【校本課程】《中學(xué)數(shù)學(xué)思想與常用方法》校本教材

中學(xué)校本課程

中學(xué)數(shù)學(xué)思想

與常用方法

目錄

前言..........................................0

波利亞的怎樣解題表.............................1

第一章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想................8

函數(shù)與方程的思想方法.................9

分類討論的思想方法...................13

特殊與一般的思想方法.................15

數(shù)形結(jié)合的思想方法...................17

化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法................21

或然與必然的思想方法................23

有限與無限的思想方法................25

第二章高中數(shù)學(xué)解題基本方法.................28

配方法.............................28

換元法.............................31

待定系數(shù)法.........................34

反證法.............................38

定義法..............................41

數(shù)學(xué)歸納法.........................44

序—

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們

解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有

對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考

試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過

程都蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題

解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：

常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去

法等；

數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、

歸納和演繹等；

常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化

歸）思想等。

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識是

數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，

將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識，只能夠領(lǐng)會和運用，屬于思

維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用

一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作

用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模

式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂,

它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得。

可以說，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核

心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能

力

《高中數(shù)學(xué)思想與方法》課程綱要

一、基本項目

課程名稱：《高中數(shù)學(xué)思想與方法》

課程類型:知識拓展類

授課教師：

授課對象：高二學(xué)生

二、課程目標(biāo)

高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時應(yīng)當(dāng)對數(shù)學(xué)的思想和方法有所了解和認(rèn)識，

這不僅因為數(shù)學(xué)的發(fā)展為人類文明積累了大量寶貴的科學(xué)思想和科學(xué)方法，需要

學(xué)生去學(xué)習(xí)和掌握，更重要的是為學(xué)生將來能獨立地開展科學(xué)探究、創(chuàng)新活動奠

定堅實的基礎(chǔ)所必須具有的思想與方法。因此本課程旨在為學(xué)有余力的同學(xué)提供

知識拓展并形成系統(tǒng)而扎實的學(xué)科知識體系，加深對數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的理解，達(dá)

到培養(yǎng)具有完備的學(xué)科思想和具有獨立科學(xué)探究能力，掌握靈活應(yīng)用學(xué)科知識進(jìn)

行分析和解決問題的能力，為終身學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，同時，也為全國奧林匹

克競賽發(fā)現(xiàn)人才和選拔人才做準(zhǔn)備。

1、知識與技能

A.系統(tǒng)學(xué)習(xí)和掌握高中數(shù)學(xué)知識，深刻理解數(shù)學(xué)的有關(guān)概念，掌握數(shù)學(xué)相

關(guān)規(guī)律。

B.掌握數(shù)學(xué)的科學(xué)思想和科學(xué)方法，初步能應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析

數(shù)學(xué)問題和解決教學(xué)問題。

2、過程與方法

A.經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，懂得如何進(jìn)行科學(xué)探究的活動。

B.體會數(shù)學(xué)的科學(xué)思想和科學(xué)研究方法。

C.學(xué)會如何分析數(shù)學(xué)情景，學(xué)會如何進(jìn)行建模，熟練掌握分析問題和解決

問題的常規(guī)和典型的方法與技巧。

3、情感態(tài)度及價值觀

A.通過對數(shù)學(xué)思想和方法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、關(guān)注數(shù)學(xué)的發(fā)展和

數(shù)學(xué)為社會的發(fā)展所帶來的巨大貢獻(xiàn)。

B.樹立熱愛科學(xué)、崇尚科學(xué)的科學(xué)觀和人生觀。

三、課程簡介

本課程包括以下專題：（一）高考中常用數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、

待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一

般法、類比與歸納法、觀察與實驗法；（二）高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方

程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。每個專題都有所側(cè)重,

均在課程模塊學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)，必要時可以進(jìn)行加深，以達(dá)到系統(tǒng)掌

握數(shù)學(xué)思想與方法。

四、課程實施

學(xué)時安排:每個專題安排時間約為2課時，總課時為20學(xué)時，學(xué)生每修完本

專題可獲得1學(xué)分。每周開1課時，時間0.5學(xué)年。

教學(xué)方式：課內(nèi)理論教授與課外實踐相結(jié)合，要求課堂采用教師講解法與學(xué)

生探討法為主，貫徹新課改精神，采取啟發(fā)式教學(xué)，同時要求學(xué)生課后積極實踐，

即多想多練，課堂內(nèi)外相結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

五、課程評價

課程評價采用過程性評價和終結(jié)性評價相結(jié)的方式，以量化的形式體現(xiàn)：

1、過程性評價

考勤（10%）,課堂交流參與度（10%）；完成作業(yè)（任務(wù)）情況（20%）；同學(xué)

