2023-2024學(xué)年四川省內(nèi)江重點中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年四川省內(nèi)江重點中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線y=3xA.30° B.60° C.90°2.在空間中，下列命題是真命題的是(

)A.經(jīng)過三個點有且只有一個平面

B.垂直同一直線的兩條直線平行

C.如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等

D.若兩個平面平行，則其中一個平面中的任何直線都平行于另一個平面3.如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，O′A

A.6 B.2 C.12 D.4.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則這個球的表面積為(

)A.2π B.4π C.8π5.已知平面α⊥平面β，α∩β=A.若直線m⊥平面α，則m//β B.若平面γ⊥平面α，則γ/?/β

C.若直線m⊥直線l6.已知直線l1：mx+2y?2=0與直線lA.?5 B.2 C.2或?5 7.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A.?1625 B.925 C.168.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點P(如圖

A.(229,149) B.(二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.對于直線l：x=my+A.直線l恒過定點(1,0)

B.直線l斜率必定存在

C.m=3時，直線l的傾斜角為6010.給出以下命題，其中正確的是(

)A.直線l的方向向量為a=(1,?1,2)，直線m的方向向量為b=(2,1,?12)，則l與m垂直

B.直線l的方向向量為a=(0,1,?1)，平面α的法向量為n11.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，翻折△ABD和△AA.BD⊥AC B.△ABC是等邊三角形

C.三棱錐D12.如圖所示的八面體的表面是由2個全等的等邊三角形和6個全等的等腰梯形組成，設(shè)A1A=A1B1A.BC⊥平面AA1A2

B.AA1/?/平面BB2C2C

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知A(0,2)，B(3,014.已知一個圓柱的高是底面半徑的2倍，且其上、下底面的圓周均在球面上，若球的體積為2π3，則圓柱的體積為______．15.如圖，已知在一個二面角的棱上有兩個點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB=2，AC=3，16.如圖，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E為邊BC的中點，將△ABE沿AE翻折成△AB1E四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

三角形三個頂點是A(4,0)，B(6,7)，C(0,18.(本小題12分)

已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1，AD=AA1=AB=1，∠A1AB=∠D19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，BD⊥PC，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB20.(本小題12分)

已知直線l：kx?y+4k+2=0(k∈R)．

(Ⅰ)證明：直線l恒過第二象限；

(Ⅱ)若直線l交x軸的負(fù)半軸于點A，交y21.(本小題12分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=2，AC=A1C=2，平面A22.(本小題12分)

如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB/?/CD，AD=AB=BC=2，CD=4，E為CD中點，AE與BD交于點O，將△ADE沿AE折起，使得D到達(dá)點P的位置(P?平面ABCE答案和解析1.【答案】B

【解析】解：直線y=3x的斜率為3，

所以其傾斜角為60°．

故選：2.【答案】D

【解析】解：對于A，若三點共線，則經(jīng)過三個點的平面有無數(shù)個，故A錯誤；

對于B，垂直于同一直線的兩直線有三種位置關(guān)系，平行、相交或異面，故B錯誤；

對于C，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補，故C錯誤；

對于D，若兩個平面平行，根據(jù)面面平行的定義可知，其中一個平面中的任何直線都平行于另一個平面，故D正確．

故選：D．

由平面的基本性質(zhì)判斷A；由垂直于同一直線的兩直線的位置關(guān)系判斷B；由等角定理判斷C；根據(jù)面面平行的定義，即可判斷D．

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．3.【答案】C

【解析】解：△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，

所以△OAB是直角三角形，且兩條直角邊長為6和4，

它的面積為S△OA4.【答案】B

【解析】解：由已知球的直徑為2，故半徑為1，

其表面積是4×π×12=4π，

5.【答案】D

【解析】【分析】

由線面的位置關(guān)系可判斷A；由面面的位置關(guān)系可判斷B；由線面的位置關(guān)系和面面垂直的性質(zhì)可判斷C；由面面垂直的判定定理可判斷D．

本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理能力，屬于中檔題．【解答】解：平面α⊥平面β，α∩β=l，若直線m⊥平面α，則m//β或m?β，故A錯誤；

平面α⊥平面β，若平面γ⊥平面α，則γ/?/β或γ與β相交，故B錯誤；

平面α⊥平面β，α∩β=l，若m⊥l，則可能m?β，故6.【答案】A

【解析】解：若l1//l2，則m(m+3)?2×5=m2+3m?10=(m?2)(7.【答案】A

【解析】解：因為AC=3,BC=3,AB=32，

所以AC2+BC2=AB2，

所以AC⊥BC，

又因為側(cè)棱與底面垂直，

所以以C為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz，如圖所示：

易得C(0,0,0)，C1(0,8.【答案】B

【解析】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：

可得B(4,0)，C(0,4)，故直線BC的方程為x+y=4，

△ABC的重心為(43,43)，設(shè)P(a,0)，其中0<a<4，

則點P關(guān)于直線BC的對稱點P1(x,y)，滿足a+x2+y2=4yx?a?(?1)=?1

解得x=4y=4?a即P1(4,4?a)，

易得P關(guān)于y軸的對稱點P2(?a,0)，

所以直線QR斜率為49.【答案】AD【解析】解：對于直線l：x=my+1，令y=0，求得x=1，可得它恒過定點(1,0)，故A正確；

當(dāng)m=0時，它的斜率不存在，故B錯誤；

m=3時，直線l的斜率為13=33，故它的傾斜角為30°，故C錯誤；10.【答案】AD【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，直線l的方向向量為a=(1,?1,2)，直線m的方向向量為b=(2,1,?12)，有a?b=1×2?1×1+2×(?12)=0，則a⊥b，所以l與m垂直，故A正確；

