高中數(shù)學(xué)必修一高中數(shù)學(xué)必修公開課教案-方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)-第課時(shí)-公開課教案課件課時(shí)訓(xùn)練練習(xí)教案課

第2課時(shí)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)復(fù)習(xí)提出問題①已知函數(shù)f(x)=mx2+mx+1沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的范圍.②證明函數(shù)f(x)=x2+6x+10沒有零點(diǎn).③已知函數(shù)f(x)=2mx2-x+m有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的范圍.④已知函數(shù)f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的范圍.活動(dòng)：先讓學(xué)生動(dòng)手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.討論結(jié)果：①因?yàn)棣?m2-4m<0或m=0,∴0≤m<4.②因?yàn)棣?36-40=-4<0,∴沒有零點(diǎn).③Δ=1-4m2=0或m=0,∴m=或m=或m=0.④Δ=16m2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0且2(m+1)≠0,∴m<1且m≠-1.導(dǎo)入新課思路1.(情景導(dǎo)入)歌中唱到：再“穿過”一條煩惱的河流明天就會(huì)到達(dá)，同學(xué)們知道生活中“穿過”的含義.請(qǐng)同學(xué)們思考用數(shù)學(xué)語(yǔ)言是怎樣描述函數(shù)圖象“穿過”x軸的？學(xué)生思考或討論回答：利用函數(shù)值的符號(hào)，即f(a)f(b)<0.思路2.(直接導(dǎo)入)教師直接點(diǎn)出課題：這一節(jié)我們將進(jìn)一步鞏固有關(guān)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的知識(shí)，總結(jié)求方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的方法，探尋其中的規(guī)律.推進(jìn)新課新知探究提出問題①如果函數(shù)相應(yīng)的方程不易求根，其圖象也不易畫出,怎樣討論其零點(diǎn)?②用數(shù)學(xué)語(yǔ)言總結(jié)判斷零點(diǎn)存在性定理,并找出好的理解記憶方法.活動(dòng)：先讓學(xué)生動(dòng)手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.討論結(jié)果：①在閉區(qū)間［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)連續(xù)，則(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.我們把它叫做零點(diǎn)存在性定理.因?yàn)殚]區(qū)間端點(diǎn)符號(hào)相反的連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),可以簡(jiǎn)記為：“閉端反連(臉)，開內(nèi)零點(diǎn).”應(yīng)用示例思路1例1求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).活動(dòng)：根據(jù)零點(diǎn)概念，學(xué)生先思考或討論后再回答，教師點(diǎn)撥、提示:因?yàn)榉匠蘬nx+2x-6=0的根不易求得，函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的圖象不易畫出，如果不借助計(jì)算機(jī)，怎么判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)？可以利用f(a)f(b)<0，及函數(shù)單調(diào)性.解：利用計(jì)算機(jī)作出x，f(x)的對(duì)應(yīng)值表：x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945012.079414.1972由表和圖3-1-1-15可知，f(2)<0,f(3)>0,則f(2)f(3)<0，這說(shuō)明f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn).由于函數(shù)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn).圖3-1-1-15圖3-1-1-16變式訓(xùn)練證明函數(shù)f(x)=lgx+x-8有且僅有一個(gè)零點(diǎn).證明:如圖3-1-1-16,因?yàn)閒(1)=-7,f(10)=3,∴f(1)f(10)<0.∴函數(shù)f(x)=lgx+x-8有一個(gè)零點(diǎn).∵y=lgx為增函數(shù)，y=x-8是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)=lgx+x-8是增函數(shù).