多元函數(shù)微積分學(xué)及應(yīng)用 習(xí)題課

第九章習(xí)題課一、基本概念

二、多元函數(shù)微分法三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用多元函數(shù)微積分學(xué)四、重積分計算的基本技巧一、基本概念連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)存在方向?qū)?shù)存在可微性1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)

定義域及對應(yīng)規(guī)律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2.幾個基本概念的關(guān)系思考與練習(xí)1.

討論二重極限解法1解法2

令解法3

令時,下列算法是否正確?分析:解法1解法2令此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點的情況,此法排除了沿曲線趨于原點的情況.此時極限為1.第二步未考慮分母變化的所有情況,解法3

令此法忽略了

的任意性,極限不存在!由以上分析可見,三種解法都不對,因為都不能保證自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點.特別要注意,在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限,但要注意在定義域內(nèi)r,

的變化應(yīng)該是任意的.同時還可看到,本題極限實際上不存在.提示:

利用故f

在(0,0)連續(xù);知在點(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,但不可微.2.證明:而所以f

在點(0,0)不可微!例1.

已知求出的表達式.解法1

令即解法2

以下與解法1相同.則且二、多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫變量關(guān)系圖)自變量個數(shù)=變量總個數(shù)–方程總個數(shù)自變量與因變量由所求對象判定2.正確使用求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”注意正確使用求導(dǎo)符號3.利用一階微分形式不變性例2.

設(shè)其中f與F分別具解法1

方程兩邊對x

求導(dǎo),得有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù),

求(1999考研)解法2方程兩邊求微分,得化簡消去即可得例3.設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且求解:練習(xí)題設(shè)函數(shù)f二階連續(xù)可微,求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)解答提示:三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1.極值與最值問題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法)

求解最值問題2.在微分方程變形等中的應(yīng)用例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解:設(shè)為拋物面上任一點，則P

的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面令解此方程組得唯一駐點由實際意義最小值存在,故四、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性或質(zhì)心公式簡化計算3.消去被積函數(shù)絕對值符號例6.

計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得例7.計算二重積分在第一象限部分.解:(1)兩部分,則其中D為圓域把D分成作輔助線(2)提示:兩部分說明:若不用對稱性,需分塊積分以去掉絕對值符號.作輔助線將D分成例8.求拋物線所圍區(qū)域

D