2021北京初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編：等腰三角形與直角三角形 (一)

2021北京初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編

等腰三角形與直角三角形

一、單選題

1.（2021?北京東城?八年級(jí)期末）如圖所示，己知/AOB=60。，點(diǎn)尸在邊0A上，OP=10,點(diǎn)M,N在邊

OB上，PM=PN,若MN=2,則OM的長(zhǎng)為（）

B.4

C.5

D.6

2.（2021?北京昌平?八年級(jí)期末）如圖，是等邊三角形，。是線段BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)民C重合）,

連接A。，點(diǎn)E,F分別在線段A8,AC的延長(zhǎng)線上，且E）E=DF=A￡）,點(diǎn)。從8運(yùn)動(dòng)至UC的過(guò)程中，

△BED周長(zhǎng)的變化規(guī)律是（）

A.不變B.一直變小C.先變大后變小D.先變小后變大

3.（2021?北京通州?八年級(jí)期末）如圖,在AABC中，ZACB=90°,邊BC的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)

D,連接CD,如果CD=6,那么AB的長(zhǎng)為（）

A.6B.3C.12D.4.5

4.（2021?北京豐臺(tái)?八年級(jí)期末）等腰三角形的一邊長(zhǎng)是5,另一邊長(zhǎng)是10,則周長(zhǎng)為（)

A.15B.20C.20或25D.25

5.（2021?北京大興?八年級(jí)期末）等腰三角形的一個(gè)角是70。，則它的底角是（）

A.55°B.70°C.40°或70°D.55°或70°

6.（2021?北京門頭溝?八年級(jí)期末）如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,A,B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C

也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為

二、填空題

7.（2021?北京東城?八年級(jí)期末）如圖，已知NMON=30點(diǎn)A/,A2,4,…在射線ON上，點(diǎn)5”B2,

以,…在射線OM上，△4/8/42，△A2B2A},△A3&A4,…均為等邊三角形，若。4尸1,則△A202/B202M2022

8.（2021?北京平谷?八年級(jí)期末）已知等腰三角形的一個(gè)角是70。，則它頂角的度數(shù)為.

9.（2021.北京東城.八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，力是BC上一點(diǎn)，AC=AD=DB,ABAC=\05°,則

NB=________

10.（2021?北京延慶?八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，ZBAD=20°,且AE

=AD,則NCDE的度數(shù)是.

BDC

11.（2021?北京豐臺(tái)?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°.COLAS于點(diǎn)。.如果

BD=1,那么4)=

12.（2021?北京西城?八年級(jí)期末）如圖，AABC當(dāng)AADE,點(diǎn)D在邊BC上，NE4c=36。，則/8=

13.（2021?北京順義?八年級(jí)期末）如圖，AABC是等邊三角形，AE=BD,AO與CE交于點(diǎn)F,則NCU）

的度數(shù)是.

14.（2021?北京房山?八年級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方形4BCO中，4B=6,BC=2,直線/是長(zhǎng)方形A8C。的一條對(duì)稱

軸，且分別與40,8c交于點(diǎn)E,E若直線/上的動(dòng)點(diǎn)P,使得△物8和4PBC均為等腰三角形.則動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)

有個(gè).

D,----------------------------,C

AB

15.（2021?北京朝陽(yáng)?八年級(jí)期末）“三等分角''大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示

的“三等分角儀”能三等分任一角.這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA,OB組成，兩根棒在0點(diǎn)相連并可繞

O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE,點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng).若NBDE=75。,則/CDE的度數(shù)是

16.（2021?北京延慶?八年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方形A8CO的對(duì)稱軸/上找點(diǎn)P,使得AP8C均為等

腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)尸有個(gè).

17.（2021?北京昌平?八年級(jí)期末）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40。，則這個(gè)等腰三角形的頂角為

18.（2021?北京順義?八年級(jí)期末）如圖,在入45。中,45=4（7,8。_L4c于點(diǎn)。4=50。,則//小。的度數(shù)

為.

19.（2021.北京門頭溝.八年級(jí)期末）學(xué)習(xí)了等腰三角形的相關(guān)內(nèi)容后，張老師請(qǐng)同學(xué)們交流這樣一個(gè)問(wèn)

題：“如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,求它的周長(zhǎng)”.同學(xué)們經(jīng)過(guò)片刻的思考和交流后，小明

同學(xué)舉手講“它的周長(zhǎng)是9或12”，你認(rèn)為小明的回答是否正確：,你的理由是.

