，連接CM，則，，又，所以，所以，當且僅當向量與共線同向時，取得最大值22；向量與共線反向時，取得最小值6，故選：C．例8．（2022·浙江·高三專題練習）已知平面向量，，滿足，．若，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】將代入所求，可得到，分情況討論，同號和異號兩種情況，利用向量模的平方等于向量的平方計算可得和的最大值.【詳解】當，同號時，，而，則．當，異號時，，而，則．因此的最大值為．故答案為：．例9．（2022·全國·高一課時練習）已知在三角形中，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關系得到的取值范圍，再利用余弦定理表示出，最后根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計算可得；【詳解】解：因為，，所以，即，解得，由余弦定理，所以，因為，所以，所以，即；故選：A例10．（2022·全國·高一專題練習）已知，，與的夾角為，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運算性質(zhì)及三角不等式計算判斷．【詳解】因為，，與的夾角為，所以，，，所以滿足，因為，所以，所以，故選：C例11．（2022·浙江寧波·高三期末）已知平面向量，，，其中，是單位向量且滿足，，若，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件將向量代入整理可得關于x、y的二元二次方程，然后通過換元，利用方程有解可得.【詳解】又，是單位向量且上式令，代入上式整理得：關于x的方程有實數(shù)解整理得：，解得故答案為：.例12．（2022·全國·高三專題練習）已知向量，是平面內(nèi)的兩個非零向量，則當取最大值時，與夾角為________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)，結合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)推出，再根據(jù)題意以及等號成立條件，即可求解.【詳解】∵向量，是平面內(nèi)的兩個非零向量，∴，當且僅當時取等號，∴，即，∴，即，當且僅當時取等號，即，則與夾角為，∴當取最大值時，與夾角為.故答案為：.題型二：定義法例13．（2022·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】先求得、，進而平方，計算即得結論．【詳解】設向量的夾角為，，，則，令，則，據(jù)此可得：，即的最大值是故答案為：.例14．（2022·全國·高三專題練習）在中，角的邊長分別為，點為的外心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】作出輔助線，對數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化得到，求出的取值范圍，進而求出答案.【詳解】取的中點，則，所以.因為，則，即.所以，故選：D.例15．（2022·江蘇省江陰高級中學高三開學考試）如圖，正六邊形的邊長為2，動點從頂點出發(fā)，沿正六邊形的邊逆時針運動到頂點，若的最大值和最小值分別是，，則（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解析】【分析】連接，根據(jù)正六邊形的特征可得，從而可得，再根據(jù)當在上運動時，與均逐漸增大，當從移動到時，與均逐漸減小，即可求得，，從而得出答案.【詳解】解：連接，在正六邊形中，，∴，∵正六邊形的邊長為2，∴，因為當在上運動時，與均逐漸增大，當從移動到時，與均逐漸減小，所以當在上運動時，取得最大值，為，當移動到點時，取得最小值，為0．∴，，∴．故選：D.例16．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學模擬預測（理））已知，點在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】【分析】由取得最小值得點為線段的中點，由得，由配方可得答案.【詳解】當時，取得最小值，因為，所以此時點為線段的中點，因為，所以，故，則，因為，故．故選：B.例17．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（文））已知A，B為圓上的兩動點，，點P是圓上的一點，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的運算律將題意轉(zhuǎn)化為圓上的點到的中點的距離最值問題即可得解.【詳解】設M是AB的中點，因為，所以，即M在以O為圓心，1為半徑的圓上，，所以．又，所以，所以．故選：C.例18．（2022·黑龍江·哈九中二模（理））窗的運用是中式園林設計的重要組成部分，在表現(xiàn)方式上常常運用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境．從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等．已知圓O是某窗的平面圖，O為圓心，點A在圓O的圓周上，點P是圓O內(nèi)部一點，若，且，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運算，結合數(shù)量積，可求得，確定其取值范圍，再根據(jù)平方后的式子，即可求得答案.【詳解】因為，所以，所以，即，則．因為點P是圓O內(nèi)部一點，所以，所以，則，當且僅當時，等號成立，故的最小值是3,故選：A.例19．（2022·全國·三模（理））已知平面向量，，均為單位向量，且，的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】通過數(shù)量積與模長的關系可得，，再根據(jù)數(shù)量積的運算律以及概念即可得結果.