材料力學(xué)答案第四版單輝祖課后答案

材料力學(xué)答案第四版單輝祖答案

第二章軸向拉壓應(yīng)力與材料的力學(xué)性能

9-1

41試畫圖示各桿的軸力圖。

題2T圖

解：各桿的軸力圖如圖2-1所示。

圖2T

2—2試畫圖示各桿的軸力圖，并指出軸力的最大值。圖a與b所示分布載荷均沿桿軸均勻分布，集度為

題2-2圖

(a)解：由圖2-2a⑴可知,

F(x)=2qa-qx

N

軸力圖如圖2-2a(2)所示,

圖2-2a

(b)解：由圖2-2b(2)可知,

F=qa

R

F(x)=F=qa

NIR

F(x)=F-q(x-a)=2qa-

N2

軸力圖如圖2-2b(2)所示,

圖2-2b

9-3

圖示軸向受拉等截面桿，橫截面面積A=500mm2,載荷F=50kN。試求圖示斜截面m-m上的正應(yīng)力與切

應(yīng)力，以及桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。

m

卜一/|.

m

題2-3圖

解：該拉桿橫截面上的正應(yīng)力為

50x.101-^1oo18p=|00MPa

。=￡=,x0a

A500x10-omz

斜截面m-m的方位角a=_50"故有

=0cos2a=1OOMPa-cos2(-50°)=41.3MPa

T=-sin2?=5OMPasin(-IOO=)=-49.2MPa

a2

桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力分別為

a=(7=1OOMPa

max

r=-=50MPa

max2

2—5某材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖所示，圖中還同時(shí)畫出了低應(yīng)變區(qū)的詳圖。試確定材料的彈性模量E、比

例極限。、屈服極限°、強(qiáng)度極限。與伸長率6,并判斷該材料屬于何種類型(塑性或脆性材料)。

psb

2

題2-5

解：由題圖可以近似確定所求各量。

r.M220x10Pa”八1口

E=___=___________=220xlAOo9Pa=220GPa

M0.001

a?220MPa,a?240MPa

P5

”440MPa，八29.7%

該材料屬于塑性材料。

一圓截面桿，材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如題2-6圖所示。若桿徑d=10mm,桿長1=200mm,桿

端承受軸向拉力F=20kN作用，試計(jì)算拉力作用時(shí)與卸去后桿的軸向變形。

00.20.40.60.81.01.2

題2-6圖

F_4X20X103N

解:=2.55x10Pa=255MPa

A7tx0.0102m2

查上述。-e曲線，知此時(shí)的軸向應(yīng)變?yōu)?/p>

e=0.0039=0.39%

軸向變形為

△/=/￡=(0.200m)x0.0039=7.8x10-4m=0.78mm

拉力卸去后，有

￡=0.00364'￡=0.00026

eP

故殘留軸向變形為

Al=k=(0.200m)xO.00026=5.2x10-5m=0.052mm

p

2—9圖示含圓孔板件，承受軸向載荷F作用。己知載荷F=32kN,板寬b=100mm,板厚$15mM孔徑d

=20mm?試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力(考慮應(yīng)力集中)。

￡-----一,--------

題2-9圖

解：根據(jù)

d/b=0.020m/(0.100m)=0.2

查應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得

K=2.42

根據(jù)

a=~匕-，K=

(b-d)d

3

得

=K。=好2.42x32x103=6.45x]0了Pa=64.5MPa

?(b-d)S(0.100-0.020)x0.015m2

210圖示板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F=36kN,板寬b=90mm,b=60mm,板展二10mm,孑/d=10mm,

12

圓角半徑R=12mm?試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力（考慮應(yīng)力集中）。

4dW

題2-10圖

解：1.在圓孔處

根據(jù)

d0.010m....

-=-----------=Un.1111

*0.090m

查圓孔應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得

K=2.6

故有

=KoKI-2.6x36*103=1.17x108Pa=117MPa

inj(b~d)6-(0.090-0.010)x0.010m2

2.在圓角處

根據(jù)