三、解答題

20.（2021.北京西城.八年級(jí)期末）如圖，AB〃C。，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，NA=NE,AC=ED.

（1）求證：BC=CD；

（2）連接80,求證：NABD=NEBD.

21.（2021.北京昌平.八年級(jí)期末）如圖，在“BC中，AB=AC,8c=26，NBAC=120。，于點(diǎn)

D,延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使OE=AO,連接BE和CE.

（1）補(bǔ)全圖形；

（2）若點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贐C上找一點(diǎn)P使AP+FP的值最小，并求出最小值.

A

B，D、C

22.（2021?北京大興?八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，CF平分NOCE,AD〃EB,

NADC=/BCE,AD=BC,求證：DF=FE

D

E

23.（2021?北京石景山?八年級(jí)期末）如圖,△ABC是等邊三角形，D,E分別是BA,CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，

且AD=BE.求證：AE=CD.

24.（2021?北京房山?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=40°,AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)

D,交AB于點(diǎn)E,連接BD.

A

A

BC

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）求NDBC的度數(shù).

25.（2021?北京東城?八年級(jí)期末）已知AABC是等邊三角形,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在射線BC上，點(diǎn)

。在線段AB上，ZPDQ=U00.

AA

1A

B（Q）cP5---------p-c

圖1圖2

（1）如圖1,若點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，求證：DB=DP；

（2）如圖2,若點(diǎn)P在線段上，AC=8,求AQ+PC的值.

26.（2021?北京大興?八年級(jí)期末）己知：如圖，在AABC中，ZACB=90°,是等邊三角形.P是

線段BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）,ZPAQ=60°,且4P=AQ.連接DQ,CQ,PQ.

（1）求NADQ的度數(shù);

（2）若NCQD=90。，判斷線段CQ與AD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明.

27.（2021?北京朝陽(yáng)，八年級(jí)期末）如圖，在AASC中，AO平分NBAC,于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作

￡>E〃AC交48于點(diǎn)E.求證：E為AB的中點(diǎn).

28.（2021?北京朝陽(yáng)?八年級(jí)期末）在學(xué)習(xí)了“等邊對(duì)等角“定理后，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)繼續(xù)探究了同一

個(gè)三角形中邊與角的數(shù)量關(guān)系，得到了一個(gè)正確的結(jié)論：“在同一個(gè)三角形中，較長(zhǎng)的邊所對(duì)的角較大“，

簡(jiǎn)稱：“在同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角”.即，如圖：當(dāng)AB>AC時(shí)，NC>NB.該興趣小組的同學(xué)在此

基礎(chǔ)上對(duì)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的一般情況，繼續(xù)進(jìn)行了深入的探究，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：

（1）在AABC中，AO是BC邊上的高線.

①如圖1,若AB=AC,則/8AD=/CAO；

②如圖2,若ASMC,當(dāng)AB>4C時(shí)，ZBADACAD.（填“>”，“<"，"="）

證明：是3c邊上的高線，

二NAOB=/AOC=90°.

，ZBAD=90°-ZB,ZCAD=90°-ZC.

'：AB>AC,

，（在同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角）.

，NBADACAD.

（2）在AABC中，AO是BC邊上的中線.

①如圖1,若AB=AC,則NBAD=/C4D；

②如圖3,若ABTXC,當(dāng)A8>AC時(shí)，ABADACAD.（填“<"，"="）

證明：

29.（2021?北京延慶?八年級(jí)期末）如圖，已知等邊三角形ABC,延長(zhǎng)3A至點(diǎn)。，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E,使

AD=CE,連接CD,BE.求證：△ACMACBE.

30.（2021?北京西城?八年級(jí)期末）課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在A45C中，A。平分

ZBAC交BC于點(diǎn)D,且AB+BO=AC.求證：NA8C=2NAC8.小明的方法是：如圖2,在AC上截取

AE,使AE=A8,連接￡>E,構(gòu)造全等三角形來(lái)證明結(jié)論.