【詳解】，因為，所以，所以，所以，，設與的夾角為，故，因為，所以，故選：A.題型三：基底法例20．（2022·天津河北·二模）已知菱形ABCD的邊長為2，，點E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，把用表示，最后轉(zhuǎn)化為含有，的代數(shù)式，再結合及基本不等式求得的最小值．【詳解】解：如圖，，，且，，．由題意可得，，，，，則，（當且僅當時等號成立），的最小值為．故答案為：．例21．（2022·山西省長治市第二中學校高三階段練習（理））菱形中，，點是線段上的動點（包括端點），則的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】設，運用向量的線性運算和數(shù)量積運算得，設，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】解：不妨設，則，所以，因為，所以，設，則，對稱軸為，所以，所以的最小值為.故答案為：.例22．（2022·全國·高一）在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出圓的半徑，由，結合向量數(shù)量積運算律將的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值，即可求出結論.【詳解】由題意，設到的距離為，則，故，其中，設的夾角為，，當且僅當與反向或同向時取得端點值；綜上，的范圍為.故選：A．例23．（2022·全國·高三專題練習）在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM中點，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件探求出，結合轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)并求函數(shù)的最小值即可.【詳解】在△ABC中，M為邊BC上任意一點，則，于是得，而，且與不共線，則，即有，因此，，當且僅當時取“=”，此時M為BC中點，所以的最小值為.故選：C例24．（2022·全國·高三專題練習）已知在中，，，點是邊上的動點，則當取得最小值時，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用“插點法”，重新表述，結合向量的數(shù)量積運算，將其轉(zhuǎn)化為的二次函數(shù)形式進行求解.【詳解】在中，，，.，則當時，取得最小值，此時，.故選：.例25．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知兩個模都為10的向量，它們的夾角為，點C在以O為圓心，10為半徑的上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的運算及數(shù)量積的運算性質(zhì)化簡，問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，由模為定長知同向時最大求解即可.【詳解】要使最小，即最大而為定值，為定值10只要與同向即可使最大的最小值為.故選：A例26．（2022·吉林長春·模擬預測（理））已知中，，，，點P為邊AB上的動點，則的最小值為（

）A．4 B．2 C．2 D．4【答案】A【解析】【分析】結合向量運算以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】設,,所以當時，取得最小值為.故選：A例27．（2022·全國·高三專題練習）在凸四邊形中，，，且為等邊三角形，若點在四邊形上運動，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分別討論E點在每條邊上運動時，向量點積的最小值，即可得到最小值.【詳解】如圖所示，四邊形關于直線對稱，故點在四邊形上運動時，只需考慮點在邊上的運動情況即可，易知，則，①當點在邊上運動時，設，則，∴，當時，的最小值為；②當點在邊上運動時，設，則，∴，當時，的最小值為；綜上，的最小值為；故選：B.【點睛】方法點睛：根據(jù)向量定義把向量點積轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解最值.題型四：幾何意義法例28．（2022·全國·高三專題練習（理））已知平面向量，，滿足，，與的夾角為，則的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】利用向量的模的運算求得，設平面向量，，都是以O為起點，終點分別是A,B,C，求得平面向量+的終點N的軌跡，由與的夾角為，得到C的軌跡，利用圓的性質(zhì)得到|NC|的距離的最大值，即為所求.【詳解】解：∵，,∴，如圖所示，設平面向量，，都是以O為起點，終點分別是A,B,C，則平面向量+的終點N到O的距離為2，設AB的中點為M,則|MN|=1,∴N在以M為圓心，半徑為1的圓周上.由與的夾角為，∴點C在以AB為弦的圓周角為的優(yōu)弧上，當C,M,N共線，且C,N在直線AB的兩側(cè)，并且CM⊥AB時，|CN|最大，也就是取得最大值,此時,,|CN|=,故答案為：.例29．（2022·上海市建平中學高一階段練習）已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】畫出圖形，表示出，，從而確定，利用正弦定理得到，結合，求出的取值范圍.【詳解】設，，如圖所示，則，因為與的夾角為，所以，因為，所以由正弦定理得：，所以，因為，所以故答案為：.例30．（2022·全國·高三專題練習）在平面內(nèi)，若有，，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】由條件可以求得，從而可作，并連接，取的中點，連接，則有，根據(jù)條件可以得到，可作，并連接，，從而可以得到，即點在以為直徑的圓上，從而得出當在上的投影最大時，最大．