固體物理學(xué)課件

緒論

緒論二、固體物理學(xué)的發(fā)展現(xiàn)代固體物理學(xué)大致建立于本世紀(jì)三十年代，在此之前，已經(jīng)在下述四個(gè)方面為固體物理學(xué)的創(chuàng)建作了準(zhǔn)備：

1、有悠久歷史的晶體學(xué)的研究

2、固體比熱理論的建立

3、關(guān)于金屬導(dǎo)電的自由電子理論

4、關(guān)于鐵磁性的研究

緒論三、主要內(nèi)容

固體物理是研究晶體結(jié)構(gòu)和晶體中原子、電子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科。緒論

不能根據(jù)固體的外形特點(diǎn)來(lái)判斷一種固體是否是晶體，應(yīng)當(dāng)根據(jù)固體內(nèi)部原子排列的規(guī)律性來(lái)判斷一種固體是否是晶體。若一種固體在微觀大范圍內(nèi)（微米數(shù)量級(jí)）原子的排列是有規(guī)律的、周期性的則稱(chēng)為晶體，反之則不是晶體。

緒論

晶體有單晶和多晶之分，若將晶體分裂成尺寸為微米數(shù)量級(jí)的顆粒，這些顆粒稱(chēng)為晶粒。在晶粒內(nèi)部原子的排列是有一定規(guī)律的，晶粒之間的排列是混亂的，這樣的晶體稱(chēng)之為多晶體。若整個(gè)晶體中原子的排列是遵守同一規(guī)律，這種晶體稱(chēng)為單晶體。緒論

晶體是由相同的結(jié)構(gòu)單元組成的，固體物理研究的對(duì)象是理想晶體，即在晶體中原子的排列遵從完全的嚴(yán)格的周期性。緒論

晶體內(nèi)部原子的排列在任何地方都不會(huì)破壞它的周期性。若某個(gè)原子的位置與周期性發(fā)生了偏離就稱(chēng)為缺陷，這也就是說(shuō)，理想晶體是無(wú)缺陷、雜質(zhì)的完整晶體。緒論

理想晶體在各處應(yīng)遵從同一的周期性，即在邊界上的原子也應(yīng)有這樣的周期性。但實(shí)際晶體邊界上的原子與內(nèi)部原子的周期性是不一樣的。因此理想晶體應(yīng)該是無(wú)邊界的其周期性是無(wú)限延伸的，不會(huì)在任何地方終止。緒論

只有充分研究了理想晶體以后，才能研究晶體的缺陷、雜質(zhì)以及非晶體等。我們這門(mén)課所研究的對(duì)象是理想晶體。

參考書(shū)目

1.基特爾著科學(xué)出版社

《固體物理學(xué)導(dǎo)論》（第五版）中譯本

2.黃昆原著，韓汝琦改編

《固體物理學(xué)》高教出版社

3.顧秉林王喜坤編

《固體物理學(xué)》清華大學(xué)出版社

4.陳洗編

《固體物理基礎(chǔ)》華中理工大學(xué)出版社

5.劉友之等編

《固體物理習(xí)題指導(dǎo)書(shū)》

6.Ashcroftet.al

“solidstatePhysics”第一章晶體結(jié)構(gòu)

§.原子的周期性列陣

1.點(diǎn)陣和基元晶體就是原子或原子團(tuán)在三維空間無(wú)限地排列起來(lái)的列陣。它的基本特點(diǎn)就是原子或原子團(tuán)排列的周期性。從這個(gè)意義上來(lái)講，晶體結(jié)構(gòu)實(shí)際上就是周期結(jié)構(gòu)。固體物理的研究對(duì)象是周期結(jié)構(gòu)，怎樣分析和處理一個(gè)周期結(jié)構(gòu)就是本章要解決的問(wèn)題。第一章晶體結(jié)構(gòu)

若有一個(gè)由五角星排列成的二維周期結(jié)構(gòu)：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

點(diǎn)陣是周期結(jié)構(gòu)中等同點(diǎn)的幾何抽象，點(diǎn)陣所描寫(xiě)的或所代表的僅僅是晶體結(jié)構(gòu)的周期性質(zhì),點(diǎn)陣并不同于周期結(jié)構(gòu)本身，只有把物理實(shí)體以相同的方式放置在點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上（方位要相同）才能形成周期結(jié)構(gòu)。第一章晶體結(jié)構(gòu)

現(xiàn)在我們回到晶體結(jié)構(gòu)的研究上來(lái)，若有一個(gè)二維的晶體結(jié)構(gòu)是由下列原子團(tuán)重復(fù)堆積而成：第一章晶體結(jié)構(gòu)

基元就是構(gòu)成晶體結(jié)構(gòu)的原子或原子團(tuán)，基元以相同的形式排列在空間就構(gòu)成了晶體結(jié)構(gòu)，基元可以是一個(gè)原子，也可以是成千上萬(wàn)個(gè)原子或原子團(tuán)以及分子組成的。第一章晶體結(jié)構(gòu)

點(diǎn)陣是在空間規(guī)則地排列著的點(diǎn)的列陣。它是晶體結(jié)構(gòu)中等同點(diǎn)的幾何抽象，從點(diǎn)陣中的任一個(gè)陣點(diǎn)去觀察，周?chē)年圏c(diǎn)的分布情況和方位是一樣的。第一章晶體結(jié)構(gòu)

點(diǎn)陣是為了描寫(xiě)晶體結(jié)構(gòu)的周期性從具體晶體中抽象出來(lái)的一系列規(guī)則排列的點(diǎn)的列陣，基元是組成晶體的具體的原子或原子團(tuán)，是實(shí)實(shí)在在的物理實(shí)體，基元以相同的方式，即在點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上進(jìn)行重復(fù)才能得到晶體結(jié)構(gòu)，這可以歸納為一個(gè)公式：

點(diǎn)陣＋基元＝晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)2.點(diǎn)陣平移矢量

若有一個(gè)二維晶體如下圖：第一章晶體結(jié)構(gòu)

為了描寫(xiě)一個(gè)點(diǎn)陣，在二維情況下可以選取任意兩個(gè)不共線的基本矢量，由這兩個(gè)基本矢量的整倍數(shù)的和可以確定點(diǎn)陣中任意一個(gè)陣點(diǎn)的坐標(biāo)（或點(diǎn)陣矢量）：

R=ua+vb(u、v為整數(shù)）

這兩個(gè)基本矢量a、b就叫作這個(gè)點(diǎn)陣的初基平移矢量，簡(jiǎn)稱(chēng)基矢。b3a6b5b2b1a3a4b4b6a5a2a1第一章晶體結(jié)構(gòu)

對(duì)于一個(gè)三維點(diǎn)陣，我們可以選取不共面的三個(gè)矢量，由這三個(gè)矢量整數(shù)倍的線性組合會(huì)確定點(diǎn)陣中任一點(diǎn)的位置即：

R=ua+vb+wc

其中u、v、w為整數(shù)。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

晶體中等同點(diǎn)的排列稱(chēng)之為布拉菲點(diǎn)陣（Bravaislattice），是晶體中基元排列周期性的一種數(shù)學(xué)抽象。

一個(gè)三維的布拉菲點(diǎn)陣可以這樣來(lái)定義：即由點(diǎn)陣平移矢量

R=ua+vb+wc

聯(lián)系起來(lái)的諸點(diǎn)的列陣其中u、v、w為整數(shù)，a、b、c為不共面的三條基矢。第一章晶體結(jié)構(gòu)3.基元和點(diǎn)陣的初基晶胞

各原子的位置用基元中各原子相對(duì)于陣點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)來(lái)表示?；械趈個(gè)原子的坐標(biāo)為：

r=xa+yb+zc

其中0≤x、y、z≤1第一章晶體結(jié)構(gòu)

組成晶體的最小體積單元稱(chēng)為初基晶胞，將初基晶胞平移所有點(diǎn)陣平移矢量，初基晶胞必然會(huì)填滿(mǎn)整個(gè)空間既不會(huì)留下空隙，也不會(huì)自身重疊。

第一章晶體結(jié)構(gòu)例如有一個(gè)二維晶體如下圖:非初級(jí)晶胞初級(jí)晶胞123第一章晶體結(jié)構(gòu)

由基矢構(gòu)成的平行六面體必定是初基晶胞，每個(gè)初基晶胞中必定只包含一個(gè)陣點(diǎn)。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

對(duì)于一個(gè)點(diǎn)陣，初基晶胞的選取不是唯一的，無(wú)論初基晶胞的形狀如何，初基晶胞的體積是唯一的，體積就等于基矢構(gòu)成的平行六面體的體積：

V=（a×b）.c

第一章晶體結(jié)構(gòu)

晶體可以看成是一些相同的積木塊堆積起來(lái)的。這些積木塊往往是一些體積單元，稱(chēng)之為晶胞。組成晶體的最小的體積單元稱(chēng)之為初基晶胞。將初基晶胞平移所有的點(diǎn)陣平移矢量，初基晶胞必然會(huì)填滿(mǎn)整個(gè)空間，既不會(huì)留下縫隙、也不會(huì)自身重疊。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

根據(jù)初基晶胞的定義，由基矢組成的平行六面體必定是初基晶胞（在二維情況下是一個(gè)平行四邊形），初基晶胞必定只包含一個(gè)陣點(diǎn)第一章晶體結(jié)構(gòu)

對(duì)于一個(gè)點(diǎn)陣，初基晶胞的選取不是唯一的（因?yàn)榛傅倪x取就不止一種，因而晶胞的選取也不止一種），無(wú)論初基晶胞的形狀如何，初基晶胞的體積是唯一確定的，初基晶胞的體積就等于基矢構(gòu)成的平行六面體的體積。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