互評（10%）。

2、終結(jié)性評價

每個模塊學(xué)習(xí)結(jié)束時，進(jìn)行一次能力測試或完成一項研究報告（50%）。

3、最終評定成績由上述二方面組成，每方面均不低于應(yīng)得的60%,可獲得相

應(yīng)的學(xué)分。

波利亞的怎樣解題表

1、喬治?波利亞

喬治?波利亞（GeorgePolya,1887?1985）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育

家.在解題方面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法（指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索

法）現(xiàn)代研究的先驅(qū).由于他在數(shù)學(xué)教育方面取得的成就和對世界數(shù)學(xué)教育所產(chǎn)

生的影響，在他93歲高齡時，還被ICME（國際數(shù)學(xué)教育大會）聘為名譽主

席.

作為一個數(shù)學(xué)家，波利亞在函數(shù)論、變分法、概率、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、計算

和應(yīng)用數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域，都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以"波利亞”命名的定理

或術(shù)語；他與其他數(shù)學(xué)家合著的《數(shù)學(xué)分析中的問題和定理》、《不等式》、《數(shù)學(xué)

物理中的等周問題》、《復(fù)變量》等書堪稱經(jīng)典；而以200多篇論文構(gòu)成的四大卷

文集，在未來的許多年里，將是研究生攻讀的內(nèi)容.

作為一個數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻(xiàn)集中體現(xiàn)在《怎樣解題》（1945年）、

《數(shù)學(xué)與似真推理》（1954年）、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》（1962年）三部世界名著上，涉及"解

題理論"、"解題教學(xué)"、"教師培訓(xùn)”三個領(lǐng)域.波利亞對數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要

是通過“怎樣解題"表來實現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，也在“解題講習(xí)班"

中對教師現(xiàn)身說法.他的著作把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識和新

技能的學(xué)習(xí)過程，他的目標(biāo)不是找出可以機(jī)械地用于解決一切問題的“萬能方

法"，而是希望通過對于解題過程的深入分析，特別是由已有的成功實踐，總結(jié)

出一般的方法或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用.他所總結(jié)的模

式和方法，包括笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一般化與

特殊化方法、從后往前推、設(shè)立次目標(biāo)、歸納與類比、考慮相關(guān)輔助問題、對問

題進(jìn)行變形等，都在解題中行之有效.尤其有特色的是，他將上述的模式與方法

設(shè)計在一張解題表中，并通過一系列的問句或建議表達(dá)出來，使得更有啟發(fā)意

義.著名數(shù)學(xué)家互爾登在瑞士蘇黎世大學(xué)的會議致詞中說過："每個大學(xué)生、每

個學(xué)者、特別是每個教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書"（1952年2月2日）.

2、怎樣解題表

波利亞是圍繞“怎樣解題"、"怎樣學(xué)會解題"來開展數(shù)學(xué)啟發(fā)法研究的，這首

先表明其對"問題解決"重要性的突出強調(diào)，同時也表明其對“問題解決"研究興趣

集中在啟發(fā)法上.波利亞在風(fēng)靡世界的《怎樣解題》（被譯成14種文字）一書中

給出的"怎樣解題表"，正是一部"啟發(fā)法小詞典”.

2.1"怎樣解題”表的呈現(xiàn)

第一：弄清問題

未知是什么？已知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能？

要確定未知，條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛

弄清問題盾的？

畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?

把條件的各個部分分開.你能否把它們寫下來？

第二：擬定計劃

你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關(guān)的問題?你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題.

這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題.

找出已知數(shù)

你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎?你能利用它的方法嗎?為了能利用

與未知數(shù)之間

它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

的聯(lián)系.如果

你能不能重新敘述這個問題?你能不能用不同的方法重新敘述它？

找不出直接的

回到定義去.

聯(lián)系，你可能

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題.你能

不得不考慮輔

不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題?一個更普遍的問題?一個更特殊的問

助問題.

題?一個類比的問題?你能否解決這個問題的一部分?僅僅保持條件的一部

你應(yīng)該最終得

分而舍去其余部分.這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度?它會怎樣變化?你

出一個求解的

能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?你能不能想出適合于確定未知數(shù)

計劃

的其他數(shù)據(jù)?如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變,

以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個條件?你是否考慮了

包含在問題中的必要的概念？

第三：實現(xiàn)計劃

實行你的計實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟.

劃你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的？

第四：回顧

你能否檢驗這個論證?你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果?你能不能一下子

驗算所得到

看出它來？

的解

你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題？

下面是實踐波利亞解題表的一個示例，能夠展示波利亞解題風(fēng)格的心路歷

程，娓娓道來，栩栩如生.