Db0.090m

1.5

cib0.060m

K=￡_=lHli2ni=()2

db0.060m

2

查圓角應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得

K3.74

2

故有

r=Ko=—^=L74x36xi.Q?N=1.04X108Pa=104MPa

max2n2hd0.060x0.0101112

2

3.結(jié)論

=117MPa（在圓孔邊緣處）

max

2-14圖示桁架，承受鉛垂載荷F作用。設(shè)各桿的橫截面面積均為A,許用應(yīng)力均為［］,試確定載荷F的

許用值［F］。

題2-14圖

解：先后以節(jié)點(diǎn)C與B為研究對象，求得各桿的軸力分別為

F=F=F

N2N3

根據(jù)強(qiáng)度條件，要求

A

由此得

陽=字

<2

2-15圖示桁架，承受載荷F作用，已知桿的許用應(yīng)力為若在節(jié)點(diǎn)B和C的位置保持不變的條件下,

試確定使結(jié)構(gòu)重量最輕的。值（即確定節(jié)點(diǎn)A的最佳位置）。

題2-15圖

解：1.求各桿軸力

設(shè)桿，也和BC的軸力分別為r和r，由節(jié)點(diǎn)B的平衡條件求得

NlN2

P

F=---，F(xiàn)=Fctana

NIsinaN2

2.求重量最輕的值

由強(qiáng)度條件得

J-TP

/=，X=ctana

1[<7]sina2[a]

結(jié)構(gòu)的總體積為

V—AIA1=---------I----ctantt-2—+ctana)

1122[<7]sinacosa[a][a]sin2a

由

-0

da

得

3cos2a-1=0

由此得使結(jié)構(gòu)體積最小或重量最輕的a值為

a=5444'

opt

2-16圖示桁架，承受載荷F作用，已知桿的許用應(yīng)力為若節(jié)點(diǎn)A和C間的指定距離為1,為使結(jié)構(gòu)

重量最輕，試確定e的最佳值。

5

題2-16圖

解：1.求各桿軸力

由于結(jié)構(gòu)及受載左右對稱，故有

F=F=—t—

NIic2sin”

2.求e的最佳值

由強(qiáng)度條件可得

A=A=---------

?22網(wǎng)sind

結(jié)構(gòu)總體積為

V=2Al=_r./__PL_

112cos?W]sin26

由

￡=0

dO

得

cos26?=()

由此得°的最佳值為

0=45

op<

2T7圖示桿件，承受軸向載荷F作用。已知許用應(yīng)力[]=120MPa,許用切應(yīng)力[]=90MPa,許用擠壓應(yīng)

力[占24。,電試從強(qiáng)度方面考慮，建立桿徑山墩頭直徑D及其高度h間的合理比值。

題2-17圖

解：根據(jù)桿件拉伸、擠壓與剪切強(qiáng)度，得載荷F的許用值分別為

[尸]=予可(a)

[F]=33I。](b)

b4M

lF\=1tdb{z\(c)

s

理想的情況下，

[F1=[F]=[F]

lbs

在上述條件下，由式(a)與(c)以及式(a)與(b),分別得

力=回”

4[T]

6

D=

于是得

[a]

D:h:d=：1

4F]

由此得

D:h:d=1.225:0.333:1

218圖示搖臂，承受載荷F與F作用。已知載荷F二50kN,F=35.4kN,許用切應(yīng)力L］二lOOMPa,許用擠

壓應(yīng)力［O］=2-10MPa,試確定軸鋁II的直徑d.

bs

解：1.求軸銷處的支反力

由平衡方程XF=。與XF=0,分別得

xy

F=F-FCOS45=25kN

Bx12

F=Fsin45=25kN

By2

由此得軸銷處的總支反力為

F=V252+252kN=35.4kN

B

2.確定軸銷的直徑

由軸銷的剪切強(qiáng)度條件（這里是雙面剪）

A心

得

2x35.4x103

d>m=nnlgm

兀X1OOX1O6

由軸銷的擠壓強(qiáng)度條件

cy=]

hs而而bs

得

,.FRR4X1O3__-

d>~^-=—-------m=0.01475m

況b]0.010X240X10^

bs

結(jié)論：取軸銷直徑d>0.015m=i5mm。

279圖示木樺接頭，承受軸向載荷F=50kN作用，試求接頭的剪切與擠壓應(yīng)力。

100

F

8

7

題2-19圖

解：剪應(yīng)力與擠壓應(yīng)力分別為

2-20圖示抑接接頭，鉀釘與板件的材料相同，許用應(yīng)力[]=160MPa,許用切應(yīng)力[]=120MPa,許

用擠壓應(yīng)力[]=340MPa,載荷F=230kN。試校核接頭的強(qiáng)度。

120|12011201120

題2-20圖

解：最大拉應(yīng)力為

23()xl(bN

153.3MPa

(0.170-0.020)(0.010)(m2)

最大擠壓與剪切應(yīng)力則分別為

5(0.020m)(0.0l0m)

4x230x103N=146.4MPa

5x人(0.020m2)