圖1圖2

（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長(zhǎng)法”，那么還可以用“補(bǔ)短法'’通過(guò)延長(zhǎng)線段43構(gòu)造全等三角

形進(jìn)行證明.輔助線的畫法是：延長(zhǎng)AB至F,使BF=,連接。尸.請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線的

畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；

（2）小蕓通過(guò)探究，將老師所給的問(wèn)題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問(wèn)題：如圖3,點(diǎn)D

在AA8C的內(nèi)部，AD,BD,CD分別平分N8AC,ZABC,ZACB,SLAB+BD=AC.求證：

ZABC=2ZACB.請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問(wèn)題；

（3）小東將老師所給問(wèn)題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在AABC中，

ZABC=2ZACB,點(diǎn)D在邊BC上，AB+BD^AC,那么AO平分Zfl4c.小東判斷這個(gè)命題也是真命

題，老師說(shuō)小東的判斷是正確的.請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明.

圖3圖4

參考答案

1.B

【分析】過(guò)P作P。垂直于MM利用三線合一得到。為MN中點(diǎn)，求出MQ的長(zhǎng)，在RtaOPQ中，利用

30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出。。的長(zhǎng)，由OQ-MQ求出0M的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：過(guò)P作

,/PM=PN,

...APMN為等腰三角形，

PQ1MN,

：.MQ=NQ=T,

在Rtz^O尸0中，OP=W,ZAOB=60°,

：.NOPQ=30°,

OQ=^OP=5,

則OA/=OQ_Q*5_1=4,故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及含30。直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30。直角三角形的性質(zhì)，

是解本題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得ZA8C=ZACB=/a4C=60。，從而可得NEBD=NDCF=120°,

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角的和差可得NS4D=N￡=N8F,然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可

得BE=CD,從而可得ABED周長(zhǎng)為BE+BD+￡)E=3C+A。，最后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可得出答案.

【詳解】?.?△ABC是等邊三角形，

/.ZABC=ZACB=ABAC=60°,

:.ZEBD=NDCF=120°,

?;DF=AD,

：.ZCAD^ZF,

丁(ABAD+ZCAD=ABAC=60°

又,〕ZCDF+ZF=ZACB=60°

.?"BAD=NCDF,

?；DE=AD,

:./BAD=NE,

:.ZE=ZCDF,

ZEBD=NDCF

在ABDE和ACFD中，*NE=ZCDF,

DE=FD

:.由DE=《：FD(AAS),

BE=CD,

則ABED周長(zhǎng)為BE+BD+DE=CD+BD+AD=BC+AD,

???在點(diǎn)D從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，BC長(zhǎng)不變，AD長(zhǎng)先變小后變大，其中當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)位置

時(shí)，AD最小，

在點(diǎn)D從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，ABED周長(zhǎng)的變化規(guī)律是先變小后變大，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正

確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵.

3.C

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DC=DB=6,則NDCB=NB,由NACB=NACD+NDCB=90°,

得/A+/B=90。，從而/A=/ACD,DA=DC=6,則AB=AD+DB便可求出.

【詳解】；EF是線段BC的垂直平分線，DC=6,

，DC=DB=6,

二/DCB=NB,

XVZACB=ZACD+ZDCB=90°,

/.ZA+ZB=90°,

，ZA=ZACD,

，DA=DC=6,

；.AB=AD+DB=6+6=12.

故選：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，熟

記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.D

【分析】由于沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三

角形.

【詳解】解：分兩種情況：

當(dāng)腰為5時(shí)，5+5=10,所以不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰為10時(shí)，5+10>10,所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：10+10+5=25.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩

種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答.

5.D

【分析】分類討論這個(gè)70°的角是等腰三角形的頂角還是底角.

【詳解】解：若70。的角是頂角，則底角是7（）°=55。,

若70。的角是底角，則底角是70。.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì).

6.C

【分析】分AB為腰和為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點(diǎn)C的個(gè)數(shù).

【詳解】解：如下圖：

當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作圓，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)；當(dāng)AB為底

時(shí)，作AB的垂直平分線，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有1個(gè)，

所以點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為：2+1=3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，能分以AB為底和以AB為腰兩種情況，并畫出圖形是解題關(guān)鍵.