初基晶胞和基元是兩個(gè)完全不同的概念，初基晶胞是一個(gè)體積單元，而基元是具體的原子或原子團(tuán)，是一個(gè)結(jié)構(gòu)單元。一個(gè)初基晶胞只包含一個(gè)陣點(diǎn)，也就是說(shuō)一個(gè)初基晶胞中只有一個(gè)基元。第一章晶體結(jié)構(gòu)

我們今后還有一種常見(jiàn)的晶胞叫做維格喇－賽斯晶胞，它是這樣來(lái)構(gòu)成的：

（1）把某個(gè)陣點(diǎn)同所有與它相鄰的陣點(diǎn)用直線連接起來(lái)。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（2）在這些連線的中點(diǎn)處做垂直面（二維情況下做垂直線），這些垂直面（或垂直線）所圍成的最小體積（或最小面積）就稱(chēng)作維格喇－賽斯晶胞（簡(jiǎn)稱(chēng)為Ｗ－Ｓ晶胞）。第一章晶體結(jié)構(gòu)

W-S晶胞是一個(gè)初基晶胞，也就是說(shuō)，把這個(gè)晶胞平移所有點(diǎn)陣平移矢量，它會(huì)填滿(mǎn)整個(gè)空間，既不會(huì)留下縫隙，也不會(huì)自身重疊。第一章晶體結(jié)構(gòu)W-S晶胞是一個(gè)初基晶胞，它的對(duì)稱(chēng)性可以反映出整個(gè)晶體的對(duì)稱(chēng)性，是一種非常重要的晶胞。(如下圖)w-s晶胞第一章晶體結(jié)構(gòu)

下面我們以二維蜂巢狀網(wǎng)絡(luò)作為一個(gè)例子，來(lái)看它的基矢、布拉菲點(diǎn)陣、初基晶胞以及W-S晶胞等第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)§2.點(diǎn)陣的基本類(lèi)型

1.對(duì)稱(chēng)操作

布拉菲點(diǎn)陣有一些基本性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)性是其基本性質(zhì)之一。點(diǎn)陣的類(lèi)型是由點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性來(lái)區(qū)分的。第一章晶體結(jié)構(gòu)

所謂點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)操作是這樣一種運(yùn)動(dòng)或動(dòng)作，將點(diǎn)陣經(jīng)過(guò)這樣一種操作后，點(diǎn)陣中的所有陣點(diǎn)都會(huì)落到操作前的等價(jià)點(diǎn)上，這種操作的結(jié)果是把點(diǎn)陣引入到與原始狀態(tài)完全等價(jià)的構(gòu)型上。第一章晶體結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)操作通常包括兩大類(lèi)：

平移對(duì)稱(chēng)操作

點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作第一章晶體結(jié)構(gòu)平移對(duì)稱(chēng)操作：把點(diǎn)陣或晶體平移點(diǎn)陣矢量群中的任一矢量的操作稱(chēng)之為平移對(duì)稱(chēng)操作。經(jīng)過(guò)這種操作點(diǎn)陣（或晶體）自身是還原的，這種性質(zhì)稱(chēng)為平移對(duì)稱(chēng)性。第一章晶體結(jié)構(gòu)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作：在操作的過(guò)程中點(diǎn)陣或晶體中至少有一個(gè)點(diǎn)是保持不動(dòng)的，這種操作稱(chēng)為點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作。同樣，經(jīng)過(guò)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作，點(diǎn)陣或晶體也觀察不到任何變化。

第一章晶體結(jié)構(gòu)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作主要分以下幾類(lèi)：

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)

將點(diǎn)陣（或晶體）繞通過(guò)某一定點(diǎn)的軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，如果，每轉(zhuǎn)動(dòng)2π/ｎ點(diǎn)陣都是自身還原的，則相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸，我們稱(chēng)之為ｎ重轉(zhuǎn)動(dòng)軸。轉(zhuǎn)動(dòng)軸的符號(hào)用1、2、3、4、6表示。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（2）鏡面反映

若一個(gè)點(diǎn)陣以通過(guò)某一定點(diǎn)的平面為鏡面，將點(diǎn)陣反映為它的鏡象，點(diǎn)陣是自身還原的，這種對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為鏡面對(duì)稱(chēng)性，這種操作稱(chēng)為鏡面對(duì)稱(chēng)操作。通常用符號(hào)ｍ或σ表示。

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)（3）中心反演

通過(guò)某一定點(diǎn)的直線為軸，將點(diǎn)陣或晶體先轉(zhuǎn)動(dòng)1800，然后通過(guò)過(guò)這一定點(diǎn)而垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面再作鏡面反映的操作稱(chēng)為中心反演。這樣的操作效果相當(dāng)于把（ｘ，ｙ，ｚ）變成為（－ｘ，－ｙ，－z）。原點(diǎn)O稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)心，中心反演一般用ｉ表示。第一章晶體結(jié)構(gòu)（４）轉(zhuǎn)動(dòng)反演通過(guò)過(guò)某定點(diǎn)的軸把點(diǎn)陣先轉(zhuǎn)動(dòng)2π/ｎ，再進(jìn)行中心反演，相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸稱(chēng)為ｎ重轉(zhuǎn)動(dòng)反演軸，用符號(hào)ｎ表示，ｎ只可能取1、2、3、4、6。第一章晶體結(jié)構(gòu)（５）轉(zhuǎn)動(dòng)反映

繞通過(guò)某一定點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸將點(diǎn)陣先轉(zhuǎn)動(dòng)2π/ｎ，接著對(duì)垂直于轉(zhuǎn)軸的平面作鏡面反映。第一章晶體結(jié)構(gòu)

轉(zhuǎn)動(dòng)軸、對(duì)稱(chēng)心、鏡面等這些幾何元素，即進(jìn)行對(duì)稱(chēng)操作所依靠的幾何元素稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)元素。第一章晶體結(jié)構(gòu)

對(duì)稱(chēng)操作是一種運(yùn)動(dòng)、是一種動(dòng)作，只有當(dāng)晶體存在對(duì)稱(chēng)元素時(shí)才能進(jìn)行對(duì)稱(chēng)操作，對(duì)稱(chēng)操作只有與對(duì)稱(chēng)元素相聯(lián)系才可能進(jìn)行，它們是相互關(guān)聯(lián)的，對(duì)稱(chēng)元素的存在只有依靠對(duì)稱(chēng)操作才能證實(shí)。

第一章晶體結(jié)構(gòu)點(diǎn)陣（或晶體）中的對(duì)稱(chēng)元素：

（ａ）轉(zhuǎn)動(dòng)軸：1、2、3、4、6

（ｂ）轉(zhuǎn)動(dòng)反演：4

（ｃ）對(duì)稱(chēng)心：ｉ

（ｄ）鏡面：ｍ

第一章晶體結(jié)構(gòu)

一種點(diǎn)陣可以同時(shí)存在若干種對(duì)稱(chēng)元素。對(duì)稱(chēng)操作的一種特定的組合方式叫做點(diǎn)群。點(diǎn)群在“群論”中有嚴(yán)格的定義，點(diǎn)群代表的是點(diǎn)陣或晶體的對(duì)稱(chēng)性，也就是點(diǎn)陣或晶體能進(jìn)行什么樣的對(duì)稱(chēng)操作。

第一章晶體結(jié)構(gòu)立方晶系的對(duì)稱(chēng)性（對(duì)稱(chēng)操作）：

對(duì)稱(chēng)元素：（1）有3個(gè)相互垂直的四重軸，繞這些四重軸將點(diǎn)陣轉(zhuǎn)π/2，點(diǎn)陣是自身還原的，通常把四重軸叫做立方軸，它通過(guò)立方體的中心點(diǎn)，記作4。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（2）有4個(gè)三重軸，即體對(duì)角線的連線，點(diǎn)陣或晶體轉(zhuǎn)動(dòng)2π/3是自身還原的，記作3。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（3）有6個(gè)二重軸，即立方體的一個(gè)邊的中點(diǎn)到對(duì)面的另一條對(duì)邊中點(diǎn)的連線，繞這樣的軸每轉(zhuǎn)動(dòng)π，點(diǎn)陣是自身還原的，記作2。第一章晶體結(jié)構(gòu)（4）有一個(gè)對(duì)稱(chēng)心，作中心反演點(diǎn)陣自身是還原的，記作ｉ。第一章晶體結(jié)構(gòu)立方晶體的對(duì)稱(chēng)操作：

有一個(gè)4重軸就會(huì)有3種對(duì)稱(chēng)操作：π/2、π、3π/2

（2π另外考慮）

共有3個(gè)4重軸共有

3×3＝9種對(duì)稱(chēng)操作。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

有一個(gè)3重軸就會(huì)有兩種對(duì)稱(chēng)操作2π/3、4π/3

（2π另外考慮）

共有4個(gè)3重軸一共有

4×2＝8種對(duì)稱(chēng)操作。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

有一個(gè)2重軸就會(huì)有一種對(duì)稱(chēng)操作π

（2π另外考慮）

共有6個(gè)2重軸就會(huì)有：

6×1＝6種對(duì)稱(chēng)操作。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

所有的轉(zhuǎn)動(dòng)2π算一種對(duì)稱(chēng)操作。因此立方晶體的純轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)操作有：

9＋8＋6＋1＝24種。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)操作再作中心反演還是對(duì)稱(chēng)操作（由于立方晶體有一個(gè)對(duì)稱(chēng)心），所以立方晶體的全部對(duì)稱(chēng)操作為：

24×2＝48種。

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)正四面體的對(duì)稱(chēng)操作：

一個(gè)正四面體可在立方體中畫(huà)出，它的四個(gè)面都是正三角形，邊長(zhǎng)是立方體的面對(duì)角線，立方體的中心為O點(diǎn)，有三個(gè)立方軸，這些軸雖然是立方體的四重軸但不是四面體的四重軸，而是二重軸。因?yàn)槊哭D(zhuǎn)動(dòng)π晶體自身是還原的。所以正四面體有三個(gè)二重軸。第一章晶體結(jié)構(gòu)