2.2"怎樣解題"表的實踐

例1給定正四棱臺的高h(yuǎn),上底的一條邊長a和下底的一條邊長b,求正

四棱臺的體積F.（學(xué)生已學(xué)過棱柱、棱錐的體積）

講解第一，弄清問題.

問題1.你要求解的是什么？

要求解的是幾何體的體積,在思維中的位置用一個單點F象征性地表示出來（圖

問題2.你有些什么？

一方面是題目條件中給出的3個已知量a、b、h；另一方面是已學(xué)過棱柱、

棱錐的體積公式，并積累有求體積公式的初步經(jīng)驗.把已知的三個量添到圖示處

（圖2）,就得到新添的三個點a、b、h；它們與F之間有一條鴻溝，象征問題尚未

解決，我們的任務(wù)就是將未知量與已知量聯(lián)系起來.

第二，擬定計劃.

問題3.怎樣才能求得F?

由于我們已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺的幾何結(jié)構(gòu)（棱臺的定義）

告訴我們，棱臺是"用一個平行于底面的平面去截棱錐"，從一個大棱錐中截去一

個小棱錐所生成的.如果知道了相應(yīng)兩棱錐的體積B和A,我們就能求出棱臺的

體積

F=B-A.①

我們在圖示上引進(jìn)兩個新的點A和B,用斜線把它們與F聯(lián)結(jié)起來，以此表

示這三個量之間的聯(lián)系（圖3,即①式的幾何圖示）.這就把求F轉(zhuǎn)化為求A、B.

問題4.怎樣才能求得A與B?圖形幾何圖示

依據(jù)棱錐的體積公式（V=；Sh）,底面積可由

已知條件直接求得，關(guān)鍵是如何求出兩個棱錐的

高.并且，一旦求出小棱錐的高X,大棱錐的高也

就求出，為X+h.

我們在圖示上引進(jìn)一個新的點X,用斜線把A

與X、a連結(jié)起來,表示A能由a、X得出，A=-a2X；

3

類似地，用斜線把B與b、h、X連結(jié)起來，表示B

可由b、x、X得出，B=gb2（X+h）（圖4）,這就把

求A、B轉(zhuǎn)化為求X.

問題5.怎樣才能求得X?

為了使未知數(shù)X與已知數(shù)a、b、h聯(lián)系起來，

建立起一個等量關(guān)系.我們調(diào)動處理立體幾何問題的基本經(jīng)驗，進(jìn)行"平面化"

的思考.用一個通過高線以及底面一邊上中點（圖5中，點Q）的平面去截兩個棱

錐，在這個截面上有兩個相似三角形能把a、b、h、X聯(lián)系起來（轉(zhuǎn)化為平面幾何

問題），由△VPOisavQCh得

上.=0圖形兒何圖示

x+hb②I，

這就將一個幾何問題最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求/尸分^

解.解方程②，便可由a、b、h表示x,在圖示中便可/\/\

用斜線將x與a、b、h連結(jié)起來.至此，我們己在F（必二0（*蔣

與已知數(shù)a、b、h之間建立起了一個不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng),

圖5

解題思路全部溝通.

第三，實現(xiàn)計劃.

xaah

作輔助線（過程略）如圖5,由相似三角形的性質(zhì)，得"工一各，解得x=F.

a，

進(jìn)而得兩錐體的體積為A=la2x=-二工,

33

Nh

B=-b2（x+h）=lb-a,

33

得棱臺體積為

0-a3M

F=B—A=3.b-a=1（a2+ab+b2）h.③

3

第四，回顧.

⑴正面檢驗每一步，推理是有效的，演算是準(zhǔn)確的.再作特殊性檢驗，令

a00,由③可得正四棱錐體的體積公式；令a9b,由③可得正四棱柱體的體積

公式.這既反映了新知識與原有知識的相容性，又顯示出棱臺體積公式的一般性;

這既溝通了三類幾何體極限狀態(tài)間的知識聯(lián)系，又可增進(jìn)三個體積公式的聯(lián)系記

憶.

⑵回顧這個解題過程可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉有用的信

息（如圖1所示，有棱臺，a、b、h、F共5條信息），同時又要及時提取記憶網(wǎng)絡(luò)

中的有關(guān)信息（如回想：棱臺的定義、棱錐的體積公式、相似三角形的性質(zhì)定理、

反映幾何結(jié)構(gòu)的運算、調(diào)動求解立體幾何問題的經(jīng)驗積累等不下6條信息），并

相應(yīng)將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合.這當(dāng)中，起調(diào)控作用的關(guān)鍵是如何

去構(gòu)思出一個成功的計劃（包括解題策略）.由這一案例，每一個解題者還可以根

據(jù)自己的知識經(jīng)驗各自進(jìn)一步領(lǐng)悟關(guān)于如何制定計劃的普遍建議或模式.

