高中數學必修一高中數學必修公開課教案-方程的根與函數的零點-第課時-公開課教案課件課時訓練練習教案課

第2課時方程的根與函數的零點復習提出問題①已知函數f(x)=mx2+mx+1沒有零點，求實數m的范圍.②證明函數f(x)=x2+6x+10沒有零點.③已知函數f(x)=2mx2-x+m有一個零點，求實數m的范圍.④已知函數f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1有兩個零點，求實數m的范圍.活動：先讓學生動手做題后再回答，經教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.討論結果：①因為Δ=m2-4m<0或m=0,∴0≤m<4.②因為Δ=36-40=-4<0,∴沒有零點.③Δ=1-4m2=0或m=0,∴m=或m=或m=0.④Δ=16m2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0且2(m+1)≠0,∴m<1且m≠-1.導入新課思路1.(情景導入)歌中唱到：再“穿過”一條煩惱的河流明天就會到達，同學們知道生活中“穿過”的含義.請同學們思考用數學語言是怎樣描述函數圖象“穿過”x軸的？學生思考或討論回答：利用函數值的符號，即f(a)f(b)<0.思路2.(直接導入)教師直接點出課題：這一節(jié)我們將進一步鞏固有關方程的根與函數的零點的知識，總結求方程的根與函數的零點的方法，探尋其中的規(guī)律.推進新課新知探究提出問題①如果函數相應的方程不易求根，其圖象也不易畫出,怎樣討論其零點?②用數學語言總結判斷零點存在性定理,并找出好的理解記憶方法.活動：先讓學生動手做題后再回答，經教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.討論結果：①在閉區(qū)間［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)連續(xù)，則(a,b)內有零點.②如果函數y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)f(b)<0，那么函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.我們把它叫做零點存在性定理.因為閉區(qū)間端點符號相反的連續(xù)函數在開區(qū)間內有零點,可以簡記為：“閉端反連(臉)，開內零點.”應用示例思路1例1求函數f(x)=lnx+2x-6的零點的個數.活動：根據零點概念，學生先思考或討論后再回答，教師點撥、提示:因為方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函數f(x)=lnx+2x-6的圖象不易畫出，如果不借助計算機，怎么判斷零點個數？可以利用f(a)f(b)<0，及函數單調性.解：利用計算機作出x，f(x)的對應值表：x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945012.079414.1972由表和圖3-1-1-15可知，f(2)<0,f(3)>0,則f(2)f(3)<0，這說明f(x)在區(qū)間(2,3)內有零點.由于函數在定義域(0,+∞)內是增函數，所以它僅有一個零點.圖3-1-1-15圖3-1-1-16變式訓練證明函數f(x)=lgx+x-8有且僅有一個零點.證明:如圖3-1-1-16,因為f(1)=-7,f(10)=3,∴f(1)f(10)<0.∴函數f(x)=lgx+x-8有一個零點.∵y=lgx為增函數，y=x-8是增函數，∴函數f(x)=lgx+x-8是增函數.∴函數f(x)=lgx+x-8有且僅有一個零點.點評：判斷零點的個數:(1)利用零點存在性定理判斷存在性;(2)利用單調性證明唯一性.例2已知函數f(x)=3x+,(1)判斷函數零點的個數.(2)找出零點所在區(qū)間.解：(1)設g(x)=3x,h(x)=,作出它們的圖象(圖3-1-1-17)，兩函數圖象交點的個數即為f(x)零點的個數.所以兩函數圖象有且僅有一個交點，即函數f(x)=3x+有且僅有一個零點.圖3-1-1-17(2)因為f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零點x∈(0,1).變式訓練證明函數f(x)=2x+4x-4有且僅有一個零點.證明:利用計算機作出x，f(x)的對應值表：x-101234567f(x)-7.5-32816284884172圖3-1-1-18由表和圖3-1-1-18可知，f(0)<0,f(1)>0,則f(0)f(1)<0，這說明f(x)在區(qū)間內有零點.下面證明函數在定義域(-∞,+∞)內是增函數.設x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2，f(x1)-f(x2)=2+4x1-4-(2+4x2-4)=2-2+4(x1-x2)=2(2-x2-1)+4(x1-x2).∵x1<x2，∴x1-x2<0,2-x2-1<0,2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴函數在定義域(-∞,+∞)內是增函數.則函數f(x)=2x+4x-4有且僅有一個零點.思路2例1證明函數y=2|x|-2恰有兩個零點.圖3-1-1-19證明:如圖3-1-1-19,∵f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2,∴f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.∴函數y=2|x|-2有兩個零點.要證恰有兩個零點,需證函數y=2|x|-2在(0，+∞)上為單調的，函數y=2|x|-2在(-∞，0)上為單調的.∵在(0，+∞)上，函數y=2|x|-2可化為y=2x-1,下面證明f(x)=2x-1在(0，+∞)上為增函數.證明：設x1,x2為(0，+∞)上任意兩實數，且0<x1<x2,∵f(x1)-f(x2)=2-2-(2-2)=2-2=2(2-x2-1),∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,2-x2<1.∴2>0,2-x2-1<0.∴2(2-x2-1)<0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2).∴函數y=2|x|-2在(0，+∞)上為增函數.