體對(duì)角線的延長(zhǎng)線是正四面體的三重軸（也是立方體的三重軸）。每轉(zhuǎn)動(dòng)2π/3晶體自身是還原的，共有四個(gè)三重軸。第一章晶體結(jié)構(gòu)

立方軸既是正四面體的二重軸又是四重轉(zhuǎn)動(dòng)反演軸（正四面體雖然沒(méi)有對(duì)稱(chēng)心，沒(méi)有四重軸，但有四重轉(zhuǎn)動(dòng)反演軸）。共有3個(gè)四重轉(zhuǎn)動(dòng)反演軸。第一章晶體結(jié)構(gòu)

還有EFDC是對(duì)稱(chēng)面，對(duì)此面進(jìn)行鏡面反映，正四面體無(wú)變化，這樣的對(duì)稱(chēng)面共有6個(gè)。第一章晶體結(jié)構(gòu)正四面體的對(duì)稱(chēng)操作共有：

1個(gè)2π3個(gè)23×1＝3；

4個(gè)34×2＝83個(gè)43×2＝66個(gè)ｍ

對(duì)稱(chēng)操作共有1＋3＋8＋6＋6＝24（種）其中：

純轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)操作＝1＋3＋8＝12（種）。第一章晶體結(jié)構(gòu)

正四面體只具有立方體的一部分對(duì)稱(chēng)操作，因此它的對(duì)稱(chēng)性沒(méi)有立方體高。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

上面講的對(duì)稱(chēng)性主要是點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性，即在操作的過(guò)程中至少有一個(gè)點(diǎn)保持不動(dòng)。若再考慮到平移對(duì)稱(chēng)性，還有兩種對(duì)稱(chēng)操作，這兩種對(duì)稱(chēng)操作只有晶體結(jié)構(gòu)才有，點(diǎn)陣沒(méi)有這種對(duì)稱(chēng)操作。一種是ｎ重螺旋軸，另一種是滑移面對(duì)稱(chēng)。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

將晶體結(jié)構(gòu)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2π/ｎ，接著再對(duì)轉(zhuǎn)軸平移T／ｎ，T為沿軸向的最短的平移周期，這個(gè)軸稱(chēng)為ｎ重螺旋軸。第一章晶體結(jié)構(gòu)

將晶體先作鏡面反映，再滑移T/ｎ后可得到原子的等價(jià)點(diǎn)，這種操作稱(chēng)為滑移面對(duì)稱(chēng)操作。

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)2.慣用晶胞

為了能反映出點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性，選取的晶胞稱(chēng)為慣用晶胞。慣用晶胞選取的原則是在反映點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性的前提下，體積最小的晶胞。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

慣用晶胞可以是初基的，也可以是非初基的，若一個(gè)初基晶胞能反映出點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性。那么它也就是慣用晶胞。比如立方點(diǎn)陣，初基晶胞也就是慣用晶胞。慣用晶胞的體積總是等于初基晶胞體積的整數(shù)倍

V＝ｎVｃ

ｎ為慣用晶胞中的陣點(diǎn)數(shù)。第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)

為了反映點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性就要考慮點(diǎn)陣所選取的慣用晶胞的晶胞參量。二維空間中是晶胞的棱長(zhǎng)和夾角，三維情況下，是三棱的長(zhǎng)ａ，ｂ，ｃ及三棱之間的夾角。

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)

經(jīng)常用到的一個(gè)物理量是點(diǎn)陣常數(shù)。所謂點(diǎn)陣常數(shù)是描寫(xiě)慣用晶胞幾何尺寸的數(shù)字。如立方點(diǎn)陣的點(diǎn)陣常數(shù)只要知道棱長(zhǎng)ａ即可，長(zhǎng)方體為三棱長(zhǎng)ａ，ｂ，ｃ。

第一章晶體結(jié)構(gòu)3．二維點(diǎn)陣類(lèi)型

（1）二維斜方

a≠b,ψ是任意的,只有獨(dú)立操作1.是二維點(diǎn)陣中對(duì)稱(chēng)性最低的一種。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（2）二維六角

由對(duì)稱(chēng)操作3.6要求，陣點(diǎn)分布如圖。a=b，ψ=1200，它既是初級(jí)晶胞，又是慣用晶胞。

第一章晶體結(jié)構(gòu)（3）二維正方

由點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作4要求，a=b，

ψ=900。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

（4）二維矩形

由鏡面對(duì)稱(chēng)性所要求。

（5）二維有心矩形

由鏡面對(duì)稱(chēng)性所要求。

二維矩形a≠b,ψ=900

二維有心矩形a≠b,ψ≠900

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)4.三維點(diǎn)陣類(lèi)型

在三維空間點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作與平移對(duì)稱(chēng)操作的組合共有14種，因此三維空間只有14種Bravais點(diǎn)陣，分屬7個(gè)晶系。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(1）立方晶體

有三種不同的類(lèi)型，這三種點(diǎn)陣的慣用晶胞都是立方體，慣用晶胞的幾何特征是a=b=c，α=β=γ=900。

立方晶系有三種Bravais點(diǎn)陣，即簡(jiǎn)單立方（sc），體心立方（bcc）和面心立方（fcc）。

這三個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性相同，慣用晶胞相同，但平移對(duì)稱(chēng)性不同。第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)a.簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣（sc）

慣用晶胞也是它的初級(jí)晶胞初級(jí)晶胞與慣用晶胞的體積相等，都等于a3，a是立方點(diǎn)陣的點(diǎn)陣常數(shù)，v=vc=a3。簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣的基矢的選取通常取它的三個(gè)立方軸作晶軸，若用笛卡爾坐標(biāo)表示，它的三個(gè)基矢分別為，每一個(gè)陣點(diǎn)有六個(gè)最近鄰的點(diǎn)陣，最近鄰距離就是點(diǎn)陣常數(shù)a。

第一章晶體結(jié)構(gòu)b.體心立方（bcc）

在sc點(diǎn)陣的體對(duì)角線中點(diǎn)上放一個(gè)點(diǎn)陣，這個(gè)點(diǎn)陣與角隅上的陣點(diǎn)是等價(jià)的。（如對(duì)二維有心點(diǎn)陣，從任一陣點(diǎn)去看周?chē)年圏c(diǎn)分布都是相同的）。

體心立方點(diǎn)陣與sc點(diǎn)陣一樣，都具有立方體的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性，但平移對(duì)稱(chēng)性不同，故屬于不同的點(diǎn)陣類(lèi)型，體心立方點(diǎn)陣的基矢的選取通常用一種比較對(duì)稱(chēng)的取法，取一個(gè)頂點(diǎn)到相鄰的三個(gè)體心點(diǎn)，這組基矢用笛卡爾坐標(biāo)表示為：

第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)

體心立方點(diǎn)陣的每一個(gè)陣點(diǎn)的最近鄰陣點(diǎn)有8個(gè)，a是慣用晶胞的邊長(zhǎng)。慣用晶胞中有兩個(gè)陣點(diǎn)，相對(duì)于立方軸，這兩個(gè)陣點(diǎn)的坐標(biāo)為:

（000）（1/2,1/2,1/2）。

第一章晶體結(jié)構(gòu)C.面心立方（fcc）

在sc點(diǎn)陣的每一個(gè)面的中心附加一個(gè)陣點(diǎn)，慣用晶胞也是一個(gè)立方體，點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作與sc點(diǎn)陣一樣，平移對(duì)稱(chēng)操作與sc點(diǎn)陣不同，慣用晶胞也不是初級(jí)晶胞，因?yàn)閼T用晶胞中含有4個(gè)陣點(diǎn)（八個(gè)頂點(diǎn)算一個(gè)，每個(gè)面心算1/2個(gè)，共有6個(gè)面），慣用晶胞的體積是初級(jí)晶胞體積的4倍，即初級(jí)晶胞的體積。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

面心立方點(diǎn)陣基矢的選取通常取一個(gè)頂角點(diǎn)到最近面心的矢量為基矢，用笛卡兒坐標(biāo)寫(xiě)出來(lái)就是：第一章晶體結(jié)構(gòu)(2）四角晶系

將立方體沿某一晶軸拉長(zhǎng)，立方體就變成了四角體，慣用晶胞的晶胞參量a=b≠c，α=β=γ=900，四角體的對(duì)稱(chēng)性比立方體要低，若將立方晶系的三種Bravais點(diǎn)陣的c軸都拉長(zhǎng)，就過(guò)渡到兩種四角晶系的Bravais點(diǎn)陣，即簡(jiǎn)單四角和體心四角，體心四角是由bcc，fcc點(diǎn)陣沿c軸拉長(zhǎng)得到的。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(3）正交晶系

將四角晶系的另外一個(gè)晶軸再拉長(zhǎng)，就得到正交晶系，慣用晶胞的晶胞參量a≠b≠c，α=β=γ=900，正交晶系有四種Bravais點(diǎn)陣。分別為簡(jiǎn)單正交、底心正交、體心正交、面心正交，慣用晶胞都一樣，正交晶系的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性低于四角晶系。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(4）單斜晶系

進(jìn)一步將正交晶系體變形，即將其一晶軸傾斜，就過(guò)渡到單斜晶系，對(duì)于單斜晶系a≠b≠c，α=γ=900，β≠900，單斜晶系有兩種Bravais點(diǎn)陣：簡(jiǎn)單單斜和有心單斜（上下底面各有一個(gè)陣點(diǎn)），它比正交晶系的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性還低）。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(5）三斜晶系

