房山區(qū)2024屆高三下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題試卷

房山區(qū)2024屆高三下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為，若，且，則該雙曲線的離心率為()A． B． C． D．2．已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)相同，則雙曲線漸近線方程為（）A． B．C． D．3．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．的虛部為 B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C．的共軛復(fù)數(shù) D．5．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（）A．8 B． C． D．6．中國(guó)的國(guó)旗和國(guó)徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且，則（）A． B． C． D．7．雙曲線的左右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于，滿足，則該雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．28．已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為（）A． B． C． D．9．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．32010．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（）A．5 B．3 C． D．211．設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．12．已知雙曲線：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，若存在點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．兩光滑的曲線相切，那么它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線方向相同．如圖所示，一列圓(an>0，rn>0，n=1，2…)逐個(gè)外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=___，rn=______14．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是__．15．觀察下列式子，，，，……，根據(jù)上述規(guī)律，第個(gè)不等式應(yīng)該為__________．16．函數(shù)的最小正周期是_______________，單調(diào)遞增區(qū)間是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購(gòu)買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買“小愛同學(xué)”和100名購(gòu)買“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)男4560105女554095合計(jì)100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛同學(xué)”，有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”，試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知矩陣的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.19．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：；（2）設(shè)，在不單調(diào)，且恒成立，求的取值范圍.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.20．（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求的大??；（2）若，求面積的最大值.21．（12分）山東省2020年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績(jī)將由3門統(tǒng)一高考科目成績(jī)和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績(jī)組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語，自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績(jī)采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個(gè)等級(jí)。參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).舉例說明.某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，該學(xué)科C+等級(jí)的原始分分布區(qū)間為58～69，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬C+等級(jí).而C+等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61～70，那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：設(shè)該同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為x，69-6565-58=70-x四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)?yōu)?7.（1）某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布ξ～N(60,12（i）若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，等級(jí)為B+，其所在原始分分布區(qū)間為82～93，求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)；（ii）求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù)；（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取4人，記X表示這4人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（附：若隨機(jī)變量ξ～N(μ,σ2)，則Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.68222．（10分）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，滿足.有三個(gè)條件：①；②；③.其中三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件完成下面兩個(gè)問題：（1）求；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn)，再利用，求出點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，及，代入整理及得，又已知，即可求出離心率．【題目詳解】由題意可知，代入得：，代入雙曲線方程整理得：，又因?yàn)椋纯傻玫?，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于，，的方程或不等式，由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題．2、A【解題分析】

由題意可得，即，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【題目詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同，可得：，即，∴，可得,雙曲線的漸近線方程為：,故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

先化簡(jiǎn)得再求得解.【題目詳解】所以.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4、D【解題分析】

利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為即可得到答案.【題目詳解】因?yàn)椋?，，所以的周期?，故，故的虛部為2，A錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，B錯(cuò)誤；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)，是一道基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，即可求出幾何體的表面積．【題目詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐，如圖，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的底面是正方形,邊長(zhǎng)為2,棱錐的高為2，所以，故選：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，棱錐表面積的計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.6、A【解題分析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問題．【題目詳解】解：.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程得到，，根據(jù)向量關(guān)系化簡(jiǎn)到，得到離心率.【題目詳解】設(shè)，直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，所以，，整理得，故該雙曲線的離心率.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.8、D【解題分析】

設(shè)，，作為一個(gè)基底，表示向量，，，然后再用數(shù)量積公式求解.【題目詳解】設(shè)，，所以，，，所以.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

首先把看作為一個(gè)整體，進(jìn)而利用二項(xiàng)展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【題目詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即為中點(diǎn)到軸的距離.【題目詳解】解：由拋物線方程可知，，即，.設(shè)則，即，所以.所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.11、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.【題目詳解】.選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時(shí)，一般是把已知條件，轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

第一空：將圓與聯(lián)立，利用計(jì)算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系，再將與聯(lián)立，得到，與結(jié)合可得為等差數(shù)列，進(jìn)而可得.【題目詳解】當(dāng)r1=1時(shí)，圓，與聯(lián)立消去得，則，解得；由圖可知當(dāng)時(shí)，①，將與聯(lián)立消去得，則，整理得，代入①得，整理得，則.故答案為：；.【題目點(diǎn)撥】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項(xiàng)公式，綜合性較強(qiáng)，是一道難度較大的題目.14、2【解題分析】

由題，得，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義，即可得到本題答案.【題目詳解】由題，得，又復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

根據(jù)題意，依次分析不等式的變化規(guī)律，綜合可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，對(duì)于第一個(gè)不等式，，則有，對(duì)于第二個(gè)不等式，，則有，對(duì)于第三個(gè)不等式，，則有，依此類推：第個(gè)不等式為：，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理的應(yīng)用，分析不等式的變化規(guī)律．16、，，【解題分析】

化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可．【題目詳解】函數(shù)，最小正周期，令，，可得，，所以單調(diào)遞增區(qū)間是，，．故答案為：，，，．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）多2350人；（2）有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解題分析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購(gòu)買“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；（2）根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.【題目詳解】解：（1）由題可知，100人中購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛同學(xué)”，有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”，估計(jì)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有人.估計(jì)購(gòu)買“天貓精靈”的女性有人.則，∴估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知，，∴有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.18、另一個(gè)特征值為，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量【解題分析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3，可得，再回代到方程即可解出另一個(gè)特征值為，最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.【題目詳解】矩陣的特征多項(xiàng)式為：，是方程的一個(gè)根，，解得，即方程即，，可得另一個(gè)特征值為：，設(shè)對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為：則由，得得，令，則，所以矩陣另一個(gè)特征值為，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量【題目點(diǎn)撥】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項(xiàng)式的計(jì)算形式，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）先求出，又由可判斷出在上單調(diào)遞減，故，令，記，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可；（2）由在上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為在上有解，可得，令，分類討論求的最大值，再求解即可.【題目詳解】（1）已知，，由可得，又由,知在上單調(diào)遞減，令，記，則在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞增；，（2），，在上不單調(diào)，在上有正有負(fù)，在上有解，，，恒成立，記，則，記，，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減.于是知（i）當(dāng)即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)增，，，.（ii）當(dāng)時(shí)，，故不滿足題意.綜上所述，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式，求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即三角形面積的最大值為：【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式、余弦定理解三角形、三角形面積公式應(yīng)用、基本不等式求積的最大值、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等知識(shí)，屬于?？碱}型.21、(1)（i）83.;（ii）272.(2)見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)原始分