7.22,120

【分析】根據(jù)△A4/A2為等邊三角形，可知N4/B/A2=60。，48尸A/A2,根據(jù)NMON=30。，進(jìn)而可得

乙4//。=30。，由此可知△OA/B/為等腰三角形，同理可證△CM2B2為等腰三角形，O/h=A2&=4洶產(chǎn)2,依

次類推可知△。13氏為等腰三角形，則OA；=A3B3=A3A4=22,同理可知△。4小為等腰三角形，則。4

=/UB產(chǎn)A找5=23，由此可找到邊長(zhǎng)的變化規(guī)律推導(dǎo)出邊長(zhǎng)即可.

【詳解】解：???△A/B/A2為等邊三角形，

二"8也=60°,AIBI=AIA2,

■:ZMON=30°,

：.ZA/B/O=30°,

.?.△04汨/為等腰三角形，

.,.A/Bi=OAi，

.".AiB/=A/A2=OAI，

同理可知40A2&為等腰三角形，

...0A2=A2^2=AA=2,

同理可知40AB3為等腰三角形，

/.OA3-A3B3-44=22,

同理可知4為等腰三角形，

0A4=48產(chǎn)44A產(chǎn)23，

依次類推：OAn=AnBn=AnAn+i=2"~',

△A202/B202/A2022的邊長(zhǎng)為：,

故答案為：220M.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，歸納，總結(jié)，驗(yàn)證，應(yīng)用的能力，能夠

發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.

8.40°或70°##70°或40°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，討論這個(gè)70度的角是頂角還是底角，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行

求解即可.

【詳解】解：當(dāng)這個(gè)70度的角為頂角時(shí)，答案即為70。；

當(dāng)這個(gè)70度的角為底角時(shí)，頂角=180。-2*70=40。，

故答案為：40。或70。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的底角相等，內(nèi)角和等于180。，是解題的

關(guān)鍵.

9.25

【分析】設(shè)N4DC=a,然后根據(jù)4C=A￡)=OB,ZBAC=105°,表示出NB和NBA。的度數(shù)，最后根據(jù)

三角形的內(nèi)角和定理求出/AQC的度數(shù)，進(jìn)而求得的度數(shù)即可.

【詳解】解：?.?AC=A￡>=OB,

；.NB=NBAD,NAOC=NC,

設(shè)/AOC=a,

：.ZB=ZBAD=—,

2

VZBAC=105°,

a

：.ZDAC=105°——，

2

在△AQC中，

VZADC+ZC+ZDAC=180°,

QT

.?.2a+105°-—=180°,

2

解得:a=50°,

a

.,./8=/BAQ=—=25°，

2

故答案為：25.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個(gè)底角相等，熟練

掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.10°

【分析】設(shè)NB=NC=x,NCDE=y,分別表示出NDAE,構(gòu)建方程解方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)NB=NC=x,/EDC=y,

VAD=AE,

，/ADE=NAED=x+y,

VZDAE=180°-2(x+y)=180°-20°-2x,

，2y=20°,

...y=10°,

.,.ZCDE=10°.

故答案為：10。

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，還涉及三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，需要熟練掌握等腰三角

形的判定與性質(zhì).

11.3

【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)，可得到NBCD=30。，從而得到BC=2BD,進(jìn)而由/A=30。，得至UAB=2BC,即

可求出結(jié)果.

【詳解】VZA+ZAC￡>=90°,ZACD+ABCD=9Q°,

：.ZA=ZBCD=3O°,

則在HfJSCZ)中，BC=2BD=2,

.?.在R/AABC中，AB=23C=4,

二AD=AB-BD=4-i=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查含30。角的直角三角形中三邊關(guān)系，熟記基本定理是解題關(guān)鍵.

12.72°

【分析】先由△ABCg4ADE,得到A8=AD,/BAC=ND4E,繼而解得=/E4C=36。，由等邊

對(duì)等角解得NB=N4Z)3,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和180。解題即可.

【詳解】?.?△ABC慫ZVIDE

AB=AD,NBAC=ZDAE

ZBAD+ZDAC=ZEAC+ZDAC

:.ZBAD=ZEAC=36°

：.ZB=ZADB

=^(180°-ZBAD)

=；(180。-36。)

=72°

故答案為：72°.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度

較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

13.60°

【分析】先證明△ABD絲aCAE,可得/BAD=NACE,然后由三角形外角的性質(zhì)，

ZDFC=ZACE+ZDAC,等量代換即可求解.