通過計算，即得出在上的投影最大值，從而得出的最大值.【詳解】解：根據(jù)條件，；；，如圖，作，則，連接，取的中點，連接，則；由得，；；作，連接，，則；；點在以為直徑的圓上；當運動到圓的最右側(cè)時，在上的投影最大，即最大；又,又,且,所以,所以在上的最大投影為，所以,故答案為：例31．（2022·北京朝陽·高三期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設，根據(jù)與的夾角為120°，得到，再根據(jù)，得到的終點在直線AB上求解.【詳解】設，如圖所示：則，因為與的夾角為120°，所以，因為，且的起點相同，所以其終點共線，即在直線AB上，所以當時，最小，最小值為，無最大值，所以的取值范圍為，故選；A例32．（2022·江蘇·高二）飛鏢運動于十五世紀興起于英格蘭，二十世紀初，成為人們在酒吧日常休閑的必備活動．某熱愛飛鏢的小朋友用紙片折出如圖所示的十字飛鏢，該十字飛鏢由四個全等的四邊形拼成．在四邊形中，，，，，點P是八邊形內(nèi)（不含邊界）一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定圖形，求出在方向上的投影向量長的范圍即可計算作答.【詳解】在四邊形中，，，，則，且，過D，H分別作直線OA的垂線，垂足分別為N，M，如圖，依題意，，，因此，，對任意點P，過P作于Q，而點P是八邊形內(nèi)（不含邊界）一點，當點P在四邊形和四邊形內(nèi)時，，當點P在四邊形和四邊形內(nèi)時，，顯然，，而，則，當點P在四邊形內(nèi)時，，則，當點P在四邊形內(nèi)時，，則，當點P在四邊形內(nèi)時，，則，當點P在四邊形內(nèi)時，，則，所以的取值范圍是.故選：B例33．（2022·湖南·模擬預測）已知直線與圓：相交于不同兩點，，點為線段的中點，若平面上一動點滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意，判斷得點在線段外，從而得是直角三角形，進而表示出，可得，由，可得的取值范圍.【詳解】因為，所以，，三點共線，且點在線段外，因為點為線段的中點，所以，即是直角三角形，所以，由數(shù)量積的定義可得：，因為，所以，即，故選:C.【點睛】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．例34．（2022·浙江紹興·高三期末）已知為圓：上長度為4的動弦，點是直線：上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設的中點為，則，則由題意可得點在以為圓心，1為半徑的圓上，從而可得的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑1，進而可求得答案【詳解】由，得，所以圓心，半徑，設的中點為，則，因為，半徑，所以，所以點在以為圓心，1為半徑的圓上，所以的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑1，所以，所以的最小值為，故選：A例35．（2022·福建廈門·高三階段練習）平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB，∠ADC=，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】【分析】由題設畫出示意圖，易得且在以中點為圓心，為半徑的劣弧上，根據(jù)圓的性質(zhì)可求的最小值.【詳解】由題設，可得如下示意圖，所以，因為，即在以中點為圓心，為半徑的劣弧上，所以要使的最小，即最大即可，由圓的性質(zhì)知：當為劣弧的中點時最大，又AC=，此時，故的最小值為.故選：D例36．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（理））已知△ABC的外接圓半徑長為1，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先分析取最小值的狀態(tài)，結合數(shù)量積的意義和二次函數(shù)可求答案.【詳解】由題意，為鈍角時，取到最小值；如圖，為的中點，在上的投影向量為；由可知當在上的投影長最長時，即與圓相切時，可取到最小值；，當時，，所以的最小值為.故選：B.例37．（2022·北京工業(yè)大學附屬中學三模）已知向量滿足，與的夾角為，則當實數(shù)變化時，的最小值為（

）A． B．2 C． D．2【答案】A【解析】【分析】有題意知，當時，取得最小值，過作，即取得最小值為，求出即可得出答案.【詳解】如圖，設，當時，取得最小值，過作，即取得最小值為，因為與的夾角為，所以，所以.故選：A.例38．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學高三期末（理））已知平面向量、滿足，且與的夾角為，若，則的最小值為（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設，，則，可令，可得出，結合圖形可知，當時，線段最短，由此可求得的最小值.【詳解】如圖所示，設，，則，可令，則，點在上，因為與的夾角為，則，當時，線段最短，此時取最小值，即.故選：C.例39．（2022·江蘇·高二）如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，，，AB=1，AD=3，，設點P為直角梯形ABCD內(nèi)一點（不包含邊界），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依題意過點作交的延長線于點，即可求出，設與的夾角為，結合圖形即可得到在方向上的投影的取值范圍，再根據(jù)數(shù)量積的幾何意義計算可得；【詳解】解：依題意過點作交的延長線于點，則，設與的夾角為，因為點為直角梯形內(nèi)一點（不包含邊界），所以在方向上的投影，且，所以故選：A例40．（2022·全國·高三專題練習）已知兩個不相等的非零向量，滿足，且與的夾角為60°，則的取值范圍是（）A．