立體幾何中的推理證明問題(原卷版)

專題07立體幾何中的推理證明問題——立體幾何是高考考查邏輯推理的重要知識點數(shù)學(xué)抽象要求能夠掌握常用邏輯推理方法的規(guī)則，理解其中所蘊含的思想.對于新的數(shù)學(xué)問題，能夠提出不同的假設(shè)前提，推斷結(jié)論，形成數(shù)學(xué)命題.對于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，通過構(gòu)建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題，并會用嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言表達論證過程.能夠理解建構(gòu)數(shù)學(xué)體系的公理化思想.立體幾何是高中數(shù)學(xué)考查邏輯推理的重要載體,高考通常通過立體幾何中的線面位置關(guān)系的證明來考查邏輯推理.1．【2019全國Ⅰ理18】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．2.【2019全國II文17】如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．一、空間中的平行問題(1)證明線線平行，可以運用平行公理、中位線定理，也可以證明包含這兩邊的四邊形是平行四邊形，或者運用線面平行的性質(zhì)定理來證明；將展開圖還原成正方體，借助正方體模型，有利于我們看清問題．(2)要證明直線和平面平行，通常有兩種方法：(1)利用線面平行的判定定理，只要在平面內(nèi)找到一條直線與已知平面外直線平行即可；(2)由面面平行的性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任何一條直線和另外一個平面平行．第(1)種方法是常用方法，一般需要連接特殊點、畫輔助線，再證明線線平行，從而得到線面平行．第(2)種方法常用于非特殊位置的情形．(3)判定面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行)．(4)面面平行的性質(zhì)定理：①兩平面平行，則一個平面內(nèi)的直線平行于另一平面；②若一平面與兩平行平面相交，則交線平行．(5)利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時需要說明是一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行．【典例1】【2020屆河南省八市重點高中聯(lián)盟高三9月“領(lǐng)軍考試”】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形,平面，，為的中點.（1）求證，平面；（2）若，求三棱錐的體積.【典例2】【江蘇省揚州中學(xué)2019屆高三4月考試】已知三棱錐中，，.若平面分別與棱相交于點且平面.求證:（1）；【典例3】【2020屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】如圖甲，在直角梯形中，，，，過點作，垂足為，現(xiàn)將沿折疊，使得.取的中點，連接、、，如圖乙.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【典例4】【2020屆安徽省江淮十校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，.（1）證明：平面平面；（2）若點為中點，求二面角的正弦值.1.【2020屆福建省廈門雙十中學(xué)高三第一次月考】如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．（1）證明PA//平面BDE；（2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；（2）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論．2.【2020屆年廣東省珠海市高三9月數(shù)學(xué)理】如圖，在直角梯形中，,點是中點，且,現(xiàn)將三角形沿折起，使點到達點的位置，且與平面所成的角為.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.3．【甘肅省張掖市2019屆高三第三次診斷】如圖，在三棱錐中，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.4.【河北省衡水市第十三中學(xué)2019屆高三質(zhì)檢】已知在圖1所示的梯形中，，于點，且.將梯形沿對折，使平面平面，如圖2所示，連接，取的中點.（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，試確定點的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)，求三棱錐的體積.5．【江西省南昌市2018屆上學(xué)期高三摸底】如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．設(shè)M，N分別為PD，AD的中點．（1）求證：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABM的體積．6.【湖南省衡陽市第八中學(xué)2020屆高三上學(xué)期月考】如圖，在五面體中，側(cè)面是正方形，是等腰直角三角形，點是正方形對角線的交點，且.（1）證明：平面；（2）若側(cè)面與底面垂直，求五面體的體積.7．【河北省邢臺市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次摸底】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，為的中點，為等腰直角