【詳解】..?△ABC是等邊三角形，

/.AB=CA,ZB=ZCAB=60°,

在^ABDCAE中，

AB=CA

"ZB=ZCAE,

BD=AE

.,.△ABD^ACAE,

.,.ZBAD=ZACE,

ZBAD+ZDAC=ZBAC=60°,

，ZACE+ZDAC=60°,

ZDFC=NACE+NDAC,

ZDFC=60°.

【點(diǎn)睛】考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找出NACE=NBAD和利用

全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系.

14.5

【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個(gè)符合條件的點(diǎn)：一是作A8或。C的垂直平分線交/于

P;二是在長(zhǎng)方形內(nèi)部，在/上作點(diǎn)P/,使P/C=OC,AB=P山,同理，在/上作點(diǎn)尸2，使尸2A=AB，

P2D=DC；三是如圖，如圖，在長(zhǎng)方形外/上作點(diǎn)尸3，使AB=AP3，DC=P3D,同理，在長(zhǎng)方形外/上作點(diǎn)

P4,使8尸產(chǎn)AB,CP4=DC.

【詳解】分三種情況討論：

①如圖，作AB或OC的垂直平分線交/于P,

②如圖，在/上作點(diǎn)尸/,使P/C=OC,AB=PB

同理，在/上作點(diǎn)P2，使P2A=48,P2D=DC,

③如圖，在長(zhǎng)方形外/上作點(diǎn)R，使DC=PjD,

同理，在長(zhǎng)方形外/上作點(diǎn)尸4，使8P產(chǎn)AB,CP4=DC,

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；解題中利用等腰三角形的判定來(lái)解決特殊的實(shí)際問(wèn)題，其關(guān)鍵是

根據(jù)題意，結(jié)合圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解.

15.80°

【分析】根據(jù)OC=CD=DE,可得NO=NODC,ZDCE=ZDEC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知

NDCE=/O+NODC=2NODC據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出NODC數(shù)，進(jìn)而求出/CDE的度數(shù).

【詳解】；OC=CD=DE,

：.ZO=ZODC,ZDCE=ZDEC,

設(shè)NO=NODC=x,

二ZDCE=NDEC=2x,

：.NCDE=180°-ZDCE-ZDEC=180°-4x,

■:ZBDE=75°,

：.ZODC+NCDE+NBDE=180。，

即x+180°—4x+75°=180°,

解得：x=25°,

ZCDE=180o-4x=80o.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，理清各個(gè)角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

16.5

【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個(gè)符合條件的點(diǎn)：一是作AB或DC的垂直平分線交1于

P；二是在長(zhǎng)方形內(nèi)部在1上作點(diǎn)P,使PA=AB,PD=DC,同理，在1上作點(diǎn)P,使PC=DC,AB=PB；三

是如圖，在長(zhǎng)方形外1上作點(diǎn)P,使AB=BP,DC=PC,

同理，在長(zhǎng)方形外1上作點(diǎn)P,使AP=AB,PD=DC.

【詳解】如圖，作AB或力C的垂直平分線交/于P,

DC

故答案為5

【點(diǎn)睛】考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用.

17.40°或100°

【分析】首先知有兩種情況(頂角是40。和底角是40。時(shí))，由等邊對(duì)等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)

角和定理即可求出頂角的度數(shù).

【詳解】解：在MBC中，AB=AC.

有兩種情況：

(1)頂角乙4=40。,

(2)當(dāng)?shù)捉鞘?0。時(shí)，

'：AB=AC,

：.ZB=ZC=40°,

,/ZA+ZB+ZC=180°,

:.ZA=180°-40°-40°=100°,

.?.這個(gè)等腰三角形的頂角為40。和100。.

故答案為：40?；?00°.

【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.

18.25°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知可求得兩底角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可求得NOBC

的度數(shù).

【詳解】；AB=AC,NA=50。,

J施?但若亞3,

,/BD1AC,

.?.Z￡>Z?C=90°-65o=25°.

故答案為：25°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角

和定理進(jìn)行答題.

19.不正確2+2V5,2,2,5不構(gòu)成三角形.

