上海市東昌中學2024屆高三質(zhì)量檢測試題（二）數(shù)學試題

上海市東昌中學2024屆高三質(zhì)量檢測試題（二）數(shù)學試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數(shù)滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-52．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．二項式的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是()A．180 B．90 C．45 D．3604．若集合，，則A． B． C． D．5．已知雙曲線滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合；②雙曲線E與過點的冪函數(shù)的圖象交于點Q，且該冪函數(shù)在點Q處的切線過點F關(guān)于原點的對稱點．則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．6．為雙曲線的左焦點，過點的直線與圓交于、兩點，（在、之間）與雙曲線在第一象限的交點為，為坐標原點，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．如圖所示，三國時代數(shù)學家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，?。?，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．20 B．27 C．54 D．648．已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（）A． B．C． D．9．已知x，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．在中，，，，則在方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-311．如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．12．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．割圓術(shù)是估算圓周率的科學方法，由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，從而得出圓周率．現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點，則該點取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為________．14．設(shè)滿足約束條件且的最小值為7，則＝_________.15．若隨機變量的分布列如表所示，則______，______．-10116．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過點．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線，從原點O作射線交于點M，點N為射線OM上的點，滿足，記點N的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)直線與曲線C交于P，Q兩點，求的值．18．（12分）某調(diào)查機構(gòu)對某校學生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查，該調(diào)查機構(gòu)從該校隨機抽查了100名不同性別的學生，調(diào)查統(tǒng)計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”，現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，統(tǒng)計情況如下表：同意不同意合計男生a5女生40d合計100（1）求a，d的值，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請說明理由；（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學生中，采用隨機抽樣的方法抽取4位學生進行長期跟蹤調(diào)查，記被抽取的4位學生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值1，證明：（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于、兩點，若，在線段上取點，使，求證：點在定直線上.21．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，且，，.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.22．（10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若正數(shù)、滿足，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【題目詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

求出集合，利用集合的基本運算即可得到結(jié)論.【題目詳解】由，得，則集合，所以，.故選：B.【題目點撥】本題主要考查集合的基本運算，利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】試題分析：因為的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以，，令，則，.考點：1.二項式定理；2.組合數(shù)的計算.4、C【解題分析】

解一元次二次不等式得或，利用集合的交集運算求得.【題目詳解】因為或，，所以，故選C.【題目點撥】本題考查集合的交運算，屬于容易題.5、B【解題分析】

由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數(shù)為,設(shè)出切點通過導數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率．【題目詳解】依題意可得，拋物線的焦點為，F(xiàn)關(guān)于原點的對稱點；，，所以，，設(shè)，則，解得，∴，可得，又，，可解得，故雙曲線的離心率是.故選B．【題目點撥】本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導數(shù)的幾何意義,考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.6、D【解題分析】

過點作，可得出點為的中點，由可求得的值，可計算出的值，進而可得出，結(jié)合可知點為的中點，可得出，利用勾股定理求得（為雙曲線的右焦點），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【題目詳解】如下圖所示，過點作，設(shè)該雙曲線的右焦點為，連接.，.，，，為的中點，，，，，由雙曲線的定義得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.【題目點撥】本題考查雙曲線離心率的求解，解題時要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.7、B【解題分析】

設(shè)大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解。【題目詳解】設(shè)大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B【題目點撥】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。8、C【解題分析】

由題意可知，，由可得出，，利用導數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進而可得出，由此可得出，可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【題目詳解】，，由于，則，同理可知，，函數(shù)的定義域為，對恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則，，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，.故選：C.【題目點撥】本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及指對同構(gòu)思想的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，有一定的難度.9、D【解題分析】

，不能得到，成立也不能推出，即可得到答案.【題目詳解】因為x，，當時，不妨取，，故時，不成立，當時，不妨取，則不成立，綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D【題目點撥】本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.10、D【解題分析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得，再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解：如圖所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故選D.點睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.11、C【解題分析】