⑶在解題方法上，這個案例是分析法的一次成功應(yīng)用，從結(jié)論出發(fā)由后往

前找成立的充分條件.為了求F,我們只需求A、B（由棱臺體積到棱錐體積的轉(zhuǎn)

化一一由未知到已知，化歸）；為了求A、B,我們只需求x（由體積計算到線段計

算的轉(zhuǎn)化一一由復(fù)雜到簡單，降維）；為了求x,我們只需建立關(guān)于x的方程（由幾

何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化一一數(shù)形結(jié)合）；最后，解方程求x,解題的思路就暢通了，在當(dāng)

初各自孤立而空曠的畫面上（圖1）,形成了一個聯(lián)接未知與已知間的不中斷網(wǎng)絡(luò)

（圖5）,書寫只不過是循相反次序?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖作一敘述.這個過程顯示了分析與綜

合的關(guān)系，"分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行；分析是制定

一個計劃，綜合是執(zhí)行這個計劃

（4）在思維策略上，這個案例是“三層次解決”的一次成功應(yīng)用.首先是一般性

解決（策略水平上的解決），把F轉(zhuǎn)化為A,B的求解（F=A—B）,就明確了解題

的總體方向；其次是功能性解決（方法水平的解決），發(fā)揮組合與分解、相似形、

解方程等方法的解題功能；最后是特殊性解決（技能水平的解決），比如按照棱臺

的幾何結(jié)構(gòu)作圖、添輔助線找出相似三角形、求出方程的解、具體演算體積公式

等，是對推理步驟和運算細(xì)節(jié)作實際完成.

⑸在心理機(jī)制上，這個案例呈現(xiàn)出"激活一一擴(kuò)散"的基本過程.首先在正四

棱臺（條件）求體積（結(jié)論）的啟引下，激活了記憶網(wǎng)絡(luò)中棱臺的幾何結(jié)構(gòu)和棱錐的

體積公式，然后，沿著體積計算的接線向外擴(kuò)散，依次激活截面知識、相似三角

形知識、解方程知識（參見圖1?圖5）,......直到條件與結(jié)論之間的網(wǎng)絡(luò)溝通.這

種"擴(kuò)散一一激活”的觀點，正是數(shù)學(xué)證明思維中心理過程的一種解釋.

（6）在立體幾何學(xué)科方法上，這是"組合與分解"的一次成功應(yīng)用.首先把棱臺

補充（組合）為棱錐，然后再把棱錐截成（分解）棱臺并作出截面，這種做法在求棱

錐體積時曾經(jīng)用過（先組合成一個棱柱、再分解為三個棱錐），它又一次向我們展

示"能割善補”是解決立體幾何問題的一個訣竅，而“平面化”的思考則是溝通立體

幾何與平面幾何聯(lián)系的一座重要橋梁.這些都可以用于求解其他立體幾何問題，

并且作為一般化的思想（化歸、降維）還可以用于其他學(xué)科.

（7）"你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果?”在信念上我們應(yīng)該永遠(yuǎn)而堅定地做出

肯定的回答，操作上未實現(xiàn)只是能力問題或暫時現(xiàn)象.對于本例，按照化棱臺為

棱錐的同樣想法，可以有下面的解法.

如圖6,正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)DAI,DB1,DCl,DB,

將其分成三個四棱錐D-A1B1C1D1,D-AA1B1B,D-BB1C1C,其中

圖6圖7

為了求力-儀電，我們連結(jié)AB1,將其分為兩個三棱錐D-ABBl與D-A

bh

A1B1(圖7),因SAMB,=AS*BB\,故%-A4//=aV"AB四,

1

但力-ABB,="、-ABD=3.2a2-h=6a2h,

1L11

故%一"即=%_.陰=%a2h+a.%a2h=d(a2+ab)h.

從而“BCO-A&GA=%-A414b_|_%-5"iGC+

=3(a2+ab+b2)h.

⑻〃你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他問題?〃

能，至少我們可以由正四棱臺體積公式一般化為棱臺體積公式(方法是一

樣的).注意到

a2=Sl,b2=S2,ab=4sls2,

可一般化猜想棱臺的體積公式為

丫臺=；(si+V^+S2)h.