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為2和5,而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還

要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【詳解】解：當(dāng)腰為5時(shí)，周長(zhǎng)=5+5+2=12；

當(dāng)腰長(zhǎng)為2時(shí)，因?yàn)?+2<5,

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況不成立；

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：等腰三角形的腰長(zhǎng)只能為5,這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是12.

故答案為不正確，2+2<5,2,2,5不構(gòu)成三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題時(shí)根據(jù)是學(xué)會(huì)用分類

討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

20.(1)見(jiàn)詳解

(2)見(jiàn)詳解

【分析】(1)由“AAS”可證AABC絲AECD,可得8C=C。；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)可得NCBD=Na)8,由平行線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可得結(jié)論.

(1)

證明：QAB//CD,

ZABC=ZDCE,

在AABC和ACS中，

NA=NE

<ZABC=ZECD,

AC=ED

.?.MB0AECD(AAS),

/.BC=CD；

(2)

證明：如圖，連接BO,

?.?BC=CD,

:./CBD=/CDB,

QAB//CD,

/.ZAB￡>+ZCr>B=180°,

又???NCBD+/EBD=180°,

:.ZABD=NEBD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定

及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.（1）補(bǔ)全圖見(jiàn)解析；（2）AP+FP的值最小值為6

【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可.

（2）連接EF交BC于點(diǎn)P,此時(shí)AP+FP的值最小，求出EF的值即可.

【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如下：

(2)連接EF交8c于點(diǎn)P,

：AB=AC,8c=2有，AQ_LBC于點(diǎn)。，ZBAC=l20°,

：.BD=DC=gBAD邪》￡>=60,

"：DE=AD,ADIBC,

...8C為AE的垂直平分線，

/.CA=CE,AP=EP,

：.AP+FP=EP+PF,最小為EF,△ACE為等邊三角形，

?.?點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，

：.EFLAC,

:.EF=CD=6,AP+FP的值最小值為6.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，三線合一，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定等，解題的關(guān)鍵是

在（1）中能根據(jù)題意正確畫出圖形是解題關(guān)鍵；（2）中能結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)得出最小值為E尸和

理解等邊三角形三高相等.

22.見(jiàn)解析.

【分析】首先可根據(jù)條件判斷出△ACD絲△BEC,從而得到DC=CE,判斷出△DCE為等腰三角形，結(jié)合

“三線合一”即可得出結(jié)論.

【詳解】'：AD//BE,

：./DAC=/CBE,

在△4（7。和4BEC中

ZADC=NBCE,

■AD=BC,

NDAC=NCBE,

:.AACD名/\BEC（ASA）,

：.DC=CE,

.?.△OCE是等腰三角形.

：（：產(chǎn)平分/。（:￡',

:.DF=FE.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定以及

“三線合一”的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

23.證明見(jiàn)解析

【分析】通過(guò)證明△ABEgACAD即可得證.

【詳解】解：：△ABC是等邊三角形，D,E分別是BA,CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，

/.AB=CA,ZAB￡=ZC4￡>=120°,

在△ABE和中，

AB=CA

<NABE=NCAD,

BE=AD

：./\ABE^j^CAD,

：.AE=CD.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

24.（1）見(jiàn)解析：（2）30°

【分析】（1）依題意作出線段AB的垂直平分線即可；

（2）由三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求得NABC=70。，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出

DA=DB,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得/ABD=/A=40。，進(jìn)而可求得/DBC的度數(shù).

【詳解】(1)如圖，直線DE為線段AB的垂直平分線；

(2)VAB=AC,ZA=40°,

二NABC=70°,

：DE垂直平分AB,

，DA=DB.

，NDBA=NA=40。，

ZDBC=ZABC-ZDBA=70°-40°=30°.

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖-線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角

和定理，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段端點(diǎn)的距離相等是解答的關(guān)鍵.

25.(1)證明見(jiàn)解析；(2)4.

【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)證明乙DBC=30。，再利用三角形的內(nèi)角和定理求解NDPB=30。，從而可

得結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)D作DE//BC交AB于點(diǎn)E,先證明AADE為等邊三角形，再證明“QOE當(dāng)APDC,可得

QE=PC,從而可得答案.

【詳解】證明：(1)???△ABC為等邊三角形，

/.BA=BC,ZABC=60°

為AC的中點(diǎn)，

二平分NA8C,

ZDBC=30°.