同理可證函數y=2|x|-2在(-∞，0)上為減函數.∴函數y=2|x|-2恰有兩個零點.變式訓練證明函數f(x)=x+-3在(0，+∞)上恰有兩個零點.證明:∵f()=,f(1)=-1,f(3)=,∴f()f(1)<0,f(1)f(3)<0.∴函數f(x)=x+-3在(0，+∞)上有兩個零點.要證恰有兩個零點,需證函數f(x)=x+-3在(0，1)上為單調的，函數f(x)=x+-3在(1，+∞)上為單調的.證明：設x1,x2為(0，1)上的任意兩實數，且x1<x2.∵f(x1)-f(x2)=x1+-3-(x2+-3)=(x1-x2)+()=(x1-x2)+=(x1-x2)(),∵0<x1<x2<1，∴x1-x2<0,<0.∴(x1-x2)()>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴函數f(x)=x+-3在(0，1)上為減函數.同理函數f(x)=x+-3在(1，+∞)上為增函數.∴函數f(x)=x+-3在(0，+∞)上恰有兩個零點(如圖3-1-1-20).圖3-1-1-20點評：證明函數零點的個數是一個難點和重點，對于基本初等函數可以借助函數圖象和方程來討論.對于較復雜的函數證明函數恰有n個零點，先找出有n個，再利用單調性證明僅有n個.例2已知函數f(x)=ax3+bx2+cx+d有三個零點，分別是0、1、2,如圖3-1-1-21，求證:b<0.圖3-1-1-21活動：根據零點概念，學生先思考或討論后再回答，教師點撥、提示:方法一：把零點代入，用a、c表示b.方法二：用參數a表示函數.證法一：因為f(0)=f(1)=f(2)=0,所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.所以a=,c=b.所以f(x)=x(x2-3x+2)=x(x-1)(x-2).當x<0時，f(x)<0，所以b<0.證法二：因為f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).當x>2時,f(x)>0,所以a>0.比較同次項系數，得b=-3a.所以b<0.變式訓練函數y=ax2-2bx的一個零點為1，求函數y=bx2-ax的零點.答案:函數y=bx2-ax的零點為0、2.點評：如果題目給出函數的零點，這涉及到零點的應用問題.(1)可以考慮把零點代入用待定系數法解決問題.(2)利用零點的特殊性把解析式的設法簡單化.知能訓練1.函數f(x)=lgx-2x2+3的零點一定位于下列哪個區(qū)間?()A.(4,5)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.若函數f(x)=2mx+4在［-2,1］上存在零點，則實數m的取值范圍是()A.［4］B.(-∞,-2］∪［1,+∞)C.［-1,2］D.(-2,1)3.已知函數f(x)=－3x5－6x＋1,有如下對應值表：x-2-1.5012f(x)10944.171-8-107函數y＝f(x)在哪幾個區(qū)間內必有零點？為什么？答案:1.B2.B3.(0，1),因為f(0)·f(1)<0.點評：結合函數圖象性質判斷函數零點所在區(qū)間是本節(jié)重點，應切實掌握.拓展提升方程lnx+2x+3=0根的個數及所在的區(qū)間，能否進一步縮小根所在范圍？分析：利用函數圖象(圖3-1-1-22)進行探索分析.圖3-1-1-22解：(1)觀察函數的圖象計算f(1)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零點.(2)通過證明函數的單調性,知f(x)=lnx+2x+3有一個零點x∈(1,2).請同學們自己探究能否進一步縮小根所在范圍？借助計算機可以驗證同學們判斷，激發(fā)學生學習興趣.課堂小結(1)學會由函數解析式討論零點個數，證明零點個數.(2)思想方法：函數方程思想、數形結合思想、分類討論思想.作業(yè)課本P88練習2.設計感想如何用數學語言描述“穿過”是本節(jié)的關鍵，本節(jié)從導入開始讓學生體會數學語言與文字語言的區(qū)別,并進一步讓學生學會應用數學語言描述零點存在性定理.本節(jié)多次用計算機作圖來感知函數零點，在零點證明題中又經常用到函數的單調性進行嚴格證明，所以本節(jié)是數與形的完美統一.下課啦，咱們來聽個小故事吧:活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們人類就無法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個同學太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應該把水龍頭關上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關就主動關上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現水龍頭沒關會怎樣做呢？

齊：主動關好。

小記者：同學們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談談好嗎？

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費一滴水。

小記者：請這位同學談談好嗎？

答：今天參加班會我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務先走了，同學們再見！

水跑上來說：同學們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護我們人類自己。

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因為我太高興了，今后還請你們多關照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結束。

6.活動效果：

此次活動使學生明白了節(jié)約用水的道理，浪費水的現象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭做節(jié)水小標兵

活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們人類就無法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