（0，） B．[，1） C．[，+∞） D．（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】設，，則，進而得為射線上的動點（不包括點），故.【詳解】解：如圖所示，設，，則.因為與的夾角為60°，所以，則，則為射線上的動點（不包括點），又，即，所以由圖可知，.故選:D.題型五：坐標法例41．（2022·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，則的最大值為___________.【答案】5【解析】【分析】利用換元法令，再將模的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，接著利用換元法和導數(shù)求得函數(shù)的最值.【詳解】令，，，，令，設，則，，令，若函數(shù)存在極值點，則是函數(shù)的唯一極值點，顯然，函數(shù)在取得最值，，故答案為：5.例42．（2022·全國·高三專題練習）已知是平面上的單位向量，則的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】先設，且，再根據(jù)向量?；?，最后化簡整理結合柯西不等式即可求出結果.【詳解】設，且，而，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為，故答案為：.例43．（2022·浙江·效實中學模擬預測）已知平面向量滿足，，，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】結合數(shù)量積的運算律，可根據(jù)求得，進而得到；令，，設，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算可求得點滿足的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為直線上的點到和的距離之和；通過作出點關于直線的對稱點，可知所求最小值為；利用點關于直線對稱點的求法求得坐標后，即可利用兩點間距離公式得到結果.【詳解】，，，解得：，即，即，不妨令，，設，則，，，則的幾何意義為：直線上的點到和的距離之和，即；作出點關于直線的對稱點，，（當且僅當三點共線時取等號），設，則，解得：，，即的最小值為.故答案為：.例44．（2022·江蘇·阜寧縣東溝中學模擬預測）已知半徑為1的圓O上有三個動點A，B，C，且，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】先判斷出，再以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系：然后利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出，再根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑可求出結果.【詳解】因為，又，所以，所以，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系：則，，設，則，，，所以，設，即，依題意直線與圓有交點，所以，得，所以的最小值為.故答案為：例45．（四川省瀘縣第四中學2022屆高三下學期高考適應性考試數(shù)學（理）試題）已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是_________．【答案】【解析】【分析】由題意可設的坐標，設，利用求得的終點的軌跡方程，即可求得答案.【詳解】因為是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，故不妨設，設，由得：，即，即，則的終點在以為圓心，半徑為的圓上，故的最大值為，故答案為：例46．（2022·北京市第十二中學三模）為等邊三角形，且邊長為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】以點為坐標原點，、分別為、軸的正方向建立平面直角坐標系，設點，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算以及余弦函數(shù)的有界性可求得的最小值.【詳解】因為是邊長為的等邊三角形，且，則為的中點，故，以點為坐標原點，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，設點，，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.例47．（江蘇省泰州市2022屆高三下學期第四次調(diào)研測試數(shù)學試題）平面向量滿足，與的夾角為，且則的最小值是___．【答案】##【解析】【分析】設，，設，根據(jù)結合數(shù)量積的運算求得C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,利用的幾何意義可求得答案.【詳解】由題意不妨設O為坐標原點，令，，設，由于,∴，∴，即，故C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,故，故答案為：例48．（2022·全國·高三專題練習）點是邊長為2的正六邊形內(nèi)或邊界上一動點，則的最大值與最小值之差為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標系，將向量的運算轉(zhuǎn)化為坐標的運算以實現(xiàn)簡化.【詳解】解：如圖，以為軸，為軸建立平面直角坐標系，則，，設，在中，∵，，∴，高，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴最大值與最小值之差為8.故選：D.例49．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在矩形ABCD中，，M，N分別為線段BC，DC上的動點，且，則的最小值為（

