對口升學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(數(shù)列教案)

第課時(shí)教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列的定義教學(xué)目的：理解數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、Sn的含義，掌握通項(xiàng)公式的求法及其應(yīng)用，了解遞推的含義．教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列的根本概念．教學(xué)難點(diǎn)：求通項(xiàng)公式、遞推公式的應(yīng)用教學(xué)過程：一、數(shù)列的定義：按一定順序排列成的一列數(shù)叫做數(shù)列．記為：{a}．即{a}:a,a,…,a．二、通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．如數(shù)列：。簡記為：數(shù)列{2n}三、前n項(xiàng)之和：S=a+a+…+a注求數(shù)列通項(xiàng)公式的一個重要方法：對于數(shù)列,有：例1、數(shù)列{100-3n}，〔1〕求a、a；〔2〕67是該數(shù)列的第幾項(xiàng)；〔3〕此數(shù)列從第幾項(xiàng)起開始為負(fù)項(xiàng)．解：練習(xí):數(shù)列(1)求這個數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？例2求以下數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)5,10,15,20，…；〔2〕(3)?1，1，?1，1，…．解〔1〕；〔2〕；〔3〕，〔4〕練習(xí)：定寫出數(shù)列3，5，9，17，33，……的通項(xiàng)公式：答案：an=2n+1。例3數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式：〔1〕=n+2n；〔2〕=n-2n-1.解：〔1〕①當(dāng)n≥2時(shí)，=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1；②當(dāng)n=1時(shí)，==1+2×1=3；③經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)，2n+1=2×1+1=3，∴=2n+1為所求.〔2〕①當(dāng)n≥2時(shí)，=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3；②當(dāng)n=1時(shí)，==1-2×1-1=-2；③經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴=為所求．注：Sn求an時(shí)，要先分n＝1和n≥2兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一．練習(xí)1.假設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-1,那么a4等于(〕A.7 B.8 C.9 D.17練習(xí)2.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n3，那么a5+a6的值為〔〕A.91 B.152 C.218 D.279四、同步練習(xí)：第課時(shí)教學(xué)內(nèi)容：等差數(shù)列〔1〕教學(xué)目的：通過復(fù)習(xí)，穩(wěn)固等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列教學(xué)過程：〔一〕主要知識1．等差數(shù)列的定義:2．通項(xiàng)：．3．求和：．4．中項(xiàng)：假設(shè)a、b、c等差數(shù)列，那么b為a與c的等差中項(xiàng):2b=a+c〔二〕熱身練習(xí)：講練題：〔1〕等差數(shù)列{an}中a1=31,d=-7,求a6及S10.〔2〕求等差數(shù)列2，9，16，…的第11項(xiàng).〔3〕等差數(shù)列{an}中a1=7，a9=39，求S9;〔4〕10和16的等差中項(xiàng)是〔〕。三、例題講解：【例1】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,a10=30,a20=50.(1)求通項(xiàng)an;(2)假設(shè)Sn=242,求n.【解】(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝30,a1＋19d＝50))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝12,d＝2)).故an＝2n＋10.(2)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，Sn＝242，得12n＋eq\f(nn－1,2)×2＝242，解之得n＝11或n＝－22(舍去)．∴n＝11.解設(shè)這五個數(shù)組成的等差數(shù)列為{an}由：a1＝－1，a5＝7，∴7＝－1＋(5－1)d解出d＝2。所求數(shù)列為：－1，1，3，5，7．練習(xí)在等差數(shù)列中,解:設(shè)首項(xiàng)為,公差為,那么【例2】Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S2＝S6，a4＝1，求a5.解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝6a1＋\f(6×5,2)d，,a1＋3d＝1，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝7,d＝－2)).∴a5＝1＋(－2)＝－1.練習(xí)：設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項(xiàng)和．假設(shè)S10＝S11，那么a1＝()A．18B．20C．22D．