"：NPDB=120°,

：.ZDPB=180°-120°-30°=30°,

:.ZDBC=ZDPB,

：.DB=DP.

(2)過(guò)點(diǎn)D作DEHBC交AB于點(diǎn)E.

BC

???△ABC為等邊三角形，AC=8,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

:.AD=CD=4,z64BC=ZS4CB=ZA=60°.

?:DE//BC,

AZA￡D=ZB=60°.ZA￡）E=ZC=60°,

???△A&E為等邊三角形，ZEDC=120°,

AD=ED=AE=4,

ED=CD=4.

?.,ZQDP=/EDC=120°,

/.ZQDE+ZEDP=ZEDP+ZPDC,

:.NQDE=NPDC.

ED=CD,ZAED=NC=60°,

.?.AQDE分PDC,

.??EQ=PC,

...AQ+PC=AQ+QE=AE=4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等的判定與性質(zhì)，掌握

以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

26.（1）ZA3=90。；（2）線段CQ與AO的數(shù)量關(guān)系是：位置關(guān)系是：CQ//AD,證明見(jiàn)

解析.

【分析】（1）證明△PAC^/\QADf即可得到ZADQ=ZAC8=90。；

（2）根據(jù)ZADg=90。，NCQD=900,證得A。〃。。，由AACD是等邊三角形，求出42。。=30。，推出

CQ=-CD即可得到結(jié)論.

2f

【詳解】（1）???NPAQ=60。，AP=AQ,

???△APQ是等邊三角形，

又〈△AC。是等邊三角形，

/.AC=AD,NC4￡>=60o=NE4。，

工/PAC=NQAD,

在4^。和4QA。中

AP=AQ

<ZPAC=ZQAD,

AC=AD

???△尸AC四△QA。，

.?.ZADQ=ZACB,

*//ACS=90。，

.??ZADG=90°；

(2)線段CQ與A。的數(shù)量關(guān)系是：CQ=；4。，位置關(guān)系是：CQ//AD,

?.?ZADQ=90°,NCQD=90°,

.?.Z.CQD+ZADQ=180°,

???AD//CQ,

:△ACD是等邊三角形，

/.CD=AD,ZADC=6O>,

NQDC=3()。，

I.CQ=-CD,

2

，CQ=-AD.

2

【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形中30度角所對(duì)的直

角邊等于斜邊的一半，平行線的判定定理，熟記全等三角形的判定定理證得△PACWAQA。是解題的關(guān)

鍵.

27.見(jiàn)解析

【分析】證明AE=DE,EB=DE即可解決問(wèn)題

【詳解】證明：:AD平分NBAC

,ZCAD=ZEAD,

VDE/7AC,

AZCAD=ZADE,

:.ZEAD=ZADE,

ADE=AE,

VBD±AD,

???ZADB=90°,

AZADE+ZBDE=90°,ZEAD+ZABD=90°,

?/ZEAD=ZADE,

AZBDE=ZABD,

ABE=DE,

AE=BE,

；.E是AB的中點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決

問(wèn)題.

28.(1)①見(jiàn)解析，?ZB<ZC,>；(2)①見(jiàn)解析；②<

【分析】(1)①由HL證明RMABD彩RSACD可得結(jié)論：

②由AB>AC得/C>/B即可得出結(jié)論；

(2)①由SSS證明AABDg4ACD可得結(jié)論；

②作輔助線證明△BDEWACD4,得5E=C4,NBED=NCAD,證得NBADvZBED,即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）①證明：???4。是3c邊上的高線

工ZADB=ZADC=90°,

在RtAADB和RtAADC中

（AB=AC

ARtAABD^RtAACD

:?NBAD=NCAD；

②證明：???AQ是邊上的高線，

JZADB=ZADC=90°.

：.N8AQ=900-N5,ZCAD=90°-ZC.

VAB>AC,

???NB<NC（在同一個(gè)三角形中,大邊對(duì)大角）.

：.ZBAD>ZCAD.

故答案為：ZB<ZC,>；

（2）①證明：???AZ）是邊上的中線

ABD=CD

在aABD和AACD中

AB=AC

<AD=AD

BD=CD

AAABD^AACD

???ZB