將單斜晶系的另一個(gè)晶軸再傾斜就得到三斜晶系，對(duì)于三斜晶系，慣用晶胞的晶胞參量a≠b≠c，α≠β≠γ，它只有一種Bravais點(diǎn)陣，即簡(jiǎn)單三斜，這是對(duì)稱(chēng)性最低的Bravais點(diǎn)陣，只有轉(zhuǎn)動(dòng)1的對(duì)稱(chēng)性。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(6）三角晶系

將一個(gè)完整的正方體沿體對(duì)角線方向拉長(zhǎng)，三個(gè)晶軸不正交，但夾角相等，邊等長(zhǎng)，慣用晶胞的特征是a=b=c，α=β=γ≠900＜1200，對(duì)稱(chēng)性低于立方體，只有一種布拉菲點(diǎn)陣。

第一章晶體結(jié)構(gòu)(7）六角晶系

前面六種晶系均可由立方體變形得到，但六角晶系不能由立方體變形得到，慣用晶胞的特征是：a=b≠c，α=β=900，γ=1200，慣用晶胞是菱形正棱柱，如選用如圖的直角坐標(biāo)系，基矢用笛卡兒坐標(biāo)表示為：第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)§3、晶面指數(shù)系統(tǒng)

1.晶列和晶向

由于點(diǎn)陣和晶體有平移對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)陣中的陣點(diǎn)可以看作分布在一系列相互平行的直線上，一組相互平行的直線成為晶列，晶列的方向就是陣點(diǎn)分布的方向，晶列的方向稱(chēng)為晶向，它代表陣點(diǎn)排列的方向，一個(gè)點(diǎn)陣可以有不止一種晶列，通常晶體暴露在外觀的都是晶向，為了描寫(xiě)晶向，通常要給出晶向指數(shù)。第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)

首先選定晶軸，然后取晶列方向最短的平移矢量，把它的三個(gè)指數(shù)放在方括號(hào)中表示晶向，則此晶向?yàn)椋篬uvw]。

也可以取晶列方向上的任一矢量，用基矢表示，然后把R1R2R3化成三個(gè)互質(zhì)的最小整數(shù)，放在方括號(hào)中，仍為[uvw]。

要確定一個(gè)的方向指數(shù)，首先要定出晶軸，知道晶軸后，沿晶列方向的最短平移矢量的指數(shù)就是晶向。第一章晶體結(jié)構(gòu)2、晶面指數(shù)

點(diǎn)陣中的陣點(diǎn)可以看作是分布在一系列相互平行的平面上，這些相互平行的平面是等間距的，在每一個(gè)平面上的陣點(diǎn)分布情況是完全一樣的，因此隨便哪一個(gè)平面都可以代表這一組平面，這一組相互平行的稱(chēng)為平面族，一組相互平行的點(diǎn)陣平面應(yīng)當(dāng)把所有的陣點(diǎn)概括無(wú)遺，這是由點(diǎn)陣的平移對(duì)稱(chēng)性所決定的,換句話(huà)說(shuō)如果在這種情況下有遺漏掉的點(diǎn),這個(gè)遺漏的點(diǎn)決不是陣點(diǎn)。第一章晶體結(jié)構(gòu)

首先要確定原點(diǎn)和晶軸，任取一個(gè)陣點(diǎn)為原點(diǎn)，取3個(gè)晶軸,晶軸的端點(diǎn)必定是陣點(diǎn)，這些端點(diǎn)必定要落在這組平行平面的某些平面上,若ａ落在第h面上,ｂ落在第k個(gè)平面上,ｃ落在第L個(gè)平面上,也就是說(shuō)這組平面必須是等間距的切割晶軸,分別將ａ、ｂ、ｃ切割成h,k,L等份,這一組平面中距原點(diǎn)最近的那一個(gè)平面在三個(gè)晶軸上的截距分別為ａ／ｈ,ｂ／ｋ，ｃ／ｌ通常我們用晶軸的長(zhǎng)度為單位量度截距,最近的平面截距為１／ｈ，１／ｋ,１／ｌ我們把hkL括在圓括號(hào)中,表示為(hkL),它就作為這組晶面的晶面指數(shù)。若截距無(wú)窮大（平行于晶軸）則倒數(shù)為0。第一章晶體結(jié)構(gòu)

根據(jù)以上分析，我們可以確定找出一個(gè)晶面指數(shù)的基本方法:

（１)先找出晶面在三個(gè)晶軸上的截距值,晶軸可以是初基的,也可以是非初基的。

（２)將這些數(shù)取倒數(shù)。

（３)通常將三個(gè)數(shù)化成三個(gè)互質(zhì)的整數(shù)，放在圓括號(hào)中（hkl），若選定的晶軸是初基的（即是基矢），則hkl是不含公約數(shù)的。第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)§4.簡(jiǎn)單晶體結(jié)構(gòu)

1.sc.bcc.fcc結(jié)構(gòu)

在sc.bcc.fcc點(diǎn)陣的每一個(gè)陣點(diǎn)上放上一個(gè)同種原子就變成了sc.bcc.fcc晶體結(jié)構(gòu)。例如金屬鈉是在bcc點(diǎn)陣的每個(gè)陣點(diǎn)上放上一個(gè)原子得到的晶體。第一章晶體結(jié)構(gòu)

對(duì)于bcc結(jié)構(gòu)，若選的點(diǎn)陣是bcc點(diǎn)陣，初基晶胞只有一個(gè)原子，但還可選用立方點(diǎn)陣來(lái)處理，這時(shí)基元中將要包含兩個(gè)原子，由于bcc結(jié)構(gòu)的Bravais點(diǎn)陣不是正交點(diǎn)陣，故常用sc點(diǎn)陣來(lái)處理，換了晶軸就意味著換了點(diǎn)陣，相應(yīng)的基元也要換。第一章晶體結(jié)構(gòu)fcc結(jié)構(gòu)的Bravais點(diǎn)陣是fcc點(diǎn)陣，基元是一個(gè)原子，這種方法由于基矢不正交，處理不方便，我們常選用立方晶軸，這就意味著點(diǎn)陣發(fā)生了變化，相應(yīng)的基元也要變化，因此fcc結(jié)構(gòu)可用sc點(diǎn)陣處理，基元就包含有四個(gè)原子。第一章晶體結(jié)構(gòu)2.NaCl結(jié)構(gòu)

將Na+Cl-交替放在sc點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上，每個(gè)離子周?chē)?個(gè)異類(lèi)離子作近鄰，sc點(diǎn)陣不是NaCl結(jié)構(gòu)的Bravais點(diǎn)陣，Na+與Cl-不是等同點(diǎn)，但Na+和Cl-分別在fcc點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上，因此NaCl結(jié)構(gòu)是兩個(gè)fcc點(diǎn)陣套起來(lái)的，一個(gè)fcc點(diǎn)陣上放的是Na+，另一個(gè)點(diǎn)陣上放的是Cl-離子，所以NaCl結(jié)構(gòu)的是點(diǎn)陣fcc點(diǎn)陣，基元中包含有一個(gè)Na+和一個(gè)Cl-。第一章晶體結(jié)構(gòu)

通常我們把一個(gè)晶體結(jié)中一個(gè)原子最近鄰的原子數(shù)稱(chēng)為配位數(shù)。

sc晶體的配位數(shù)為6

bcc晶體為8

fcc晶體為12

NaCl結(jié)構(gòu)的配位數(shù)為6，每一個(gè)離子周?chē)?個(gè)異類(lèi)離子為近鄰。

配位數(shù)的高低反映了晶體結(jié)構(gòu)的原子排列的緊密程度，配位數(shù)高原子排列就緊密，反之則比較稀松。第一章晶體結(jié)構(gòu)3.CsCl結(jié)構(gòu)

CsCl結(jié)構(gòu)是在sc點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上放一種離子，而在體心位置上放另一種離子形成的，每個(gè)離子周?chē)?個(gè)異類(lèi)離子作近鄰，它是Bravais點(diǎn)陣是sc點(diǎn)陣（每一種離子都分別形成sc點(diǎn)陣），它是由兩種sc點(diǎn)陣分別放不同離子穿套而成的（相對(duì)位移了1/2體對(duì)角線長(zhǎng)），最小基元應(yīng)包含兩個(gè)離子，一個(gè)Cs+和一個(gè)Cl-。第一章晶體結(jié)構(gòu)

由于CsCl結(jié)構(gòu)的點(diǎn)陣是sc點(diǎn)陣，則慣用晶胞就是初基晶胞，CsCl結(jié)構(gòu)的配位數(shù)是8，很多離子晶體都有CsCl結(jié)構(gòu)，NaCl和CsCl結(jié)構(gòu)是最常見(jiàn)的兩種離子晶體結(jié)構(gòu)，它們?cè)谝欢l件下可以相互變化，這種變化稱(chēng)為結(jié)構(gòu)相變。第一章晶體結(jié)構(gòu)4.六角密堆積結(jié)構(gòu)

將原子看成剛性硬球，在一個(gè)平面上按最緊密排列，這樣一個(gè)原子排列最緊密的平面我們通常稱(chēng)為密排面.把一個(gè)個(gè)密排面按最近密方式堆積起來(lái)就是密堆結(jié)構(gòu).在排列時(shí)第二層球的球心要對(duì)準(zhǔn)第一層球的球隙,這種排法只有兩種可能的選取,一種是放在B位置,第三層再回到A位置.第四層再放在Ｂ位置,這種以ABABAB……排列的方式稱(chēng)為六角密堆結(jié)構(gòu)。第一章晶體結(jié)構(gòu)