2-21圖示兩根矩形截面木桿，用兩塊鋼板連接在一起，承受軸向載荷F=45kN作用。已知木桿的截面寬

度b=250mm,沿木紋方向的許用拉應(yīng)力Q]=6MPa,許用擠壓應(yīng)力"j=10MPa,許用切應(yīng)力[]=IMPa。試確定

鋼板的尺寸6與1以及木桿的高度匕

題2-21圖

解：由拉伸強(qiáng)度條件

(J--------------<\<7]

b(h-23)

h-26>—=-—ni=0.030m

b[(y]0.250x6x106

由擠壓強(qiáng)度條件

叢2b6

8

得

3>F=45xm=0.009m=9mm(b)

2b[(j]2x0.250x10x106

bs

由剪切強(qiáng)度條件

F

T=—<[T]

2bl

得

I>尸=45x103m=o.O9Om=90mm

2b[x]2x0.250x1x10

取3=0.009m代入式(a),得

h>(0.030+2x0.009)m=0.048m=48mm

結(jié)論：取

6>9mm?/>90mm，h>48mm°

2-22圖示接頭，承受軸向載荷F作用。已知抑釘直徑d=20mm,許用應(yīng)力［b］=160MPa,許用切應(yīng)力

［」=120MPa,許用擠壓應(yīng)力］=340MPa。板件與鉀釘?shù)牟牧舷嗤?。試?jì)算接頭的許用載荷。

bs

題2-22圖

解：1.考慮板件的拉伸強(qiáng)度

由圖2-22所示之軸力圖可知,

F=F,F=3F/4

N1N2

O—N!=F

?4(b-d)3

FW(b—d)加。]=(0.200-0.020)x0.015x160x106N=4.32x105N=432kN

—3￡-

3?！?/p>

4(b-2d)6

44

F<~(b-2d洌5=-(0.200-0.040)xO.015x160x10N=5.12x105N=512kN

圖2-22

2.考慮鉀釘?shù)募羟袕?qiáng)度

尸J

S8

F4/7

78小的

9

F<2nd2[T]=2xnx0.0202x120xlON=3.02xlO5N=302kN

3.考慮鉀釘?shù)臄D壓強(qiáng)度

Fb4F

O=—L.=--------<[a]

bsSj48d依

F<4dd[a)=4x0.()15x0.020x340x](X，N=4.08x10$N=408kN

結(jié)論：比較以上四個(gè)F值，得

[Fl=302kN

2-23圖a所示鋼帶AB,用三個(gè)直徑與材料均相同的釧釘與接頭相連接，鋼帶承受軸向載荷F作用。已知載

荷F=6kN,帶寬b=40nm,帶厚二2mm,鉀釘直徑d=8nim,孔的邊距a=20mn,鋼帶材料的許用切應(yīng)力[]=100MPa,

許用擠壓應(yīng)力[]=300MPa,許用拉應(yīng)力[]=160MPa。試校核鋼帶的強(qiáng)度。

題2-23圖

解：1.鋼帶受力分析

分析表明，當(dāng)各鉀釘?shù)牟牧吓c直徑均相同，且外力作用線在鉀釘群剪切面上的投影，通過該面的形心時(shí),

通常即認(rèn)為各鉀釘剪切面的剪力相同。

加釘孔所受擠壓力F等于釧釘剪切面上的剪力，因此，各鉀釘孔邊所受的擠壓力F相同，鋼帶的受力如圖

b所示，擠壓力則為

.F6X103N-八、，

F=-=-------------=2.OxlO3N

33

孔表面的最大擠壓應(yīng)力為

a=，=2.0x103

=1.25xlO8Pa=125MPa<[Q]

mSt/(0.002m)(0.008m)bs

在擠壓力作用下，鋼帶左段虛線所示縱截面受剪（圖b）,切應(yīng)力為

F2.0x103N

T='=2.5x107Pa=25MPa<f]

26a2(0.002m)(0.020m)

鋼帶的軸力圖如圖C所示。由圖b與C可以看出，截面1-1削弱最嚴(yán)重，而截面2-2的軸力最大，因此,

應(yīng)對此二截面進(jìn)行拉伸強(qiáng)度校核。

截面1T與2-2的正應(yīng)力分別為

F_2F2(6X103N)

=83.3MPa<[]

CT=Nla

i43(b-2(/)33(0.040m-2x0.008m)(0.002m)

F6x103

=93.8MPa<[a]

2A2(b-d)6(0.040m-0.008m)(0.002m)

10

第三章軸向拉壓變形

3-2—外徑D=60mm、內(nèi)徑d=20mm的空心圓截面桿，桿長1=400mm,兩端承受軸向拉力F=200kN作用。

若彈性模量E=80GPa,泊松比廠0.30。試計(jì)算該桿外徑的改變量D及體積改變量V.