24【例3】三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為15，其平方和為83，求此三個數(shù)．解設(shè)三個數(shù)分別為x－d，x，x＋d．解得x＝5，d＝±2?！嗨笕齻€數(shù)為3、5、7或7、5、3注設(shè)元技巧:三數(shù):四數(shù)【例4】等差數(shù)列{}中=13且=,那么n取何值時(shí),取最大值．解解法1：設(shè)公差為d，由=得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2。解得d=-2,所以=15-2n。由即得：6.5≤n≤7.5,所以n=7時(shí),取最大值.解法2:由解1得d=-2,又a1=13，所以=-n+14n=-(n-7)+49∴當(dāng)n=7，取最大值．【練習(xí)】在等差數(shù)列{an}中，前3項(xiàng)和為12，前3項(xiàng)積為48，且d＞0,求a1.解a1=2.【練習(xí)】在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．例1判斷以下數(shù)列是否是等差數(shù)列：〔1〕an=3n＋5;〔2〕an+1=an-3.解：練習(xí)：數(shù)列{a}滿足：a=2,a=a+3,求通項(xiàng)a．四、小結(jié)：定義a-a=d(通項(xiàng)公式a=a+(n-1)d等差中項(xiàng)A=求和公式五、同步練習(xí)：第課時(shí)教學(xué)內(nèi)容：等差數(shù)列〔2〕教學(xué)目的：深化知識，強(qiáng)化等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)過程：〔一〕簡單性質(zhì):〔1〕假設(shè)n+m=2p，那么an+am=2ap．推廣：組成公差為的等差數(shù)列．〔下標(biāo)等差，那么項(xiàng)也等差〕〔2〕〔二〕知識應(yīng)用例1在等差數(shù)列{a}中，解決以下問題：〔1〕a+a=20，求a．〔2〕：等差數(shù)列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；解〔2〕∵a4＋a6＋a15＋a17=50，又因它們的下標(biāo)有4＋17＝6＋15=21∴a4＋a17=a6＋a15=25，〔3〕++++＝450,求+及前9項(xiàng)和．解〔3〕由等差中項(xiàng)公式：+＝2，+＝2，由條件++++＝450,得：5＝450,∴＋＝2＝180，＝810〔4〕等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為30,前2n項(xiàng)和為100,那么它的前3n項(xiàng)和為C．〔A〕130〔B〕170〔C〕210〔D〕260〔5〕{a}是等差數(shù)列，公差為-2，且a+a+...+a=100，那么a+a+...+a=．例2等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù)，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20項(xiàng)的和S20的值．解法一設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，那么d＞0，由可得由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4，再由d＞0，得d＝2∴a1=－10，最后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可求得S20＝180解法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4，又a3·a7=－12，由韋達(dá)定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2∵d＞0∴{an}是遞增數(shù)列，∴a3＝－6，a7=2例3在項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75，各偶數(shù)項(xiàng)之和為90，末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為27，那么n之值是多少？解∵S偶項(xiàng)－S奇項(xiàng)=nd∴nd=90－75=15，又由a2n－a1＝27，即(2n－1)d=27例4假設(shè)一個等差數(shù)列前3項(xiàng)和為34,后3項(xiàng)和為146,且所有項(xiàng)的和為390,求這個數(shù)列項(xiàng)數(shù).解:,例5項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，求這個數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)．解：設(shè)數(shù)列共2m+1〔m∈N*〕把該數(shù)列記為｛an｝.依題意：(a2+a2m)=33〔1〕(a1+a2m+1)=44〔2〕由〔1〕〔2〕得∴m=3。代入〔1〕得a2+a2m=22，∴am+1==11．即該數(shù)列有7項(xiàng)，中間項(xiàng)為11．〔三〕同步練習(xí)：第課時(shí)教學(xué)內(nèi)容：等比數(shù)列教學(xué)目的：穩(wěn)固等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列．教學(xué)難點(diǎn)：計(jì)算方法教學(xué)過程：〔一〕主要知識：1．定義與定義式：從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)的數(shù)列稱作等比數(shù)列.注：常用定義判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列．觀察并判斷以下數(shù)列是否是等比數(shù)列:(1)1，3，9，27，81，…是,公比q=3(2)5，5，5，5，5，5，…是,公比q=1(3)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=-1(4)1，0，1，0，1，…不是等比數(shù)列2．通項(xiàng)公式：．