另一種堆積方式是第一層為A,第二層在B位,第三層球的球心對(duì)準(zhǔn)C位,第四層還原到A位,第五層為B位,第六層為C位……,即以ABCABCABC……這樣堆積的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為立方密堆積結(jié)構(gòu)(實(shí)際上就是fcc結(jié)構(gòu))從fcc結(jié)構(gòu)的體對(duì)角線方向觀察,堆積序列就是ABCABC……每個(gè)原子有12個(gè)最近鄰。第一章晶體結(jié)構(gòu)5.金剛石結(jié)構(gòu)

它是由兩個(gè)fcc點(diǎn)陣,每個(gè)點(diǎn)陣放上同種原子,沿體對(duì)角線平移１／４體對(duì)角線長(zhǎng)穿套起來(lái)的,這個(gè)結(jié)構(gòu)的Bravais點(diǎn)陣是fcc點(diǎn)陣,它的初基基元包含兩個(gè)原子,基元中兩個(gè)原子的坐標(biāo)用慣用晶胞的晶軸寫(xiě)出就是(000)和(１／４,１／４,１／４),將這兩個(gè)原子組成的基元按fcc點(diǎn)陣的排列便可得金剛石結(jié)構(gòu),慣用晶胞中有4個(gè)基元,共有8個(gè)原子。第一章晶體結(jié)構(gòu)第一章晶體結(jié)構(gòu)6.立方ZnS結(jié)構(gòu)

兩個(gè)fcc點(diǎn)陣放不同原子沿體對(duì)角線平移１／４體對(duì)角線長(zhǎng)穿套而得，也稱(chēng)閃鋅礦結(jié)構(gòu)，它的布拉菲點(diǎn)陣仍為fcc點(diǎn)陣，基元由一個(gè)S原子和一個(gè)Zn原子組成，

這兩個(gè)原子的坐標(biāo)為（000）與(１／４，１／４，１／４),慣用晶胞中含8個(gè)原子，4個(gè)S原子與4個(gè)Zn原子。第一章晶體結(jié)構(gòu)

第一章晶體結(jié)構(gòu)

內(nèi)容提要

1．布拉菲點(diǎn)陣和初基矢量

2.初基晶胞（原胞）

3．慣用晶胞（單胞）

4．維格納---賽茲晶胞（W-S晶胞）

5．晶體結(jié)構(gòu)

6．簡(jiǎn)單晶體結(jié)構(gòu)

7．晶面指數(shù)和晶向指數(shù)

8．對(duì)稱(chēng)操作

9．七種晶系和十四種布拉菲點(diǎn)陣

布洛赫（Bloch）定理求晶體中的電子態(tài)，要解定態(tài)薛定諤方程

2

(k,r)＋

E－V(r)

(k,r)＝0其中勢(shì)能函數(shù)V(r)具有晶格周期性，即V(r)＝V（r＋Rn）＝V（r+n1a1+n2a2+n3a3）一．布洛赫定理晶體中的電子波函數(shù)是按照晶格周期性進(jìn)行的調(diào)幅平面波.即（以一維為例）

（k,x）＝u（k，x）eikx其中

u（k，x）＝u（k,x+na）晶體中的電子波又稱(chēng)為Bloch波。討論：1．電子出現(xiàn)的幾率具有正晶格的周期性。

∣

（k,x）∣2＝∣u（k，x）∣2∣

（k,x＋na）∣2=∣u（k,x+na）∣2∵u（k，x）=u（k,x+na）∴∣

（k,x）∣2=∣

（k,x＋na）∣22.布洛赫定理的另一種表示。

證明:∵

（k,x）＝u（k，x）eikxu（k，x）＝u（k,x+na）得：u（k，x）＝

（k,x）e-ikx(A)u（k,x+na）=

（k,x+na）e-ik(x+na)=e-ikx[e-ikna

（k,x+na）](B)比較（A）（B）二式，左右分別相等

∴

（k,x+na）＝

（k,x）eikna

以上證明各步均可逆，故Bloch定理的兩種表示等價(jià)。3．函數(shù)

（k,x）本身并不具有正晶格的周期性。

（k,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na)

=u（k，x+na）eikx×eikna=u（k，x）eikx×eikna

=

（k,x）eikna而一般情況下∵k不是倒格矢eikna≠1∴

（k,x＋na）≠

（k,x）二．Bloch定理的證明1．由于勢(shì)能函數(shù)V(x)具有晶格周期性，適當(dāng)選取勢(shì)能零點(diǎn)，它可以作如下的付里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：說(shuō)明：

∴(1)2.將待求的波函數(shù)ψ（r）向動(dòng)量本征態(tài)――平面波eik?x展開(kāi)(2)求和是對(duì)所有滿(mǎn)足波恩－卡曼邊界條件的波矢k’進(jìn)行的。將（1）式和（2）式代入薛定諤方程得:(3)將此式兩邊左乘e－ik.x,然后對(duì)整個(gè)晶體積分。并利用平面波的正交歸一性得到（4）式

利用δ函數(shù)的性質(zhì)，得（4）式

該方程實(shí)際上是動(dòng)量表象中的薛定諤方程，稱(chēng)作中心方程。

K態(tài)與其相差不是一個(gè)倒格矢的態(tài)之間無(wú)耦合方程（4）說(shuō)明，與K態(tài)系數(shù)C(K)的值有關(guān)的態(tài)是與K態(tài)相差任意倒格矢Gn

的態(tài)的系數(shù)C(K－Gn)…….與K相差不是一個(gè)倒格矢的態(tài)不進(jìn)入方程（4），該結(jié)論也應(yīng)適用于波函數(shù)

(k,x)。因此波函數(shù)應(yīng)當(dāng)可寫(xiě)成與Bloch定理比較

（k,x）＝u（k，x）eikx

需證明

=u(K,x+na)∵Gh·Rn＝2

m，一維情況Rn=na,Ghna=2mexp(-iGhna)=1于是布洛赫定理得證。三．布洛赫定理的一些重要推論（1）K態(tài)和K＋Gh態(tài)是相同的狀態(tài)，這就是說(shuō)：（A）

（K＋Gh,r）＝

（K，r）（B）E（K＋Gh）＝E(K)下面分別證明之?！?/p>

（k,x）求和遍取所有允許的倒格矢令G‘n

－Gn=Gn’’,則

（∵求和也是遍取所有允許的倒格矢）即相差任意倒格矢的狀態(tài)等價(jià)。由薛定諤方程

(k,r)=E(k)

(k,r)∴E（k）=E(k+Gn)

可見(jiàn)，在波矢空間，布洛赫電子態(tài)具有倒格子周期性，為了使波矢K和狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，通常限制k在第一B.Z.內(nèi)變化。第一B.Z.內(nèi)的波矢又叫簡(jiǎn)約波矢。與等價(jià)（2）E（k）＝E（－k）即能帶具有k=0的中心反演對(duì)稱(chēng)性。（3）E（k）具有與正晶格相同的對(duì)稱(chēng)性。四．能態(tài)密度由布洛赫波所應(yīng)滿(mǎn)足的周期性邊界條件：波矢k在空間分布是均勻，允許的波矢為

每個(gè)k點(diǎn)在k空間平均占有的體積為k空間內(nèi)，k點(diǎn)的密度為Vc/（2π）3。能態(tài)密度：對(duì)給定體積的晶體，單位能量間隔的電子狀態(tài)數(shù)。在k空間，對(duì)某一能帶n,每一個(gè)k點(diǎn)對(duì)應(yīng)此能帶一個(gè)能量En,反過(guò)來(lái)，對(duì)于一個(gè)給定的能量En,可以對(duì)應(yīng)波矢空間一系列的k點(diǎn)，這些能量相等的k點(diǎn)形成一個(gè)曲面，稱(chēng)之為等能面?？紤]E→E＋dE二個(gè)等能面之間的電子狀態(tài)數(shù)。在k空間等能面E和E＋dE之間，第n個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的波矢k數(shù)目為將k空間的體元dτk表示成dτk＝dSE·dk⊥由于dE＝∣▽kEn(k)∣·dk⊥故有則E→E+dE之間，第n個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)數(shù)應(yīng)為（考慮自旋應(yīng)×2）：其中D(En)即是第n個(gè)能帶對(duì)E→E＋dE能量區(qū)間所貢獻(xiàn)的狀態(tài)密度。如果能帶之間沒(méi)有交疊，則D（En）就是總的狀態(tài)密度；如果有交疊，應(yīng)對(duì)所有交疊帶求和，即一般應(yīng)寫(xiě)成:因此，只要由實(shí)驗(yàn)測(cè)出關(guān)系En(k)~k（或稱(chēng)能帶結(jié)構(gòu)）就可求得狀態(tài)密度D（En）。反過(guò)來(lái)，若由實(shí)驗(yàn)測(cè)得D（En），也可推測(cè)出能帶結(jié)構(gòu)En(k)。例：求自由電子的態(tài)密度函數(shù)D（E）在k空間，自由電子的等能面為球面對(duì)應(yīng)于一定的電子能量E,半徑為

K空間中，在半徑為∣k∣的球體積內(nèi)的電子態(tài)數(shù)目，應(yīng)等于球的體積乘以K空間單位體積內(nèi)的電子態(tài)數(shù)Vc/4π3，即于是自由電子的態(tài)密度函數(shù)D（E）為ED

常見(jiàn)晶體結(jié)構(gòu)舉例面心立方（fcc)------Cu(GT002)

致密度η（又稱(chēng)空間利用率）：晶體中原子所占體積與晶體總體積之比。

配位數(shù)CN：晶體中一個(gè)原子最近鄰的原子數(shù)。（注意：不是格點(diǎn)數(shù)）例如：Cu

配位數(shù)＝12，慣用元胞包含格點(diǎn)數(shù)＝4最近鄰原子間距＝？2.體心立方（bcc)-----w3.金剛石結(jié)構(gòu)

(GT016)

兩個(gè)fcc子格子沿對(duì)角線相對(duì)位移1/4體對(duì)角線長(zhǎng)度套構(gòu)而成。

B格子與子格子相同－－－fcc

慣用元胞包含格點(diǎn)數(shù)＝4

基元內(nèi)原子數(shù)＝2（同種元素）慣用元胞包含原子數(shù)＝2x4=8

配位數(shù)＝44.閃鋅礦結(jié)構(gòu)（立方硫化鋅結(jié)構(gòu)）

套構(gòu)形式與金剛石結(jié)構(gòu)相同，區(qū)別是基元內(nèi)含2個(gè)原子為不同的元素。

B格子是--------

慣用元胞包含格點(diǎn)數(shù)＝?