解：1.計(jì)算D

由于

“土，，'=絲=-?=-巴

EADEA

故有

An=,n=-,iH>=-4uFD4x0.30*200*103*0.060

e-------------------------------Ill

EAEn{D2-d2)80x109x7rx(O.O6O2-0.0202)

=-1.79x10-5m=-0.0l79mm

2.計(jì)算V

變形后該桿的體積為

/4，=(/+￡/)匹[(D+/D)2-(4+，d)2]=/41+￡)(1+€)2M[/(1+￡+2/)

4

故有

Alz=1/Jl/=1/(￡+2力上(1-2")=200.1°-2x0.3)

E80x109

=4.00xl0-7nv=400mma

3-4圖示螺栓，擰緊時(shí)產(chǎn)生A/=0.10mm的軸向變形。已知：d=8.Omm,d=6.8mm,d=7.0mm；1=6.Omm,

1231

l=29mm,1=8mm；E=210GPa,]=500MPa。試求預(yù)緊力F,并校核螺栓的強(qiáng)度。

23

題3-4圖

解：1.求預(yù)緊力尸

各段軸力數(shù)值上均等于F，因此，

Fill4F///

△/=一(—+-5-+—)=—(++—+-*■)

EAAA靠Ed2d2d2

I23123

由此得

nEMTtx210xl09x0.10xI0-3

F=；；；-=(TTO5(TU290.008N=1.865xl0^N=18.65kN

4(-4-+-4-+-4-)4x(-----+-------+------)

力d2"20.00820.006820.0072

I23

2.校核螺栓的強(qiáng)度

F4F4x18.65x10?N

a=---=----=-------------=5.14xlOPa=514MPa

maxAm/2兀X0.00682m2

min2

此值雖然超過同，但超過的百分?jǐn)?shù)僅為2.6%,在5%以內(nèi)，故仍符合強(qiáng)度要求。

3-5圖示桁架，在節(jié)點(diǎn)A處承受載荷F作用。從試驗(yàn)中測得桿1與桿2的縱向正應(yīng)變分別為-4.0X10T

1

II

與。=2.0X10，。已知桿1與桿2的橫截面面積A=A=200nw,彈性模量E=E=200GPa。試確定載荷F及其方

解：I.求各桿軸力

F=EcA=200x10*>x4.0x10->x200xl0-6N=1.6x104N=!6kN

NlIII

F=EeA=200xlOx2.0xl0-4x200xlO-?N=8xl0?N=8kN

N2222

2.確定F及夕之值

由節(jié)點(diǎn)4的平衡方程ZF=。和*=o得

xy

Fsin3O+Fsin0-Fsin30==0

N2Nl

Fcos30=+Fcos30°-Feos。=0

NlN2

化簡后，成為

F-F=2Fs\n0(a)

NlN2

及

&F+F)=2Fcos0(b)

NlN2

聯(lián)立求解方程(a)與(b),得

c尸…一J(16—8)x103

—順匚打=石(16+8)x18=°，925

NlN2

由此得

9=10.89a09

F=%一九="6一”"I。卜=2.l2xlSN=2L2kN

2sin02sin10.89。

3-6圖示變寬度平板，承受軸向載荷F作用。已知板的厚度為，長度為1,左、右端的寬度分別為b與

1

b,彈性模量為E。試計(jì)算板的軸向變形。

2

解：對于常軸力變截面的拉壓平板，其軸向變形的一般公式為

d=P~^~dx=P-E~~dx(a)

oEA(x)oEBb(x)

由圖可知，若自左向右取坐標(biāo)x，則該截面的寬度為

b(x)=b+"?b

代入式(a),于是得

Flb

dx=In2

fE6(b—b)-b-

d\b+2IX2Ii

I1/

3-7圖示桿件，長為1,橫截面面積為A,材料密度為0,彈性模量為E,試求自重下桿端截面B的位移。

題3-7圖

解：自截面B向上取坐標(biāo)y,y處的軸力為

F=pgAy

N

該處微段dy的軸向變形為

必=磔d=絲4y

yEAE

于是得截面B的位移為

/=啊少加=甩上（J）

。Eo2E

3-8圖示為打入土中的混凝土地樁，頂端承受載荷F,并由作用于地樁的摩擦力所支持。設(shè)沿地樁單位長

度的摩擦力為f,且fky2,式中，k為常數(shù)。已知地樁的橫截面面積為A,彈性模量為E,埋入土中的長度

為1。試求地樁的縮短量一

題3-8圖

解：1.軸力分析

摩擦力的合力為

F=J肋」如加=蛆

y/o3

根據(jù)地樁的軸向平衡,

g=F

3

由此得

(a)