第一章高中數(shù)學(xué)基本思想

第一：函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉；在研究方程、

不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時起著重要作用；

方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎(chǔ)；

高考把函數(shù)與方程思想作為七種重要思想方法重點來考查；

第二：數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個方面，在一維空間,

實數(shù)與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系，在二維空間，實數(shù)對與坐標(biāo)平面上的點建

立---1對應(yīng)關(guān)系；

數(shù)形結(jié)合中，選擇、填空側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，在解答題中，考慮

推理論證嚴(yán)密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化；

第三：分類與整合思想

分類是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)研究中的基本邏輯方法，從具體出發(fā)，選取

適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，

劃分只是手段，分類研究才是目的；

有分有合，先分后合，是分類整合思想的本質(zhì)屬性；

含字母參數(shù)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類與整合的研究，重點考查學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性與

周密性；

第四：化歸與轉(zhuǎn)化思想

將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化

歸為已解決問題，靈活性、多樣性，無統(tǒng)一模式，利用動態(tài)思維，去尋找有利于

問題解決的變換途徑與方法；

高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、

命題的等價轉(zhuǎn)化；

第五：特殊與一般思想

通過對個例認(rèn)識與研究，形成對事物的認(rèn)識，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)、

由局部到整體、由實踐到理論，由特殊到一般，再由一般到特殊的反復(fù)認(rèn)識過程;

構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點、確立特殊位置，利用特殊值、特

殊方程；

第六：有限與無限的思想

把對無限的研究轉(zhuǎn)化為對有限的研究，是解決無限問題的必經(jīng)之路；

積累的解決無限問題的經(jīng)驗，將有限問題轉(zhuǎn)化為無限問題來解決是解決的

方向；

立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來解決，實際上是先進(jìn)

行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用；

第七：或然與必然的思想

隨機(jī)現(xiàn)象兩個最基本的特征，一是結(jié)果的隨機(jī)性，二是頻率的穩(wěn)定性；

偶然中找必然，再用必然規(guī)律解決偶然；

等可能性事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)

生的概率、獨立重復(fù)試驗、隨機(jī)事件的分布列、數(shù)學(xué)期望是考查的重點；

第一節(jié)函數(shù)與方程思想

一、函數(shù)與方程

函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)=O

的解就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)，函數(shù)y=f(x)也可以看作

二元方程f(x)-y=O通過方程進(jìn)行研究。

就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助

有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值

范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所

研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的.許多

有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方

法來解決。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點。

1.函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)

系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問

題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解

題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題。

2.方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程

組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問

題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是

善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中

的等量關(guān)系.

3.(1)函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)y=0時，就

轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0,也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。

函數(shù)問題(例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，

方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)=0,就是求函數(shù)y

=f(x)的零點。

(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)y>0時，就

轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0,借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的

性質(zhì)，也離不開解不等式。

(3)數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處

理數(shù)列問題十分重要。

(4)函數(shù)f(x)=(ax+加"(nGN*)與二項式定理是密切相關(guān)的，利用這

個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題。

(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需

要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。

(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用布列

方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。

二、例題解析

I.運用函數(shù)與方程、表達(dá)式相互轉(zhuǎn)化的觀點解決函數(shù)、方程、表達(dá)式問題。

【例1】已知叵二^=1,(a、b、cWR),則有()

5a

2222

(A)b>4ac(B)b>4QC(C)h<4ac(D)h<4ac

解析法一：依題設(shè)有a?5—b?V5+C=0

石是實系數(shù)一元二次方程ox?+—+c=0的一個實根；

—4ac20/.h2>4ac故選(B)

法二：去分母，移項，兩邊平方得：

5b2=25a2+10ac+c2^10ac+2,5a,c=20ac

b2>4ac故選(B)

點評解法一通過簡單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點，運用方程的思想使問

題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b2是a、c的函數(shù)，運用重要不等式，思路清晰，水

到渠成。

練習(xí)1已知關(guān)于x的方程x2—(2機(jī)-8)x+帆,-16=0的兩個實根%,>

3

匕滿足陽V—,則實數(shù)加的取值范圍—

17

答案：｛m|--<m<—｝；

練習(xí)2已知函數(shù)=+4的圖象如下，則()

(A)/?e(-oo,0)(B)〃€(O,1)

(C)Z?e(l,2)(D)be(2,+oo)

答案：A.