∴函數(shù)f(x)=lgx+x-8有且僅有一個(gè)零點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù):(1)利用零點(diǎn)存在性定理判斷存在性;(2)利用單調(diào)性證明唯一性.例2已知函數(shù)f(x)=3x+,(1)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)找出零點(diǎn)所在區(qū)間.解：(1)設(shè)g(x)=3x,h(x)=,作出它們的圖象(圖3-1-1-17)，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).所以兩函數(shù)圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)=3x+有且僅有一個(gè)零點(diǎn).圖3-1-1-17(2)因?yàn)閒(0)=-1,f(1)=2.5,所以零點(diǎn)x∈(0,1).變式訓(xùn)練證明函數(shù)f(x)=2x+4x-4有且僅有一個(gè)零點(diǎn).證明:利用計(jì)算機(jī)作出x，f(x)的對(duì)應(yīng)值表：x-101234567f(x)-7.5-32816284884172圖3-1-1-18由表和圖3-1-1-18可知，f(0)<0,f(1)>0,則f(0)f(1)<0，這說(shuō)明f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).下面證明函數(shù)在定義域(-∞,+∞)內(nèi)是增函數(shù).設(shè)x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2，f(x1)-f(x2)=2+4x1-4-(2+4x2-4)=2-2+4(x1-x2)=2(2-x2-1)+4(x1-x2).∵x1<x2，∴x1-x2<0,2-x2-1<0,2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴函數(shù)在定義域(-∞,+∞)內(nèi)是增函數(shù).則函數(shù)f(x)=2x+4x-4有且僅有一個(gè)零點(diǎn).思路2例1證明函數(shù)y=2|x|-2恰有兩個(gè)零點(diǎn).圖3-1-1-19證明:如圖3-1-1-19,∵f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2,∴f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.∴函數(shù)y=2|x|-2有兩個(gè)零點(diǎn).要證恰有兩個(gè)零點(diǎn),需證函數(shù)y=2|x|-2在(0，+∞)上為單調(diào)的，函數(shù)y=2|x|-2在(-∞，0)上為單調(diào)的.∵在(0，+∞)上，函數(shù)y=2|x|-2可化為y=2x-1,下面證明f(x)=2x-1在(0，+∞)上為增函數(shù).證明：設(shè)x1,x2為(0，+∞)上任意兩實(shí)數(shù)，且0<x1<x2,∵f(x1)-f(x2)=2-2-(2-2)=2-2=2(2-x2-1),∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,2-x2<1.∴2>0,2-x2-1<0.∴2(2-x2-1)<0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2).∴函數(shù)y=2|x|-2在(0，+∞)上為增函數(shù).同理可證函數(shù)y=2|x|-2在(-∞，0)上為減函數(shù).∴函數(shù)y=2|x|-2恰有兩個(gè)零點(diǎn).變式訓(xùn)練證明函數(shù)f(x)=x+-3在(0，+∞)上恰有兩個(gè)零點(diǎn).證明:∵f()=,f(1)=-1,f(3)=,∴f()f(1)<0,f(1)f(3)<0.∴函數(shù)f(x)=x+-3在(0，+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn).要證恰有兩個(gè)零點(diǎn),需證函數(shù)f(x)=x+-3在(0，1)上為單調(diào)的，函數(shù)f(x)=x+-3在(1，+∞)上為單調(diào)的.證明：設(shè)x1,x2為(0，1)上的任意兩實(shí)數(shù)，且x1<x2.∵f(x1)-f(x2)=x1+-3-(x2+-3)=(x1-x2)+()=(x1-x2)+=(x1-x2)(),∵0<x1<x2<1，∴x1-x2<0,<0.∴(x1-x2)()>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴函數(shù)f(x)=x+-3在(0，1)上為減函數(shù).同理函數(shù)f(x)=x+-3在(1，+∞)上為增函數(shù).∴函數(shù)f(x)=x+-3在(0，+∞)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)(如圖3-1-1-20).圖3-1-1-20點(diǎn)評(píng)：證明函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一個(gè)難點(diǎn)和重點(diǎn)，對(duì)于基本初等函數(shù)可以借助函數(shù)圖象和方程來(lái)討論.對(duì)于較復(fù)雜的函數(shù)證明函數(shù)恰有n個(gè)零點(diǎn)，先找出有n個(gè)，再利用單調(diào)性證明僅有n個(gè).