13

截面y處的軸力為

F=/yfdy=iyfcy-dy=""

'00T

2.地樁縮短量計(jì)算

截面y處微段dy的縮短量為

EA

積分得

/Fdyk丁3kh

（5=J—=——Jydy=-------

oEA3EAo12EA

將式（a）代入上式，于是得

4EA

3-9圖示剛性橫梁AB,由鋼絲繩并經(jīng)無摩擦滑輪所支持。設(shè)鋼絲繩的軸向剛度（即產(chǎn)生單位軸向變形所需

之力）為k,試求當(dāng)載荷F作用時(shí)端點(diǎn)B的鉛垂位移。

題3-9圖

解：載荷F作用后，剛性梁姐傾斜如圖（見圖3-9）。設(shè)鋼絲繩中的軸力為F,其總伸長為a。

圖3-9

以剛性梁為研究對象，由平衡方程XM=0得

A

Fa+F(a+b)=F(2a+b)

NN

由此得

F=F

N

由圖3-9可以看出，

A=0(2a+b)

y

A/=J+J=9a+8(a+b)=e(2a+b)

可見，

J=A/(b)

y

根據(jù)k的定義，有

F=kA/=kA

Ny

于是得

3-10圖示各桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA,試計(jì)算節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移。

14

題3-10圖

（a）解:

利用截面法，求得各桿的軸力分別為

F=尸=F（拉力）

N1N2

,壓力

F=0

N3

于是得各桿的變形分別為

A/=A/=—（伸長）

?2EA

（伸長）

EAEA

A/=0

如圖3—10⑴所示，根據(jù)變形1與1確定節(jié)點(diǎn)B的新位置B',然后，過該點(diǎn)作長為1+1的垂線,

1

并過其下端點(diǎn)作水平直線，與過A點(diǎn)的鉛垂線相交于A',此即結(jié)構(gòu)變形后節(jié)點(diǎn)A的新位置。

于是可以看出，節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移分別為

J=0

Ax

4=A/+卷△/+4=&+百組+比=21+

力I2￡4EAEAEA

圖3-10

(b)解：顯然，桿1與桿2的軸力分別為

F=F(拉力)

F=0

N2

于是由圖3—10(2)可以看出，節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移分別為

小?EA

修?EA

3-11圖示桁架ABC,在節(jié)點(diǎn)B承受集中載荷F作用。桿1與桿2的彈性模量均為E,橫截面面積分別為

15

A=320nw與A=2580nw。試問在節(jié)點(diǎn)B和C的位置保持不變的條件下，為使節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移最小，°應(yīng)取何

12

值（即確定節(jié)點(diǎn)A的最佳位置）。

題3T1圖

解：1.求各桿軸力

由圖3-1la得

-----F=Fctane

2.求變形和位移

由圖3Tlb得

FI2FIF/F/ctan0

A/=—Wt1—--------,A/-N2'2=?-----------------------

?EAE4sin262EAEA

1122

及

j—2—+以叫

wsin。tan。EAsin2因n。A

12

3.求。的最佳值

由必/d6>=0?得

By

q(2cos2%intf土cos&sin20)_2ctan??csc2a_0

Asin22，sin2。A

12

由此得

2Acos3j-X(1-3cos2。)=0

12

將4與4的已知數(shù)據(jù)代入并化簡，得

I2

cosW+12.09375COS2。-4.03125=0

解此三次方程，舍去增根，得

cos6>=0.564967

由此得j的最佳值為

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f)=55.6

opt

3-12圖示桁架，承受載荷F作用。設(shè)各桿的長度為1,橫截面面積均為A,材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為n=B

,其中n與B為由試驗(yàn)測定的已知常數(shù)。試求節(jié)點(diǎn)C的鉛垂位移。

題3-12圖

解：兩桿的軸力均為

F=F

N2cosa

軸向變形則均為

△/=FY1_

B12Acosa)B

于是得節(jié)點(diǎn)C的鉛垂位移為

A="=F”l

。cosa2"4"Bcos"“a

3-13圖示結(jié)構(gòu)，梁BD為剛體，桿1、桿2與桿3的橫截面面積與材料均相同。在梁的中點(diǎn)C承受集中載

荷F作用。已知載荷F=20kN,各桿的橫截面面積均為A=100mm2,彈性模量E=200GPa,梁長1=1000mm。

試計(jì)算該點(diǎn)的水平與鉛垂位移。

題3-13圖

解：1.求各桿軸力

由EF=0，得

x

F=0

N2

由Z”=0,得

y

F

N1

2.求各桿變形