）A． B．15 C．16 D．17【答案】B【解析】【分析】以為原點，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設，根據(jù)的長度得到的坐標，利用平面向量的數(shù)量積的坐標表示得到關于的三角函數(shù)表達式，利用輔助角公式化簡，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到最小值.【詳解】以A為原點，AB所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，設，則，即，其中．

時取“=”，所以的最小值為15，故答案為：15.例50．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在平面四邊形中，.若點E為邊上的動點，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】以D為原點，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，求出各點坐標，設，用數(shù)量積的坐標表示求出數(shù)量積，結合二次函數(shù)性質(zhì)得最小值．【詳解】如圖所示，以D為原點，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖，過點B做軸，過點B做軸，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴，設，∴.；∴，當時.取得最小值為.故選：D．例51．（2022·四川·成都七中模擬預測（理））在等腰梯形中，是腰上的動點，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】如圖，以為原點，射線為軸正半軸建立直角坐標系，用坐標表示出，即可求出答案【詳解】解：如圖，以為原點，射線為軸正半軸建立直角坐標系，則由題意可得，設，其，則，所以，所以，所以當時，取最小值，故選：C例52．（2022·全國·高三專題練習）已知是邊長為2的正三角形，點為所在平面內(nèi)的一點，且，則長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】通過建立直角坐標系，利用向量的坐標表示結合基本不等式解決向量模長問題.【詳解】如圖，以的中點為原點，，所在直線分別為軸，軸建立直角坐標系，即，，，則，.設，則，，，所以.設，，解得，，則，所以長度的最小值為.故選：B例53．（2022·全國·高三專題練習）等邊的面積為，且的內(nèi)心為M，若平面內(nèi)的點N滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形面積求出三角形的邊長，以為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標系，由條件得出點N在以M為圓心，1為半徑的圓上，其方程為，且，然后用向量數(shù)量積的坐標公式得出的表達式，在求其最小值.【詳解】設等邊的邊長為，則面積，解得以為軸，的中垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系.由為的內(nèi)心，則M在上，且則，由，則點N在以M為圓心，1為半徑的圓上.設，則，即，且，故選:A【點睛】本題考查動點的軌跡方程和利用坐標求向量的數(shù)量積的最值，解答本題的關鍵是建立坐標系得出點N在以M為圓心，1為半徑的圓上，其方程為，且，進而得出，屬于中檔題.例54．（2022·遼寧沈陽·一模）如圖，在直角梯形中，，，，，是線段上的動點，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，建立直角坐標系，利用坐標法求解即可.【詳解】解：如圖，以點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設，，因為，，所以，所以，，所以，所以，所以當，即時，的最小值為.故選：B例55．（2022·全國·高三專題練習）已知是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標系，利用向量運算的坐標表示即可計算作答.【詳解】是邊長為2的正方形，則以點A為原點，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖：則，設點，，于是得：，當時，取得最小值，所以的最小值是.故選：B例56．（2022·全國·高三專題練習）四葉回旋鏢可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，，，，M為線段上一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，利用向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】解：由題意，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系則，，M為線段上一動點，設，其中，，當時，的最小值為.故選：D.例57．（2022·四川·射洪中學模擬預測（文））是等腰直角三角形，，，，其中，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由平行四邊形法則以及向量共線的性質(zhì)得出點在直線上，建立坐標系，由數(shù)量積公式以及距離公式得出的最小值.【詳解】由知點為的中點，設為中點，由得，因為，所以點在直線上，建立如下圖所示的平面直角坐標系，，，當時，最小，的直線方程為，即，由點到直線的距離公式可得：，即的最小值.故選：B例58．（2022·山東濰坊·模擬預測）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，點E在弧CD上，則的最小值是（