慣用元胞包含原子數(shù)＝?

配位數(shù)＝?5.氯化銫（CsCl)結(jié)構(gòu)

Cs＋，Cl－離子分別為簡(jiǎn)立方（SC）子格子，二子格子體心套構(gòu)。

B格子＝SC

配位數(shù)＝？6.NaCl結(jié)構(gòu)

Na＋,Cl－分別為fcc子格子，沿立方邊位移a/2套構(gòu)而成。

(GT016)注意

不同晶體結(jié)構(gòu)的Cu.NaCl,金剛石結(jié)構(gòu)，閃鋅礦結(jié)構(gòu)等，它們的B格子均為fcc。

所以，B格子的種類(lèi)數(shù)大大少于晶體結(jié)構(gòu)的種類(lèi)數(shù)。7.六方密排結(jié)構(gòu)（hcp)-------Mg(模型)

慣用元胞是以正六邊形為底的直角棱柱。晶格常數(shù)是正六邊形的邊長(zhǎng)a和柱高c.

密堆積：如果晶體由全同的一種粒子組成，而粒子被看成是小圓球，這些小圓球最緊密的堆積狀態(tài)。此時(shí)它有最大的配位數(shù)－－－12。有最大配位數(shù)12的排列方式稱(chēng)為密堆積。

hcp基元內(nèi)原子數(shù)＝2

慣用元胞體積是初基元胞體積的3倍。hcp的排列方式為AB,AB,……

密排面垂直于棱柱高c軸。

fcc的排列方式為ABC,ABC,……

密排面垂直于體對(duì)角線。（GT003，模型）

hcp和fcc均為配位數(shù)為12的密堆積，可能給我們什么啟示？8.纖維鋅礦結(jié)構(gòu)（六角硫化鋅結(jié)構(gòu)）兩個(gè)hcp套構(gòu)而成。例如，ZnO,ZnS。（模型）9.鈣鈦礦結(jié)構(gòu)例如，BaTiO3,SrTiO3

OⅠ,OⅡ,OⅢ的周?chē)碍h(huán)境”不同，鈣鈦礦結(jié)構(gòu)由五個(gè)SC子格子套構(gòu)而成。（GT017，GT018）

倒格子與布里淵區(qū)一.

倒格子

（先在基矢坐標(biāo)系中討論)1.定義：正格子基矢a1a2a3

倒格子基矢

b1b2b32πi=j

ai·bj=0i≠j

即i≠jai

⊥bj例如:b1

在a2×a3所確定的方向上（或反方向上）

b1＝c(a2×a3)c為待定系數(shù)則，

a1·b1＝ca1·(a2×a3)＝cΩ(A)

其中Ω為正格子初基元胞體積，同時(shí)，由定義

a1·b1＝2π（B）比較（A）,（B）式得

b1＝（a2×a3）類(lèi)似可得

b2＝（a3×a1）b3＝(a1×a2)2*有了倒格子基矢，可構(gòu)成倒格矢。Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3

倒格子周期性其中h1h2h3為任意整數(shù)，由倒格矢Gh確定的空間叫倒格子空間。由上定義可知，Gh與波矢K有相同的量鋼。屬同一“空間”

Gh是K空間的特定矢量。倒格子初基元胞“體積”Ω※＝b1·(b2×b3)

注意：正倒格矢量綱不同，屬不同的空間，可有方向上的關(guān)系，不能直接比較大小。思考題：

對(duì)二維格子，已知正格基矢a1、a2,如何確定b1、b2的方向？

強(qiáng)調(diào)：這里定義的倒格矢，所對(duì)應(yīng)的正格矢是在基矢坐標(biāo)系中的。2．倒格子的重要性質(zhì)（正倒格子間的關(guān)系）

(1).若h1、h2、h3為互質(zhì)整數(shù)，則Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3為該方向的最短倒格矢。

(2).正、倒格子互為倒格子。

(3).Gh

＝h1b1＋h2b2＋h3b3垂直于晶面族（h1、h2、h3）（兩個(gè)h1、h2、h3分別相等）。證：晶面族（h1、h2、h3）中的一個(gè)晶面在a1、a2、

a3上的截距為x,y,z,由面指數(shù)的定義:（h1、h2、h3）＝m(1/x、1/y、1/z)即h1x＝h2y＝h3z＝m（m為公因子）（A）在該晶面上作二非平行矢量（如圖）

u＝xa1－ya2

v＝y(tǒng)a2－za3

則u·Gh＝(xa1－ya2)·(h1b1＋h2b2＋h3b3)由倒基矢定義＝2π（h1x－h(huán)2y）由（A）式＝2π(m－m)＝0即

U⊥Gh

同理可證υ⊥GhGh與（h1、h2、h3）面內(nèi)二條非平行直線均垂直,所以Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。(4)

某方向最短倒格矢

Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3

之模

和晶面族（h1、h2、h3）的

面間距dh成反比。

設(shè):ABC為晶面族(h1h2h3)(h1,h2,h3為互質(zhì)整數(shù))中離原點(diǎn)最近的晶面。ABC面與a1,a2,a3軸的截距矢量分別為a1/h1,a2/h2,a3/h3,請(qǐng)同學(xué)自證:h1=h1,h2=

h2,h3=

h3該晶面族的法向矢為倒格矢G(h’1h’2h’3),其中最短倒格矢Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3(h1,h2,h3為互質(zhì)整數(shù))。晶面間距即為a1/h1,a2/h2,a3/h3,在法向的投影

dh1h2h3==

=（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的

標(biāo)積是2π的整數(shù)倍

Gh·Rn＝2πm問(wèn)題：若Gh，Rn分別為正、倒格矢，上式成立。反之，若上式成立，若已知一個(gè)為正格矢，則另一個(gè)必為倒格矢嗎？(p36*)證：Gn

x晶面族(h1h2h3)中離原點(diǎn)距離為mdh的晶面方程為：其中x為晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。

（6）正、倒格子初基元胞體積間滿(mǎn)足Ω·Ω※＝（2π）3由性質(zhì)（4）所以，故上反定理不成立。(7)晶體的傅立葉變換

設(shè)函數(shù)V(x)具有正晶格周期性，它可以作付里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：n是整數(shù)V(Gn)是V(x)在倒空間的“映像和表述”，它們之間滿(mǎn)足傅立葉變換的關(guān)系?！嗨钥梢哉f(shuō)，一個(gè)具有正格子周期性的物理量，在正格子中的表述與在倒格子中的表述之間滿(mǎn)足傅立葉變換的關(guān)系。二．布里淵區(qū)（B.Z）GT010

定義：任選一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，從原點(diǎn)向它的第一、第二、第三……近鄰倒格點(diǎn)畫(huà)出倒格矢，并作這些倒格矢的中垂面，這些中垂面繞原點(diǎn)所圍成的多面體稱(chēng)第一B.Z，它即為倒空間的W－S元胞，其“體積”為Ω※＝b1·(b2×b3)說(shuō)明并不是原點(diǎn)僅到最近鄰的倒格點(diǎn)的倒格矢的中垂面所圍成的區(qū)域叫第一B.Z;

第一B.Z又可表述為從原點(diǎn)出發(fā)，不與任何中垂面相交，所能達(dá)到的倒空間區(qū)域。第nB.Z則是從原點(diǎn)出發(fā)跨過(guò)（n－1）個(gè)倒格矢中垂面所達(dá)到的區(qū)域；各級(jí)B.Z體積相等。?布里淵區(qū)界面方程Gh

K由晶面方程：當(dāng)x換為倒格矢中垂面上的任意波矢K時(shí)，得到布里淵區(qū)界面方程

點(diǎn)陣振動(dòng)

§1.一維原子鏈的點(diǎn)陣振動(dòng)

1.簡(jiǎn)諧近似

這一章我們要考慮原子在平衡位置附近的振動(dòng)。這種考慮是建立在簡(jiǎn)諧近似的基礎(chǔ)之上的，所謂簡(jiǎn)諧近似即認(rèn)為振動(dòng)是小振動(dòng)，振幅很小，這種振動(dòng)的位移與力之間是滿(mǎn)足線性關(guān)系的。

F=-cx從能量的角度來(lái)看，認(rèn)為原子間有了相對(duì)位移后，兩原子間的相互作用勢(shì)也有了變化

將勢(shì)能展開(kāi)成級(jí)數(shù)：

2.一維單原子點(diǎn)陣的運(yùn)動(dòng)方程和色散關(guān)系

一維單原子點(diǎn)陣在每個(gè)陣點(diǎn)上只有一個(gè)原子，第s個(gè)原子相對(duì)于它平衡時(shí)的位移是Us。第ｓ個(gè)原子所受到的來(lái)自第s+p個(gè)原子的作用力與它的對(duì)位移成正比第s個(gè)原子所受到的力等于所有原子作用力的總和：