II：構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問題:

【例2】已知/(f)=log2'，tG[四，8],對于f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù)m,不等式

X2+/77X+4>2/72+4%恒成立，求X的取值范圍。

解析[收，8],.?.f(t)e[L3]

2

原題轉(zhuǎn)化為：相。-2)+。-2)2>0恒成立，為m的一次函數(shù)(這里思維的轉(zhuǎn)化

很重要)

當(dāng)x=2時，不等式不成立。

；.x#2。令g(m)=機(jī)(》一2)+(%-2)2,mW[；,3]

問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m￡[L,3]上恒對于0,則：

2[g⑶>。

解得:x>2或x<—1

評析首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m,不等式的

左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個字母變量

的問題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。

m：運用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)列問題

【例3】設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知。3=12,S12>0,S”<0,

(1)求公差d的取值范圍；

(2)指出跖、§2、S3…,S'中哪一個最大,并說明理由。

解析(1)由%=設(shè)得：6=12-24,

VS12=12^+441=144+42d>0513=136+78d=156+52d<0

/八。n(n-l),1,2八c5

(2)Sn—na、H-------d=—dn+(12—d)〃

512

Vd<0,S“是關(guān)于n的二次函數(shù)，對稱軸方程為：x=--—

2d

2451213

V--<d<-3—<—.?.當(dāng)n=6時，S”最大。

72d2”

三、強化練習(xí)

1.已知方程2x+/n)，一2x+〃)=0的四個根組成一個首項為工的等差數(shù)列,

4

則|加_〃|=()

3I

2.已知銳角三角形ABC中，sin(A+B)=：,sin(A—B)=g。

I.求證tanA=2tanB；

H.設(shè)A8=3,求AB邊上的高。

3.甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是

一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為1，乙機(jī)床加工的零件是一等品

4

而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是

12

一等品的概率為4。

9

I.分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；

H.從甲、乙、丙加工的零件中各取一個進(jìn)行檢驗，求至少有一個是一等品的概率。

第二節(jié)分類討論思想

在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類,

并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。所謂分類討論，就是當(dāng)問題所

給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對每一

類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實質(zhì)上,

分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.

引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：

①問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如|a|的定義分a>0、a=0、

a〈0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

②問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，

或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q=l和qWl兩種情況。

這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。

③解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等

式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。

另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論

等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。

進(jìn)行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一

的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條

是“不漏不重”。

解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及

所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、

不漏不重、分類互斥(沒有重復(fù))；再對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲取

階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。

不等式的分類討論

［例1］解關(guān)于“的不等式：ax?-(a+l)x+l<0.

分析：這是一個含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先

對二次項系數(shù)a分類：(1)a#)(2)a=0,對于(2),不等式易解；對于(1),

又需再次分類：a>0或a<0,因為這兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不

2

等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點之后，又會遇到1與￡

誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故而解題時，需要作三級分類.

解：(1)當(dāng)a=0時，原不等式化為-x+l<0：.x>11

(2)當(dāng)aw0時，原不等式化為心-1)。-［)

a.

①若a<0,則原不等式化為(x-l)(x-1)>0

a

②若a>0,則原不等式化為(x-

a

G)當(dāng)a>l時，1<1,不等式解為

aa

(ii)當(dāng)a=l時，-=1,不等式解為xC0

a

(iii)當(dāng)0<a<1時，—>1,不等式解為l<x<1

aa

綜上所述，得原不等式的解集為

當(dāng)a<0時，解集為<xx或x>1,

a

當(dāng)a=0時，解集為

當(dāng)0<a<l時，解集為<xl〈x〈L

a

當(dāng)a=l時，解集為0.

9

當(dāng)白>1時，解集為

a

第三節(jié)特殊與一般思想

特殊與一般的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想之一，有些特殊問題的解決，需

要我們通過一般性規(guī)律的研究來處理；而對于具有一般性的問題，我們也常通過

考察其特殊情況(如特殊圖形、特殊位置、特殊取值等)揭示其一般規(guī)律.這種

特殊與一般的辯證思想往往貫穿于解決數(shù)學(xué)問題的整個過程之中.下面結(jié)合有關(guān)

幾何問題，談?wù)勌厥馀c一般思想的應(yīng)用.

一、特殊與一般思想在幾何中的應(yīng)用

【例1】如圖1,在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長3的

正方形，EF〃AB,EF與面AC的距離為2,則該多面體的體積可能為().

B.5

C.6

D妥

解：本題的圖形是多面體，需要對其進(jìn)行必要的分割.連EB、EC,得四

棱錐E-ABCD和三棱錐E—BCF,這當(dāng)中，四棱錐E—ABCD的體積易

求得V-ABCD=WX3x3x2=6,又因為一個幾何體積的體積應(yīng)大于它的部分

體積，所以不必計算三棱錐E—BCF的體積，就可以排除A,B,C,故選D.

【例2】如圖2,三棱柱ABC—A?B?C?的側(cè)棱AA?和BB?上各

有一動點P、Q滿足A|P=BQ,過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分,

則其體積之比為（）.