練習(xí)：在等比數(shù)列{an}中，a1=1，an+1－2an=0，那么an=2n-1.3．前n項(xiàng)和：注:應(yīng)用前n項(xiàng)和公式時(shí),一定要區(qū)分的兩種不同情況,必要的時(shí)候要分類討論．4．等比中項(xiàng)：如果在與之間插入一個數(shù)，使，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即〔〕．〔二〕主要方法：1．等比數(shù)列的判定方法：①定義法：對于數(shù)列，假設(shè)，那么數(shù)列是等比數(shù)列.②等比中項(xiàng)：對于數(shù)列，假設(shè)，那么數(shù)列是等比數(shù)列．2．三個數(shù)成等比可設(shè)它們?yōu)椋篴，aq，aq2或a/q，a，aq；四個數(shù)成等比可設(shè)它們?yōu)椋篴/q3，a/q，aq，aq3；〔三〕知識點(diǎn)訓(xùn)練練習(xí)1：根據(jù)下面等比數(shù)列{an}中a1=8,q=1/2,求a8、S5.解：a8=a1q8-1=8×(1/2)7=1/16練習(xí)2：等比數(shù)列：1，2，4，….求數(shù)列的第5項(xiàng)及前5項(xiàng)的和.解2由：a1=1,q=2，所以a5=a1q4=1×24=16練習(xí)3：-1，a，-9成等比數(shù)列，那么a=.〔四〕例題講解：例1.在等比數(shù)列{an}中:(1)a4=27,q=-3,求a7,S7；(2)a2=18,a4=8,求a1,q,a5。解析由:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3＝27，,q＝-3，))解得：a1＝-1a7＝(-1)·(-3)6=-729，=-547解析由:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝18,,a1q3＝8,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝27，,q＝2/3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝-27，,q＝-2/3.))當(dāng)a1＝27,q＝2/3時(shí),a5＝27·(2/3)4=16/3,當(dāng)a1＝-27,q＝-2/3時(shí),a5＝-16/3.方法點(diǎn)睛等比數(shù)列根本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類根本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二〞，通過列方程(組)可迎刃而解．[例2]設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.解析：由題意得:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝6，,6a1＋a1q2＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝3.))當(dāng)a1＝3，q＝2時(shí)，an＝3·2n－1，Sn＝3·(2n－1)；當(dāng)a1＝2，q＝3時(shí)，an＝2·3n－1，Sn＝3n－1.[例2]解決以下問題：〔1〕等比數(shù)列中=5,且2=3，求通項(xiàng)公式；解：〔2〕求等比數(shù)列1，2，4，…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和.解：由，從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為-=1008練習(xí)：1.{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝1/4，那么公比q＝(D)A.－B.－2C.2D.1/22．假設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，那么公比q＝________；前n項(xiàng)和Sn＝________.答案：22n＋1－23.在等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)S3=7，S6=63，那么公比q=〔 A〕A.2 B.-2 C.3 D.-34．在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項(xiàng)之和S3＝21，那么公比q= (C)A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或eq\f(1,2)5．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于()A．－24 B．0C．12 D．24【例3】等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公差d＞0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式.解由有:b2=a2,b3=a5,b4=a14又：a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得d=2(∵d＞0).∴an=1+(n-1)·2=2n-1.又b2=a2=3,b3=a5=9,∴數(shù)列{bn}的公比為3,由b2/b1=3，得b1=1∴bn=1·3n-1=3n-1.練習(xí)：等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列.假設(shè)a1＝1，那么S4＝(C)A.7B.8C.15D.16〔五〕作業(yè)：在等比數(shù)列中，解決以下問題：〔1〕a=8,a=2，求a．〔2〕S=,S=+，求a．〔3〕在等比數(shù)列{a}中，S=，公比q=,求a．〔4〕a5－a1＝15，a4－a2＝6，那么a3＝.〔5〕在等比數(shù)列{an}中，a3＝1，S3＝4，求a1、q〔6〕a=a+5，a+a=4,求a．第課時(shí)教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列綜合運(yùn)用教學(xué)目的：系統(tǒng)掌握等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，提高綜合運(yùn)用知識的能力．