Mus=

當(dāng)s取不同值時(shí)，上述方程為一方程組代表各個(gè)原子的位移和運(yùn)動(dòng)。

原子在平衡位置附近的小振動(dòng)可看作是耦合的簡(jiǎn)諧振子的運(yùn)動(dòng)。這種耦合諧振子可以通過(guò)正則變換化成一組獨(dú)立的無(wú)相互耦合的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)這樣變換的每一個(gè)獨(dú)立的諧振子代表簡(jiǎn)正模式，點(diǎn)陣振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式是指有一定頻率、一定波矢的平面波，第s個(gè)原子的位移按簡(jiǎn)正模式解可寫(xiě)成：

這也就是頻率為ω,波矢為k的平面波對(duì)第s個(gè)原子位移的貢獻(xiàn)。這個(gè)平面波稱(chēng)之為格波，把尋求到的運(yùn)動(dòng)方程的解帶入運(yùn)動(dòng)方程就能找出ω與k的關(guān)系即所謂色散關(guān)系。將帶入運(yùn)動(dòng)方程得：

（其中u=u）

M

約去兩邊相同的因子得：

代表第s+p個(gè)原子的位移的位相差。

由于點(diǎn)陣有平移對(duì)稱(chēng)性（+p原子與-p原子的力常數(shù)相等）。Cp=C-p

則

=-

利用歐拉合成化簡(jiǎn)可得：

這就是一維單原子晶考慮了所有原子的作用后得到的格波的頻率與波矢所滿(mǎn)足的關(guān)系。

通常只考慮最近鄰原子的作用（最近鄰近似）：

則色散關(guān)系變?yōu)椋?/p>

或

此函數(shù)關(guān)系在第一布里淵區(qū)的圖如下：

簡(jiǎn)正模式的色散關(guān)系是點(diǎn)陣平移矢量的周期函數(shù)，（n為整數(shù)），可以證明將色散關(guān)系

中的k換成后，ω是不變的。

sin[

平移后色散關(guān)系不變。色散關(guān)系是點(diǎn)陣平移矢量的周期函數(shù)，它主要是由于我們研究的對(duì)象是分立的周期結(jié)構(gòu)所引起的。

當(dāng)把k換成-k時(shí)色散關(guān)系也不變。即K與-k對(duì)應(yīng)的頻率完全一樣（稱(chēng)之為色散關(guān)系的反演對(duì)稱(chēng)性）

ω（k）=ω（-k）.

3.周期性邊界條件

我們前面研究的對(duì)象是理想晶體,邊界上與內(nèi)部的原子是一樣的,既理想晶體不考慮晶體邊界,沒(méi)有邊界效應(yīng)。長(zhǎng)為L(zhǎng)的一維原子鏈,要作為理想晶體來(lái)對(duì)待,就要用到周期性邊界條件(即循環(huán)邊界條件或玻恩一卡曼邊界條件).

所謂周期性邊界條件是把實(shí)際晶體看作是無(wú)限的,要求運(yùn)動(dòng)方程的解以晶體的長(zhǎng)度L=Na為周期,既要求:

這個(gè)邊界條件的意思是相當(dāng)于將晶體的首位相接構(gòu)成一個(gè)園環(huán),第0個(gè)原子與第N個(gè)原子重合。

因此此邊界條件又稱(chēng)為循環(huán)邊界條件，經(jīng)過(guò)這樣處理，邊界上原子與晶體內(nèi)部原子的狀態(tài)一樣，即可把實(shí)際晶體當(dāng)作理想晶體看待。但是，在周期性邊界條件下，格波的波矢只能取一系列分立值。

k=0，

k=

由此可從k求出ω，由于k值是無(wú)限的，相應(yīng)的應(yīng)有無(wú)窮多簡(jiǎn)正模式，但實(shí)際上在這些簡(jiǎn)正模式中只有一部分是獨(dú)立的。即k取邊界條件允許的值時(shí)，有些格波將對(duì)應(yīng)相同的頻率和位移，因此它們是同一個(gè)簡(jiǎn)正模式。

4．第一布里淵區(qū)

簡(jiǎn)正模式的色散關(guān)系有一個(gè)重要的性質(zhì)：

一維時(shí)

則

當(dāng)把k換成時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率完全一樣，不僅頻率相等，而且與這兩個(gè)波矢相應(yīng)的原子的位移情況也一樣，進(jìn)一步說(shuō)這兩個(gè)簡(jiǎn)正模式是同一個(gè)簡(jiǎn)正模式，是代表同一個(gè)格波。

當(dāng)

=

因?yàn)閯t

當(dāng)波矢k平移倒易點(diǎn)陣矢量后所給出的簡(jiǎn)正模式是同一個(gè)模式，頻率及每個(gè)原子的位移都是相同的，這兩個(gè)格波是同一個(gè)格波。

如上圖.

∴k與k‘是同一列格波,是同一個(gè)簡(jiǎn)正模式

在滿(mǎn)足周期性邊界條件下，凡是波矢相差一個(gè)倒易點(diǎn)陣矢量的簡(jiǎn)正模式是同一個(gè)簡(jiǎn)正模式，這樣我們就可把格波的波矢ｋ限制在第一布里淵區(qū)之中，第一布里淵區(qū)以外的k總可以平移一個(gè)后用第一布里淵區(qū)中的k來(lái)等價(jià)描述，第一布里淵區(qū)以外k只不過(guò)是第一布里淵區(qū)中的ｋ的重復(fù)和再現(xiàn)而已。

在第一布里淵區(qū)中有多少k值呢？

第一布里淵區(qū)中的k值數(shù)目實(shí)際上就是晶體中初基晶胞的數(shù)目，長(zhǎng)為L(zhǎng)的一維原子鏈中的獨(dú)立的簡(jiǎn)正模式數(shù)等于晶體中的原子數(shù)。

每一個(gè)簡(jiǎn)正模式代表一個(gè)一定頻率與波矢的平面波，那么運(yùn)動(dòng)方程就有N個(gè)獨(dú)立的簡(jiǎn)正模式解，但這些解都不代表原子的真實(shí)位移。

在點(diǎn)陣振動(dòng)中，我們不研究原子的真實(shí)位移，因?yàn)檫@是毫無(wú)實(shí)際意義的。它對(duì)晶體的物理性質(zhì)（如熱學(xué)性質(zhì)等）并沒(méi)有什么貢獻(xiàn)，而有貢獻(xiàn)的只是存在有那些簡(jiǎn)正模式。

5.群速

若晶體中有一個(gè)擾動(dòng)，有一個(gè)原子偏離了平衡位置。由于原子間有相互作用，則這個(gè)擾動(dòng)可以看作是基本格波組成的波包的運(yùn)動(dòng)，波包的運(yùn)動(dòng)速度是格波的群速，。它是有一系列格波疊加起來(lái)的波包的運(yùn)動(dòng)，波包中心所對(duì)應(yīng)的速度為群速度，它是介質(zhì)中能量傳輸?shù)乃俣?。我們將色散關(guān)系：

對(duì)k微商可得：

可以將此關(guān)系作圖如下：

在布里淵區(qū)邊界上滿(mǎn)足Laue或Bragg條件，要發(fā)生衍射現(xiàn)象，這不僅限于對(duì)x-raｙ，而任何波只要滿(mǎn)足Laue或Bragg條件都會(huì)發(fā)生衍射，格波也不例外，在一維情況下的Bragg反射條件：

（n只能等于1，而不可能大于1，∵當(dāng)n>1時(shí)λ<2a是沒(méi)有任何實(shí)際意義的）。滿(mǎn)足Bragg反射條件，而反射波與λ射波是兩個(gè)相反方向的同頻，同波矢的波的疊加。

相當(dāng)與λ>>a(故稱(chēng)為長(zhǎng)波極限).色散關(guān)系:

＝

(因?yàn)閗a<<1則sin

它表明當(dāng)格波的波長(zhǎng)比點(diǎn)陣常數(shù)大的多時(shí),可以把格波當(dāng)作連續(xù)介質(zhì)中的彈性波處理。也就是說(shuō)可以把晶體看作連續(xù)介質(zhì)，當(dāng)λ》a時(shí)，點(diǎn)陣的分立性就顯示不出來(lái)，傳播時(shí)感覺(jué)不到分立性，若波長(zhǎng)縮短，分立結(jié)構(gòu)的特性對(duì)格波的影響就逐漸顯露出來(lái)，色散關(guān)系的線性關(guān)系就要改變，當(dāng)λ=2a時(shí)，k=，正處在布里淵區(qū)邊界，發(fā)生了Brａgg反射。

§2.一維雙原子點(diǎn)陣的點(diǎn)陣振動(dòng)

考慮一個(gè)初級(jí)晶胞有兩個(gè)原子的情況

1.運(yùn)動(dòng)方程和色散關(guān)系

一個(gè)初基晶胞中兩個(gè)原子的質(zhì)量不同，但為了處理問(wèn)題方便起見(jiàn)，認(rèn)為原子間的力常數(shù)是一樣的，在簡(jiǎn)諧近似下，用最近鄰近似，認(rèn)為各原子之間是用同樣的彈簧聯(lián)系起來(lái)的。

若只考慮最近鄰近似，第ｓ個(gè)晶胞中質(zhì)量為M1的原子所受的力為：

其運(yùn)動(dòng)方程為

同理可寫(xiě)出第s個(gè)晶胞中質(zhì)量為M2的原子的運(yùn)動(dòng)方程為：

u，v可以是復(fù)數(shù)，第ｓ個(gè)晶胞中質(zhì)量為的原子的ω與k相同，但振幅不同，由于u，v是復(fù)數(shù)，故u，v可以有一個(gè)相因子之差，表示它們之間的相位關(guān)系。

我們將代回運(yùn)動(dòng)方程得：

這是以u(píng)，v為未知數(shù)的方程組，要有非零解須系數(shù)行列式為零。

便可得到：

展開(kāi)此行列式可得：

即

上式中取“＋”號(hào)時(shí)，有較高頻率稱(chēng)為光學(xué)支色散關(guān)系，取“－”號(hào)時(shí)，有較低頻率稱(chēng)為聲學(xué)支色散關(guān)系。