A.1；3B.1：2

C.1：3D.1：4

解：由題意可知動點P、Q滿足的一般性條件是AiP=BQ,所以取點

P與點A,點Q與點Bi分別重合這一特殊位置，如圖3,于是易得過P、Q、

C三點的截面把棱柱分成兩部分體積之比為1：2,故選B.

二、用特殊與一般思想解函數(shù)和數(shù)列題

特殊化與一般化貫穿于整個解題過程之中.通過特殊化能使我們認(rèn)識問題

更加全面，而將問題一般化能使我們認(rèn)識問題更加深刻.“從特殊到一般，再由一

般到特殊”正是這一數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn).下面結(jié)合有關(guān)函數(shù)與數(shù)列的問題，談?wù)?/p>

特殊與一般思想的應(yīng)用.

%2

【例1】（1）已知函數(shù)f（X）=值,那么

/⑴短2）班!”⑶然于）欣4）+（為=

（2）設(shè)｛aj是首項為1的正項數(shù)列，且凡）,

則它的通項公式an=

解:

..所求=內(nèi))十[人2)短9)]+[/(3)+

人，)M火4)短:)1=；+3=彳.

(2)解法1：將所給等式左邊分解因式，得(an+i+an)[(n+1)an+i-nan]

=0.

?an+i+an>0,??(n+1)an+i-nanu。.

1_

又a1=l,/.nan=(n-1)an-i=(n-2)an-2=.??=2a2=ai=l.所以an二了.

解法2：(特例法)當(dāng)n=l時，由所給等式得W-1+a2=0,即(2a2-l)

(32+1)=0.

1

?a2>0,??a2=2.

3j——+L的力艮[](3oi—1)(%+—)=0.

當(dāng)n=2時，由所給等式得％22%網(wǎng)"八的2"

11_

/.H3=T........由此猜想an=￡.

a.=].a,I=]

將出孔川71+1代入所給等式左邊，得

1

(n+1)(-1-)2—M-L)2十——=-L^--L+=0

n+lnn(n+l)n+1nn(n+l),即原等式成立.

1

故an=n.

【例21在等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝中，Sn與Tn分別為其前0項和，

若兀？i十3求bqbm

a1+f-（7i-1）d?

解法1:*=

Tnb（n—1）4

令會（孔-1）=8,則n=17,

所以0_=』2_=3x17+1=旦.

品Tn17+35

令）=m-l,則n=2雁-1,所以

=Srn-i二3m-1

bmT7/n~\m+1

解法2：0_=9_=皿虹=&L=旦.

bq2慶61+6177175

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第四節(jié)數(shù)形結(jié)合思想

談起數(shù)形結(jié)合，不禁想起著名數(shù)學(xué)家華羅庚的詩句:

數(shù)形本是相倚依,焉能分作兩邊飛?

數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微,

數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休,

幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.

數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使

抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，

實現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀.

數(shù)形結(jié)合的思想，其應(yīng)用包含兩點：

1.“形”中覓“數(shù)很多數(shù)學(xué)問題，已知圖形已經(jīng)作出或容易作出，要解

決這類問題，主要是尋找恰當(dāng)表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，即將幾何問題代數(shù)化，以

數(shù)助形，使問題獲解.

2.“數(shù)”上構(gòu)“形”；很多數(shù)學(xué)問題，本身是代數(shù)方面的問題，但通過觀察

可發(fā)現(xiàn)它具有某種幾何特征.由這種幾何特征可以發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的新關(guān)系，將

代數(shù)問題化為幾何問題，使問題獲解。

但是這兩點又不是彼此獨立的，而是互相聯(lián)系的，比如在解析幾何中，雖然

研究的是用代數(shù)方法解決幾何問題，但是由于我們在研究中得到某些代數(shù)表示式

具有明顯的幾何意義，因此對于某些代數(shù)問題，在確定合適的坐標(biāo)系后，也司獲

得幾何解釋，從而能借助幾何加以解決.因此，運用代數(shù)方法研究幾何問題或應(yīng)

用幾何方法研究代數(shù)問題，是數(shù)形結(jié)合思想在兩個方面的應(yīng)用.

在我們的中學(xué)教材中，數(shù)形結(jié)合的思想幾乎滲透到每一章的內(nèi)容之中.初中

教材把實數(shù)與數(shù)軸對應(yīng)起來；高中教材把函數(shù)與其圖象聯(lián)系起來；解析幾何把方

程與曲線聯(lián)系起來；甚至等差(比)數(shù)列的通項也給予了幾何說明等等，不勝枚舉.