例2已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d有三個(gè)零點(diǎn)，分別是0、1、2,如圖3-1-1-21，求證:b<0.圖3-1-1-21活動(dòng)：根據(jù)零點(diǎn)概念，學(xué)生先思考或討論后再回答，教師點(diǎn)撥、提示:方法一：把零點(diǎn)代入，用a、c表示b.方法二：用參數(shù)a表示函數(shù).證法一：因?yàn)閒(0)=f(1)=f(2)=0,所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.所以a=,c=b.所以f(x)=x(x2-3x+2)=x(x-1)(x-2).當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，所以b<0.證法二：因?yàn)閒(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).當(dāng)x>2時(shí),f(x)>0,所以a>0.比較同次項(xiàng)系數(shù)，得b=-3a.所以b<0.變式訓(xùn)練函數(shù)y=ax2-2bx的一個(gè)零點(diǎn)為1，求函數(shù)y=bx2-ax的零點(diǎn).答案:函數(shù)y=bx2-ax的零點(diǎn)為0、2.點(diǎn)評(píng)：如果題目給出函數(shù)的零點(diǎn)，這涉及到零點(diǎn)的應(yīng)用問題.(1)可以考慮把零點(diǎn)代入用待定系數(shù)法解決問題.(2)利用零點(diǎn)的特殊性把解析式的設(shè)法簡(jiǎn)單化.知能訓(xùn)練1.函數(shù)f(x)=lgx-2x2+3的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間?()A.(4,5)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.若函數(shù)f(x)=2mx+4在［-2,1］上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.［4］B.(-∞,-2］∪［1,+∞)C.［-1,2］D.(-2,1)3.已知函數(shù)f(x)=－3x5－6x＋1,有如下對(duì)應(yīng)值表：x-2-1.5012f(x)10944.171-8-107函數(shù)y＝f(x)在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)？為什么？答案:1.B2.B3.(0，1),因?yàn)閒(0)·f(1)<0.點(diǎn)評(píng)：結(jié)合函數(shù)圖象性質(zhì)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間是本節(jié)重點(diǎn)，應(yīng)切實(shí)掌握.拓展提升方程lnx+2x+3=0根的個(gè)數(shù)及所在的區(qū)間，能否進(jìn)一步縮小根所在范圍？分析：利用函數(shù)圖象(圖3-1-1-22)進(jìn)行探索分析.圖3-1-1-22解：(1)觀察函數(shù)的圖象計(jì)算f(1)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零點(diǎn).(2)通過證明函數(shù)的單調(diào)性,知f(x)=lnx+2x+3有一個(gè)零點(diǎn)x∈(1,2).請(qǐng)同學(xué)們自己探究能否進(jìn)一步縮小根所在范圍？借助計(jì)算機(jī)可以驗(yàn)證同學(xué)們判斷，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.課堂小結(jié)(1)學(xué)會(huì)由函數(shù)解析式討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)，證明零點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)思想方法：函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.作業(yè)課本P88練習(xí)2.設(shè)計(jì)感想如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述“穿過”是本節(jié)的關(guān)鍵，本節(jié)從導(dǎo)入開始讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言的區(qū)別,并進(jìn)一步讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述零點(diǎn)存在性定理.本節(jié)多次用計(jì)算機(jī)作圖來(lái)感知函數(shù)零點(diǎn)，在零點(diǎn)證明題中又經(jīng)常用到函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行嚴(yán)格證明，所以本節(jié)是數(shù)與形的完美統(tǒng)一.下課啦，咱們來(lái)聽個(gè)小故事吧:活動(dòng)目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是極為珍貴的，每個(gè)人都要保護(hù)它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬(wàn)代。