教學(xué)重點(diǎn)：等差等比數(shù)列的綜合運(yùn)算．教學(xué)過程：一、等差、等比數(shù)列的綜合問題：例1假設(shè)a、b、c成等差數(shù)列，且a＋1、b、c與a、b、c＋2都成等比數(shù)列，求b的值．解設(shè)a、b、c分別為b－d、b、b＋d，由b－d＋1、b、b＋d與b－d、b、b＋d＋2都成等比數(shù)列，有：整理，得:∴b＋d=2b－2d即b=3d，代入①，得9d2=(2d＋1)·4d，解之，得d=4或d=0(舍)，∴b=12例2三個數(shù)成等比數(shù)列，假設(shè)第二個數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個等差數(shù)列的第3項(xiàng)加32又成等比數(shù)列，求這三個數(shù)．解法一按等比數(shù)列設(shè)三個數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a，aq，aq2由：a，aq＋4，aq2成等差數(shù)列即：2(aq＋4)=a＋aq2〔1〕a，aq＋4，aq2＋32成等比數(shù)列即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)，即〔2〕解法二按等差數(shù)列設(shè)三個數(shù)，設(shè)原數(shù)列為b－d，b－4，b＋d由：三個數(shù)成等比數(shù)列即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)〔1〕b－d，b，b＋d＋32成等比數(shù)列即b2=(b－d)(b＋d＋32)〔2〕解法三任意設(shè)三個未知數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a1，a2，a3由：a1，a2，a3成等比數(shù)列a1，a2＋4，a3成等差數(shù)列得：2(a2＋4)=a1＋a3 ②a1，a2＋4，a3＋32成等比數(shù)列，得：(a2＋4)2=a1(a3＋32) ③說明恰當(dāng)題設(shè)簡化計(jì)算過程的作用．例3一個等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列；如果再把這個等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列．解：設(shè)所求的等比數(shù)列為a,aq,aq2,那么2(aq+4)=a+aq2且(aq+4)2=a(aq2+32)解得a=2，q=3或a=，q=-5，故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，-，．例4a<b<c，a+b+c=3且a,b,c成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列，求a,b,c．解：例5公差不為零的等差數(shù)列的第二、三、六項(xiàng)成等比數(shù)列,求公比q．解:設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)an=a1+(n-1)d(d≠0).根據(jù)題意得a32=a2a6即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得.所以例6有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是，第二個數(shù)與第三個書的和是，求這四個數(shù)．解：設(shè)這四個數(shù)為：，那么解得：或，所以所求的四個數(shù)為：；或．二、應(yīng)用型問題：例1某學(xué)生的父母欲為其買一臺電腦售價(jià)為1萬元，除一次性付款方式外，商家還提供在1年內(nèi)將款全部還清的前提下三種分期付款方案(月利率為1%)：⑴購置后2個月第1次付款,再過2個月第2次付款…購置后12個月第6次付款；⑵購置后1個月第1次付款,過1個月第2次付款…購置后12個月第12次付款；⑶購置后4個月第1次付款,再過4個月第2次付款,再過4個月第3次付款你能幫他們參謀選擇一下嗎？〞分析每月利息按復(fù)利計(jì)算,即上月利息要計(jì)入下月本金.例如,由于月利率為1%,款額a元過一個月就增值為a(1+1%)=1.01a(元);再過一個月又增值為1.01a(1+1%)=1.01a(元)可將問題進(jìn)一步分解為：〔1〕商品售價(jià)增值到多少？〔2〕各期所付款額的增值狀況如何？〔3〕當(dāng)貸款全部付清時(shí)，電腦售價(jià)與各期付款額有什么關(guān)系？解方案一：10000×(1+1%)12=x+(1+1%)2x+(1+1%)4x+(1+1%)6x+(1+1%)8x+(1+1%)10x，解得＝1785.86，三種方案列表如下：方案次數(shù)付款方法每期所付款表達(dá)式每期付款付款總額16每2月付1次付6次x=1785.8610721.16212每一個月付1次，付12次x=888.4910661.8533每4個月付1次，付3次x=3607.6210822.85例2用分期付款方式購置家用電器一件，價(jià)格為1150元，購置當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%，假設(shè)交付150元后的第一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第十個月該交付多少錢？全部貨款付清后，買這件家電實(shí)際花了多少錢？解：購置時(shí)付了150元，欠款1000元，每月付50元，分20次付完.設(shè)每月付款順次組成數(shù)列{an}，那么a1=50+1000×0.01=60(元).a2=50+(1000－50)×0.01=(60－0.5)(元).a3=50+(1000－50×2)×0.01=(60－0.5×2)(元).依此類推得a10=60－0.5×9=55.5(元),an=60－0.5(n－1)(1≤n≤20).∴付款數(shù){an}組成等差數(shù)列，公差d=－0.5,全部貨款付清后付款總數(shù)為S20+150=(a1+a20)+150=(2a1+19d)×