軸是x=2,所以畫一個草圖示意，可作出判斷應(yīng)選(A)。

評注：由圖象比較函數(shù)值的大小，實質(zhì)上就是看圖象上的點

的位置的高低，當(dāng)然具體的判斷還需要充分注意函數(shù)本身的性質(zhì)，

如單調(diào)性、周期性、奇偶性、對稱性等。

【例2】已知函數(shù)f(x)=log,/x+l|在區(qū)間(T,0)上有f(x)〉0,那么f(x)

在(-8,-1)上是()

(A)減函數(shù)(B)增函數(shù)(C)增減隨a變化(D)不能確定

分析：本例涉及對數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，如函數(shù)的對稱性、單調(diào)性及

平移問題，因而用圖象進(jìn)行思考就容易判斷。先考慮a>l時，f(x)圖象是y

=logjx|的圖象向左移一個單位，如圖所示,這時在區(qū)間(-1,0)上不滿足f(x)>0,

因而a>l不可能，從而只有0<aG,此時圖象在(-1,0)上有f(x)>0,它又以x=T

為對稱軸，在(-8,-1)上f(x)為增函數(shù)，故選(B)。

評注：函數(shù)與圖象是緊密相連的，研究函數(shù)性質(zhì)(在中學(xué)主要考慮單調(diào)性、

奇偶性、周期性、對稱性等)時，既可用代數(shù)方法(如奇偶性考慮f(-x)與f(x)

是否相等或互為相反數(shù))研究，也可用幾何圖形研究(如奇偶性考察其圖象是否關(guān)

于原點對稱或y軸對稱)，在教學(xué)中，我們更傾向于用函數(shù)圖象來理解和記憶，

比如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，觀察圖象，其性質(zhì)是一目

了然的。

【例3】設(shè)對于任意實數(shù)xe卜2,2],函數(shù)〃x)=lg(34-歌一，)總有意義,

求實數(shù)a的取值范圍。

解法1：函數(shù)」(乃有意義，貝7>0,即/+仍-3a<。在'e[-2,2]±

總成立。

設(shè)g(力=/+〃-玄,即當(dāng)xe卜2,2]時，g(x)<0總成立。

fg(-2)<0

<

...依拋物線y=gS)的特征，將其定位，有匕⑵<°，如圖1所示。

4-5a<0

解得a>4

4-a<0

解法2：對于不等式3a-"-->0,因為卜2,2],所以3-5],不

>3—xH------6

等式可化成“3-x

9

只要a>h(x)=3-----6

3-x的最大值即可。

Z=3-x,xel1,5|,6+%（乃=￡+二、

設(shè)1Jz的圖象如圖2所示，可知6+%。）的最大

值為10,故力熾）最大值為4,則a>4。

圖2

評注：解法1抓住了拋物線的特征，由實數(shù)a的不等式組，將拋物線定位，再求

解范圍。另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次數(shù)形結(jié)合

的機(jī)會。解法2將實數(shù)a從不等式中分離出來，對后邊函數(shù)中3-x換元后，利

用典型函數(shù)圖象直觀地求其最大值，求得a的范圍，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，不失

為好辦法。

第五節(jié)化歸與轉(zhuǎn)化思想

“化歸與轉(zhuǎn)化”思想是處理數(shù)學(xué)問題的一種基本策略.轉(zhuǎn)化和化歸就是對原

問題換一個方式、換一個角度、換一個觀點加以考慮，就是在數(shù)學(xué)研究中，把要

解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化，再轉(zhuǎn)化，化歸為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題,

從而使問題得到圓滿解決的思維方法.

一、概念和載體之間的相互轉(zhuǎn)化

依據(jù)題意，從定義、定理、公式、概念出發(fā)，化抽象為具體，化復(fù)雜為簡單,

從縱向和橫向進(jìn)行聯(lián)想轉(zhuǎn)化.

hm］n

【例1】函數(shù)極限與f。二^的值為().

A.B.—C.4D.―--

2x02x02VXQ"

解：本題借用函數(shù)極限的具體形式，旨在考查學(xué)生對導(dǎo)數(shù)定義的正確理解,

因而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=lnxG"在x=xo處的導(dǎo)數(shù)，故選C.

二、特殊和一般之間的轉(zhuǎn)化

_lr.__.L團(tuán)￡N+，財im、

［例1］數(shù)列｛aj中，ai=5,an+an+l5*…(ai+a2+...+an)

解：通過求歹必=亨'"=尹'猜想.k丁'從而達(dá)到解決問題的目

的.也可以利用數(shù)列極限的含義進(jìn)行重組變形，可轉(zhuǎn)化為無窮等比遞縮數(shù)列的求

和，原式2222

,±-(四十的)

(a、)+**,=----1--------------------

n10,_1_4