對于B，直線l的方向向量為a=(0,1,?1)，平面α的法向量為n=(1,?1,?1)，

而a?11.【答案】AB【解析】解：對A選項，∵平面ABD⊥平面ACD，

又BD⊥AD，且平面ABD∩平面ACD=AD，

∴BD⊥平面ACD，又AC?平面ACD，

∴BD⊥AC，∴A選項正確；

對B，C選項，由A選項可知BD⊥平面ACD，又DC?平面ACD，

∴BD⊥DC，又AD⊥BD，AD⊥DC，且AD=BD=DC，

∴AB=BC12.【答案】AC【解析】解：對于A.如圖所示，連接A1A2，取BC中點D，取B1C1中點E.連接A1E，AD，DE．

由等邊三角形的性質(zhì)得BC⊥AD，由等腰梯形的性質(zhì)得BC⊥DE.又AD∩DE=D，AD，DE?平面ADEA1，

所以BC⊥平面ADEA1．

所以BC⊥AA1.同理BC⊥AA2，又AA1∩AA2=A，AA1，AA2?平面AA1A2，

所以BC⊥平面AA1A2，所以該選項正確；

對于B，首先計算等腰梯形的高=12?(12)2=32，再計算幾何體ABC?A1B1C1的高．

取AB中點O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)O1是△A1B1C1的中心，O2是△ABC的中心．

過A1作A1G⊥AD，過E作EH⊥AD?DH=O2D?O2H=33?13×32=3613.【答案】?9【解析】解：∵A(0,2)，B(3,0)，C(m,1?m)三點共線，

∴A14.【答案】2【解析】解：設(shè)球O的半徑為R，圓柱的底面圓半徑為r，則高為2r．

由球的體積為2π3，得43πR3=2π3，∴R3=12，

又∵r2+r2=R15.【答案】1324【解析】解：在一個二面角的棱上有兩個點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，

AB=2，AC=3，BD=4，CD=4，

∴BD⊥AB，AC⊥AB，∴DB?BA=BA?AC=0，

設(shè)二面角C?AB?D16.【答案】π2【解析】解：根據(jù)題意，由AB=2，∠BAD=120°，E為邊BC的中點，

設(shè)G′是AB1的中點，又F為B1D的中點，則G′F/?/AD且G′F=12AD，

而CE=12BC=12AD且EC/?/AD，所以G′F//EC且G′F=EC，

即FG′EC為平行四邊形，故EG′//CF且EG′=CF，

故F的軌跡與G′的軌跡相同．

因為A17.【答案】解：(1)因為A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，

可得kAB=7?06?4=72，

所以A【解析】(1)由題意可得AB所在的直線的斜率，進(jìn)而可得AB邊上的高所在的直線的斜率，代入點斜式，可得直線的方程；

(2)求出BC的中點D18.【答案】解：(1)MN=MD1+D1A1+A1N

=?34D1B?AD+23A1C1

【解析】本題考查空間向量的基本定理，考查空間向量的線性運算，考查利用空間向量數(shù)量積求模等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．

(1)由MN=MD1+19.【答案】解：(1)證明：設(shè)AC∩BD=O，連接OE，

∵四邊形ABCD是菱形，∴O是BD的中點，

又E是棱PD上的中點，∴OE/?/PB，

又OE?平面AEC，PB?平面AEC，

∴PB/?/平面AEC；

(2)∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．

又BD⊥PC，AC，PC?平面PAC，且AC?PC=C，

∴BD⊥平面PAC【解析】(1)根據(jù)三角形中位線與底邊平行，通過線線平行證明線面平行；

(2)根據(jù)等體積法將三棱錐C?BD20.【答案】證明：(Ⅰ)直線l：kx?y+4k+2=0，即k(x+4)+(?y+2)=0，

令x+4=0?y+2=0，解得x=?4y=2，即直線l過定點(?4,2)，該定點位于第二象限，

故直線l恒過第二象限；

(Ⅱ)直線l交x軸的負(fù)半軸于點A，交y軸的正半軸于點B，

則可設(shè)直線l【解析】(Ⅰ)求出直線所過定點，即可求解；

(Ⅱ)設(shè)出直線l的方程，再結(jié)合直線l過定點(?4,21.【答案】證明：(1)∵AC2+A1C2=AA12，∴A1C⊥AC，

又平面ACC1A1?平面ABC=AC，平面ACC1A1⊥平面ABC，A1C?平面ACC1A1，

∴A1C⊥平面ABC，又AB?平面ABC，

∴A1C⊥AB．

(2)解：以C為坐標(biāo)原點，CA，CB，C【解析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得答案；

(2)根據(jù)題意，以C為坐標(biāo)原點，CA，