）A．－1 B．1 C．－3 D．3【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標法表示，結合三角函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】以為原點，為軸的正方形建立平面直角坐標系，則，設，，所以當時，取得最小值.故選：C例59．（2022·湖南·臨澧縣第一中學高三階段練習）在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先解三角形得到為直角三角形，建立直角坐標系，通過表示出，借助三角函數(shù)求出最小值.【詳解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），設P的坐標為，所以，，，又，所以，所以，，所以，當且僅當時，等號成立．故選：B．例60．（2022·山西·二模（理））在菱形中，，點在菱形所在平面內(nèi)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設交于點，以為坐標原點，直線分別為軸，軸建立直角坐標系，利用坐標法求解即可.【詳解】解：由菱形中，，可得且，設交于點，以為坐標原點，直線分別為軸，軸建立直角坐標系，如圖，取中點，則，，設，則，所以當，時，取得最小值.故選：C．例61．（2022·陜西·西安中學模擬預測（文））在直角三角形中，，點是線段上的動點，且，則的最小值為（

）A．12 B．8 C． D．6【答案】B【解析】【分析】在直角三角形中，易得，作于點，如圖，以為原點建立平面直角坐標系，不妨設點在點的左側(cè)，設，則，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】解：直角三角形中，，所以，所以，作于點，則，如圖，以為原點建立平面直角坐標系，不妨設點在點的左側(cè)，設，則，，，則，所以，當且僅當時，的最小值8.故選：B.例62．（2022·廣東惠州·高三階段練習）已知平面向量，，滿足，且，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，得到，不妨設，利用坐標法求解.【詳解】解：因為，所以，又，所以，如圖所示：不妨設，則，所以，因為，所以，即，表示點C在以為圓心，以2為半徑的圓上，所以最小值為，故選：D例63．（2022·山東·勝利一中模擬預測）已知為單位向量，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設，以為原點建立直角坐標系，設，，可得.【詳解】設，則，所以為等邊三角形，以為原點建立如圖所示直角坐標系，則，設，，則，所以在以為圓心，1為半徑的圓上，因為，所以.故選：A.例64．（2022·全國·高三專題練習（文））已知梯形ABCD中，，，，，，點P，Q在線段BC上移動，且，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】如圖以B為坐標原點，BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，設，則，然后表示出，求其最小值即可，【詳解】如圖，以B為坐標原點，BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，因為，，，，所以，不妨設，，則，所以當時，取得最小值，故選：D例65．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知兩個單位向量，，且它們的夾角為，點C在以O為圓心，1為半徑的上運動，則·的最小值為（

）A． B．0 C． D．－【答案】A【解析】【分析】可以O為原點，OB為x軸建立坐標系，將C點設為，利用坐標法進行求解.【詳解】以為坐標原點建立如圖坐標系，則由已知得.由點在以為圓心，1為半徑的上運動可設，.∴，由知，，∴，因此當時，有最小值.故選：A.例66．（2022·全國·高三專題練習）騎行是目前很流行的一種綠色健身和環(huán)保出行方式，騎行屬于全身性有氧活動?能有效地鍛煉大腦?心臟等人體器官機能，它帶給人們的不僅是簡單的身體上的運動鍛煉，更是心靈上的釋放.如圖是某一自行車的平面結構示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形.設點為后輪上一點，則在騎行該自行車的過程中，的最小值為（

）A． B．12 C． D．24【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，如圖建立平面直角坐標系，故，，，，進而利用坐標法結合三角函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】解：如圖，以點為坐標原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，因為圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形所以點，，，所以，所以，所以當，的最小值為.故選：B題型六：極化恒等式例67．（2022·山東師范大學附中模擬預測）邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，是內(nèi)切圓的一條弦，點為正方形四條邊上的動點，當弦的長度最大時，的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】設正方形的內(nèi)切圓為圓，當弦的長度最大時，為圓的一條直徑，計算可得出，計算出的取值范圍，即可得解.【詳解】如下圖所示：設正方形的內(nèi)切圓為圓，當弦的長度最大時，為圓的一條直徑，，當為正方形的某邊的中點時，，當與正方形的頂點重合時，，即，因此，.故答案為：.例68．（2022·湖北省仙桃中學模擬預測）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長為6的可移動的線段，，，，則的取值范圍為________________.