活動(dòng)過程：

1.主持人上場(chǎng)，神秘地說(shuō)：“我讓大家猜個(gè)謎語(yǔ)，你們?cè)敢鈫?？”大家回答：“愿意！?/p>

主持人口述謎語(yǔ)：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請(qǐng)它來(lái)。”

主持人問：“誰(shuí)知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場(chǎng)說(shuō)：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說(shuō)，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬(wàn)物之源主題班會(huì)現(xiàn)在開始。

水說(shuō)：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o(wú)法生存。

小熊說(shuō)：我們動(dòng)物可喜歡你了，沒有水我們會(huì)死掉的。

花說(shuō)：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們?cè)缇涂菟懒耍筒荒転槊阑h(huán)境做貢獻(xiàn)了。

主持人：下面請(qǐng)聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來(lái)說(shuō)話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對(duì)蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學(xué)們，聽完了這個(gè)快板，你們說(shuō)水的用處大不大？

甲說(shuō)：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說(shuō)：看了表演后，我知道水對(duì)莊稼、植物是非常重要的。

丙說(shuō)：我還知道水對(duì)美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們?cè)撛鯓幼瞿兀?/p>

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護(hù)水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對(duì)，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學(xué)校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學(xué)們看得可認(rèn)真了，知道了我們北京是個(gè)缺水城市，我們?cè)俨荒芾速M(fèi)水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰(shuí)想出題考考大家，答對(duì)了請(qǐng)給點(diǎn)掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時(shí)把水龍頭開小點(diǎn)，請(qǐng)回答對(duì)不對(duì)。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說(shuō)：主持人請(qǐng)把手機(jī)借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個(gè)電話，告訴她做飯時(shí)別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）

（4）一生說(shuō)：主持人我們想給大家表演一個(gè)小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請(qǐng)看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學(xué)校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學(xué)生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說(shuō)：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰(shuí)家的呢？”

主持人：看完這個(gè)小品，你們有什么想法嗎？誰(shuí)愿意給大家說(shuō)說(shuō)？

甲：剛才三個(gè)同學(xué)太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應(yīng)該把水龍頭關(guān)上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關(guān)就主動(dòng)關(guān)上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關(guān)會(huì)怎樣做呢？

齊：主動(dòng)關(guān)好。

小記者：同學(xué)們，你們好！我想打擾一下，聽說(shuō)你們正在開班會(huì)，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學(xué)，你好！通過參加今天的班會(huì)你有什么想法，請(qǐng)談?wù)労脝幔?/p>

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費(fèi)一滴水。

小記者：請(qǐng)這位同學(xué)談?wù)労脝幔?/p>

答：今天參加班會(huì)我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個(gè)人做起。我想把每個(gè)廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學(xué)們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務(wù)先走了，同學(xué)們?cè)僖姡?/p>

水跑上來(lái)說(shuō)：同學(xué)們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請(qǐng)你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動(dòng)物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護(hù)我們?nèi)祟愖约骸?/p>

動(dòng)物：小熊上場(chǎng)說(shuō)：我代表動(dòng)物家族謝謝你了，我們也會(huì)保護(hù)你的！

花草樹木跑上場(chǎng)說(shuō)：我們也不會(huì)忘記你的貢獻(xiàn)！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學(xué)們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因?yàn)槲姨吲d了，今后還請(qǐng)你們多關(guān)照我呀！

主持人：水伯伯，請(qǐng)放心，今后我們一定會(huì)做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學(xué)們，今天我們召開的班會(huì)非常生動(dòng)，非常有意義。水是生命之源，無(wú)比珍貴，愿同學(xué)們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬(wàn)物之源主題班會(huì)到此結(jié)束。

6.活動(dòng)效果：

此次活動(dòng)使學(xué)生明白了節(jié)約用水的道理，浪費(fèi)水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭(zhēng)做節(jié)水小標(biāo)兵

活動(dòng)目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是極為珍貴的，每個(gè)人都要保護(hù)它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬(wàn)代。

活動(dòng)過程：

1.主持人上場(chǎng)，神秘地說(shuō)：“我讓大家猜個(gè)謎語(yǔ)，你們?cè)敢鈫?？”大家回答：“愿意！?/p>

主持人口述謎語(yǔ)：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請(qǐng)它來(lái)?！?/p>

主持人問：“誰(shuí)知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場(chǎng)說(shuō)：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說(shuō)，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬(wàn)物之源主題班會(huì)現(xiàn)在開始。

水說(shuō)：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o(wú)法生存。

小熊說(shuō)：我們動(dòng)物可喜歡你了，沒有水我們會(huì)死掉的。

花說(shuō)：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們?cè)缇涂菟懒?，就不能為美化環(huán)境做貢獻(xiàn)了。

主持人：下面請(qǐng)聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來(lái)說(shuō)話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