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【題目詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【題目點撥】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結(jié)果.【題目詳解】，所以，.故選：B.【題目點撥】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可．【題目詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個頂角為，腰為1的等腰三角形，∴該正十二邊形的面積為，根據(jù)幾何概型公式，該點取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為，故答案為：．【題目點撥】本小題主要考查面積型幾何概型的計算，屬于基礎(chǔ)題.14、3【解題分析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，對參數(shù)a分類討論，當時顯然不滿足題意；當時，直線經(jīng)過可行域中的點A時，截距最小，即z有最小值，再由最小值為7，得出結(jié)果；當時，的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當時，的截距沒有最大值，即z沒有最小值，綜上可得出結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如下：由，可得出交點，由可得，當時顯然不滿足題意；當即時，由可行域可知當直線經(jīng)過可行域中的點A時，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）；當即時，由可行域可知的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當即時，根據(jù)可行域可知的截距沒有最大值，即z沒有最小值.綜上可知滿足條件時.故答案為：3.【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃問題，約束條件和目標函數(shù)中都有參數(shù)，要對參數(shù)進行討論.15、【解題分析】

首先求得a的值，然后利用均值的性質(zhì)計算均值，最后求得的值，由方差的性質(zhì)計算的值即可.【題目詳解】由題意可知，解得（舍去）或.則，則，由方差的計算性質(zhì)得.【題目點撥】本題主要考查分布列的性質(zhì)，均值的計算公式，方差的計算公式，方差的性質(zhì)等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16、【解題分析】

對題目所給等式進行賦值，由此求得的表達式，判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此求得的值.【題目詳解】解：，可得時，，時，，又，兩式相減可得，即，上式對也成立，可得數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，可得．【題目點撥】本小題主要考查已知求，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）(t為參數(shù))，；（Ⅱ）1.【解題分析】

（Ⅰ）直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程，設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由題意可得，即ρ＝4cosθ，然后化為普通方程；（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程中，得到關(guān)于t的一元二次方程，再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP|?|AQ|的值．【題目詳解】（Ⅰ）直線l1的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）即（t為參數(shù)）．設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），則，即，即ρ=4cosθ，∴曲線C的直角坐標方程為x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程中，得，即，t1，t2為方程的兩個根，∴t1t2=-1，∴|AP|?|AQ|=|t1t2|=|-1|=1．【題目點撥】本題考查簡單曲線的極坐標方程，考查直角坐標方程與直角坐標方程的互化，訓練了直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題．18、（1）,有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)公式計算結(jié)果即可確定有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）由題意可知X服從二項分布，利用公式計算概率及期望即可.【題目詳解】（1）因為100人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列聯(lián)表可得而所以有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）①由題知持“同意”態(tài)度的學生的頻率為，即從學生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學生的概率為.由于總體容量很大，故X服從二項分布，即從而X的分布列為X01234X的數(shù)學期望為【題目點撥】本題主要考查了相關(guān)性檢驗、二項分布，屬于中檔題.19、（1）證明見詳解；（2）【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由在處取得極值1，可得且.解出，構(gòu)造函數(shù)，分析其單調(diào)性，結(jié)合，即可得到的范圍，命題得證；

（2）由分離參數(shù)，得到恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，進行二次求導.由知，則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點存在定理可知有唯一零點，且.由此判斷出時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，則，即.由得，再次構(gòu)造函數(shù)，求導分析單調(diào)性，從而得，即，最終求得，則.【題目詳解】解：（1）由題知，∵函數(shù)在，處取得極值1，，且，，，令，則為增函數(shù)，，即成立.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，令，則令，則,，，在上單調(diào)遞增，且，有唯一零點，且，當時，，，單調(diào)遞減；當時，，，單調(diào)遞增.，由整理得，令，則方程等價于而在上恒大于零，在上單調(diào)遞增，.，∴實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的極值，利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點存在定理，證明不等式，解決不等式恒成立問題.其中多次構(gòu)造函數(shù)，是解題的關(guān)鍵，屬于綜合性很強的難題.20、（1）；（2）見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，進而可得出橢圓的標準方程；（