【答案】【解析】【分析】首先在上取一點，使得，取的中點，連接，，根據(jù)題意得到，再根據(jù)的最值求解即可.【詳解】在上取一點，使得，取的中點，連接，，如圖所示：則，，，，即.，當時，取得最小值，此時，所以.當與重合時，，，則，當與重合時，，，則，所以，即的取值范圍為.故答案為：例69．（2022·全國·高一）設三角形ABC，P0是邊AB上的一定點，滿足P0B=AB，且對于邊AB上任一點P，恒有，則三角形ABC形狀為___________.【答案】C為頂角的等腰三角形【解析】【分析】取BC的中點D，設O為AB的中點，根據(jù)可得，從而可知，再由中位線定理可知，，即可解出．【詳解】取BC的中點D，連接PD，P0D，如圖所示：，同理，，，設O為AB的中點，即三角形ABC為以C為頂角的等腰三角形.故答案為：C為頂角的等腰三角形．例70．（2022·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切于點，設直線與軸的交點為，點為圓上的動點，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】因為相切，圓心到直線的距離等于半徑，再將點代入圓方程解出，進而求得中點，則即可求解．【詳解】圓的圓心的為，因為直線與圓相切于點則所以得，所以，，所以直線方程為，圓的方程為，所以，，的中點，則因為，所以故，所以的最大值為故答案為：例71．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD上的動點，以MN為邊作等邊，使得點A，P位于直線MN的兩側(cè)，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】設出邊長，通過做輔助線，將轉(zhuǎn)化為，然后利用解三角形的知識，把和表示出來，建立函數(shù)關系求解最值即可.【詳解】如圖，連接BN，設BN，MN中點分別為E，F(xiàn)，連接PE，PF，EF．設，，，在中，由勾股定理得，則，BN，MN中點分別為E，F(xiàn)，則EF為的中位線，∴且，∴，在中，由勾股定理得，∴，在等邊中，F(xiàn)為MN中點，則，，，在中，由余弦定理得，當N與C重合時，，，不存在，但可驗證上述等式依然成立，當且僅當時等號成立．∵關于b的函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，當且僅當時等號成立．∴，當且僅當，時等號成立.故答案為：．例72．（2022·陜西榆林·三模（文））四邊形為菱形，，，是菱形所在平面的任意一點，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】取的中點，連接，，，應用向量加減法的幾何意義及數(shù)量積的運算律可得，即可求最小值.【詳解】由題設，，取的中點，連接，，，則，，所以.故答案為：例73．（2022·重慶八中模擬預測）中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】易知是直角三角形，利用等面積法可得內(nèi)切圓半徑，設內(nèi)切圓圓心為，根據(jù)為直徑，可知，，整理，進而根據(jù)的運動情況來求解.【詳解】由題可知，，所以是直角三角形，，設內(nèi)切圓半徑為，則，解得，設內(nèi)切圓圓心為，因為是內(nèi)切圓的一條直徑，所以，，則，，所以，因為M為邊上的動點，所以；當與重合時，，所以的取值范圍是，故選：C例74．（2022·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學高一階段練習）半徑為2的圓上有三點滿足，點是圓內(nèi)一點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設交于點，則由題意可得四邊形是菱形，利用菱形的性質(zhì)以及數(shù)量積的運算性質(zhì)可得，由即可求得【詳解】如圖，設交于點，由，可得,所以四邊形為平行四邊形，因為，所以四邊形為菱形，且，所以，由圖可知，，所以,因為，所以,所以，因為點為圓內(nèi)一點，所以，所以，所以的取值范圍為，故選：A例75．（2022·黑龍江·佳木斯一中高二期中）已知P為橢圓上任意一點，EF為圓任意一條直徑，則的取值范圍為（

）A．[8，12] B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意可得圓心恰好是橢圓的右焦點，將化簡得，由橢圓的性質(zhì)可知，從而可求出的取值范圍【詳解】由，得，則，圓的圓心恰好是橢圓的右焦點，圓的半徑為2，因為，因為P為橢圓上任意一點，為橢圓的右焦點，所以，即，所以，所以，所以的取值范圍為，故選：C例76．（2022·四川涼山·三模（理））已知下圖中正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為2，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根正六邊形的性質(zhì)，求得內(nèi)切圓和外接圓的半徑，再化簡得到，結合，即可求解.【詳解】由正六邊形的邊長為4，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，所以正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，外接圓的半徑為，又由，因為，即，可得，所以的取值范圍是.故選：B.例77．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在中，點是線段上一動點.若以為圓心?半徑為1的圓與線段交于兩點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)為的中點，將用表示出來，然后利用向量運算法則，即可將問題轉(zhuǎn)化為的最小值，即到線段的距離的平方．【詳解】解：由題意，，且，，所以，，所以，易知，當時，最小，所以，即，解得，故的最小值為．故選：B．例78．（2022·福建莆田·模擬預測）已知P是邊長為4的正三角形所在平面內(nèi)一點，且，則的最小值為（