把色散關(guān)系作圖得：

2.光學(xué)支和聲學(xué)支格波

為了討論比較典型,我們處理長(zhǎng)波極限下的情況。當(dāng)ka《1（即波長(zhǎng)比點(diǎn)陣常數(shù)大得多的光學(xué)支與聲學(xué)支）

coska≈，帶入色散關(guān)系中：

取“＋”號(hào)時(shí)，≈

取“－”號(hào)時(shí)：≈

由u.v的方程組,我們知道:

當(dāng)ka<<1時(shí):

對(duì)“＋”號(hào)的一支:

[這是k∽0時(shí),將帶入u，v方程組中得到的]

它表明同一個(gè)初基晶胞中的兩個(gè)原子每時(shí)每刻的振動(dòng)位相是相反的，而且是質(zhì)心不動(dòng)的，不同的初基晶胞有一個(gè)位相差。在離子晶體中由于它們不斷的反位相振動(dòng)，電偶極距可與電磁波耦合，這種振動(dòng)模式可用光波來(lái)激發(fā)，故稱(chēng)之為光學(xué)支振動(dòng)模式，實(shí)際上它是簡(jiǎn)正模式中的一部分，而不是光波，它可與光波耦合，但不要與光波混淆。

對(duì)“－”號(hào)支：

這表明ka《1時(shí)，同一初基晶胞中兩個(gè)原子每時(shí)每刻是同位相運(yùn)動(dòng)（振動(dòng)之比為1），而且連同質(zhì)心一起作整體運(yùn)動(dòng)。不同初基晶胞之間的振動(dòng)有一個(gè)相因子，初基晶胞的整體運(yùn)動(dòng)存在著類(lèi)似聲波的色散關(guān)系ω=vk，有類(lèi)似聲波的性質(zhì)，故稱(chēng)之為聲學(xué)支模式。它不是聲波。

兩支模式的區(qū)別在于，光學(xué)支模式是描寫(xiě)初基晶胞中兩個(gè)原子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)模式，若這兩個(gè)原子組成一個(gè)分子，光學(xué)支模式實(shí)際上是分子振動(dòng)模式，描寫(xiě)的是同一個(gè)分子中的原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況，聲學(xué)支模式代表同一初基晶胞中原子的整體運(yùn)動(dòng)，若初基晶胞中的兩個(gè)原子組成一個(gè)分子的話(huà)，聲學(xué)支模式則代表分子的整體運(yùn)動(dòng)模式，這種振動(dòng)模式的色散關(guān)系類(lèi)似于聲波。但它不是聲波。

當(dāng)k=±

設(shè)

對(duì)聲學(xué)支

對(duì)光學(xué)支

3．簡(jiǎn)正模式計(jì)數(shù)

在前面的討論中無(wú)論是單原子點(diǎn)陣還是雙原子點(diǎn)陣我們只討論一維情況，還沒(méi)有涉及到簡(jiǎn)正模式的偏振狀態(tài)，在三維空間，對(duì)一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)有3個(gè)偏振態(tài)，兩個(gè)橫振動(dòng)，一個(gè)縱振動(dòng)，對(duì)于3個(gè)不同的偏振態(tài)來(lái)說(shuō)原子的力常數(shù)是不同的?？v波的原子的運(yùn)動(dòng)與波的傳播是同向的，原子間的作用力是拉伸力，而橫波原子的運(yùn)動(dòng)與波的傳播是垂直方向的，原子間的作用力是切向力，這樣兩種力的力常數(shù)是不相同的，色散關(guān)系也是不一樣的。

對(duì)于單原子晶體，簡(jiǎn)正模式的色散關(guān)系有三支，每支色散關(guān)系對(duì)應(yīng)有Ｎ個(gè)簡(jiǎn)正模式，則共有3N個(gè)模式，對(duì)于雙原子點(diǎn)陣，點(diǎn)陣模式的色散關(guān)系有6支，3支聲學(xué)支，3支光學(xué)支。每支色散關(guān)系各有N個(gè)簡(jiǎn)正模式，故有3N個(gè)聲學(xué)摸，在長(zhǎng)波極限下它對(duì)應(yīng)于初基晶胞的整體，這種整體運(yùn)動(dòng)的自由度共有3N個(gè)，這3N個(gè)自由度對(duì)應(yīng)3N個(gè)聲學(xué)模式。

光學(xué)支也有3 N個(gè)簡(jiǎn)正模式，對(duì)應(yīng)與初基晶胞中原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，有3N個(gè)自由度。因此總的簡(jiǎn)正模式（包括光學(xué)支，聲學(xué)支）共有3×2×N=6N個(gè)，也就是說(shuō)雙原子點(diǎn)陣共有6N個(gè)簡(jiǎn)正模式，這6N個(gè)簡(jiǎn)正模式對(duì)應(yīng)于晶體中所有原子的總自由度。

推而廣之，對(duì)于每個(gè)初基晶胞中有P個(gè)原子的點(diǎn)陣，簡(jiǎn)正模式的色散關(guān)系有3P支，其中有3支是聲學(xué)支,對(duì)應(yīng)于聲學(xué)摸的三種偏振狀態(tài),剩下的3P-3都是光學(xué)支,每一支的K的取值都有N個(gè),因此共有3PN個(gè)簡(jiǎn)正模式。其中3N個(gè)聲學(xué)模式，剩下的3NP-3N個(gè)都是光學(xué)模式，無(wú)論基晶胞中有多少個(gè)原子，色散關(guān)系的聲學(xué)支只能有3支，因?yàn)槁晫W(xué)支對(duì)應(yīng)于初基晶胞中原子的整體運(yùn)動(dòng)而這種運(yùn)動(dòng)只能有三個(gè)，剩下的3P-3支都是光學(xué)支，代表了初基晶胞中原子的相對(duì)振動(dòng)。

需要說(shuō)明的是，在色散關(guān)系中，對(duì)三維晶體而言，通常要指定波矢K的方向后才能畫(huà)出對(duì)應(yīng)的色散關(guān)系，即ω-K的關(guān)系圖。對(duì)應(yīng)于晶體中對(duì)稱(chēng)性比較高的方向，簡(jiǎn)正模式可以是簡(jiǎn)并的。但這并不是說(shuō)它們的簡(jiǎn)正模式數(shù)減少了，因?yàn)榇藭r(shí)盡管兩支橫光學(xué)支或橫聲學(xué)支簡(jiǎn)并，在同一個(gè)K下它們的頻率相同，但時(shí)它們處于不同的偏振態(tài)，各自仍然是獨(dú)立的。

§3.聲子

1．聲子

點(diǎn)陣振動(dòng)可用簡(jiǎn)正模式來(lái)描述，每一個(gè)簡(jiǎn)正模式描寫(xiě)一個(gè)一定頻率一定波矢和偏振狀態(tài)的平面波，而每一個(gè)平面波對(duì)應(yīng)于一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，給定了K就可以通過(guò)一定的色散關(guān)系求出ω。一個(gè)簡(jiǎn)正模式就代表一個(gè)頻率為ω的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量是量子化的，一個(gè)頻率為ω，波矢為K的簡(jiǎn)正模式，處于N激發(fā)態(tài)，它的能量為：

點(diǎn)陣振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式（或格波）的能量的量子稱(chēng)為聲子。聲子是格波能量的量子，并非格波本身，一個(gè)頻率為ω，波矢為k的簡(jiǎn)正模式處在第N個(gè)激發(fā)態(tài)，我們就說(shuō)在這個(gè)能量態(tài)上，占據(jù)了N個(gè)波矢為K頻率為ω的聲子。聲子的數(shù)目對(duì)應(yīng)于格波激發(fā)態(tài)的量子數(shù)，而格波的簡(jiǎn)正模式對(duì)應(yīng)于聲子的種類(lèi)。

一個(gè)波矢為K的第S支模式處在第N個(gè)激發(fā)態(tài)，我們就說(shuō)在晶體中存在著N個(gè)波矢為K的第S支聲子（因?yàn)榻o定了K與第S支模式則ω可由色散關(guān)系唯一確定），在晶體中波矢為K的縱聲學(xué)支模式處于N激發(fā)態(tài)，我們就說(shuō)晶體中有N個(gè)波矢為K的縱聲學(xué)支聲子。

聲子這個(gè)名詞是模仿光子而來(lái)（因?yàn)殡姶挪ㄒ彩且环N簡(jiǎn)諧振動(dòng)）。聲子與光子都代表簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量的量子。所不同的是光子可存在于介質(zhì)或真空中，而聲子只能存在于晶體之中，只有當(dāng)晶體中的點(diǎn)陣由于熱激發(fā)而振動(dòng)時(shí)才會(huì)有聲子，在絕對(duì)零度下，即在OK時(shí)，所有的簡(jiǎn)正模式都沒(méi)有被激發(fā)，這時(shí)晶體中沒(méi)有聲子，稱(chēng)之為聲子真空。聲子與光子存在的范圍不同，即寄居區(qū)不同。

若點(diǎn)陣振動(dòng)的波矢為K的第S支的簡(jiǎn)正模式由于外界干擾而被激發(fā)，能量提高了一級(jí)，由N→N+1，那么我們就說(shuō)晶體中產(chǎn)生了一個(gè)波矢為ｋ的第S支聲子。反之，若由于外界的激發(fā)，格波的激發(fā)態(tài)下降為N-1，則我們說(shuō)在晶體中淹沒(méi)了一個(gè)波矢為K的第S支聲子。

由于聲子是格波簡(jiǎn)正模式的能量量子，若其能量為：