）A．16 B．12 C．5 D．4【答案】C【解析】【分析】延長到D，使得，可得點P在直線上，化簡可得，求出最小值即可.【詳解】如圖，延長到D，使得．因為，所以點P在直線上．取線段的中點O，連接，則．顯然當時，取得最小值，因為，則，所以，所以的最小值為．故選：C.例79．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l：與圓C：交于A，B兩點，O為坐標原點，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由題意直線l過圓心，則，當OC垂直直線l時，取得最小值得出答案.【詳解】圓的圓心，滿足，所以直線l過圓心，所以，當OC垂直直線l時，取得最小值，所以的最小值為所以的得最小值為，故的最小值為．故選：A例80．（2022·北京·人大附中模擬預測）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術．圖1是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形前紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】計算得出，求出的取值范圍，由此可求得的取值范圍，從而可得最小值.【詳解】如下圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，、、、、、均為邊長為的等邊三角形，當點位于正六邊形的頂點時，取最大值，當點為正六邊形各邊的中點時，取最小值，即，所以，.所以，.的最小值為.故選：D.例81．（2022·江西·二模（理））已知△ABC是面積為的等邊三角形，且，其中實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】延長AC至M，使得，化簡所給條件可知三點共線，取線段AC的中點O，連接OD，利用向量的加法減法及數(shù)量積運算化簡，轉(zhuǎn)化為求的最小值.【詳解】依題意，解得AB＝4，延長AC至M，使得,如圖，因為，所以點D在直線BM上，取線段AC的中點O，連接OD，則，顯然當OD⊥BM時，有最小值3，所以，故的最小值為5，故選：B．題型七：矩形大法例82．（貴州省貴陽市第一中學2022屆高三上學期高考適應性月考卷（三）數(shù)學（文）試題）已知平面向量，，，滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的夾角公式可得，設，，，，，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示可得點的軌跡為圓，由幾何意義可知：的最小值為減去半徑即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以不妨設，，，，，，則，，因為，所以，化簡為：，所以對應的點是以為圓心，半徑為的圓，所以的最小值為，故選：B.例83．（北京市人大附中朝陽學校20192020學年度高一下學期期末模擬數(shù)學試題（1））設向量，，滿足，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】建立坐標系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標分別為，，設的坐標為，由已知可得，表示以為圓心，為半徑的圓，求出圓心到原點的距離，再減去半徑即為所求【詳解】解：建立坐標系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標分別為，，設的坐標為，因為，所以，化簡得，表示以為圓心，為半徑的圓，則的最小值表示圓上的點到原點的距離的最小值，因為圓到原點的距離為，所以圓上的點到原點的距離的最小值為，故選：B【點睛】此題考查平面向量的數(shù)量積運算，解題的關鍵是寫出滿足條件的對應的點，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結合的思想，屬于中檔題例84．（四川省資陽市20212022學年高三第一次診斷考試數(shù)學（理）試題）已知為單位向量，向量滿足：，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】可設，，根據(jù)，可得的關系式，并得出的范圍，，將用表示，再根據(jù)函數(shù)的最值即可得解.【詳解】解：可設，，則，即，則，，，當時，取得最大值為6，即的最大值為6.故選：C題型八：等和線例85．（2022·全國·高三專題練習）在矩形中，，，，分別是，上的動點，且滿足，設，則的最小值為（

）A．48 B．49 C．50 D．51【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標系，假設點坐標，然后得到，然后代入并結合基本不等式進行計算即可.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，則，，，，設，，因為，所以，，.因為，所以，，所以.當且僅當，即，時取等號.故選:B.例86．（2022·山東煙臺·三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】【分析】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.【詳解】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設，則，∵BC//EF，∴設，則∴，∴∴故選：A.例87．（2022·全國·高一期