2023年甘肅省白銀市九年級(jí)第二次診斷考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

白銀市2023年九年級(jí)第二次診斷考試試題數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.全卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘．2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上．一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)．1.在實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較的法則即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)，∴，∴最小的數(shù)是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)比較大小的法則，熟記實(shí)數(shù)比較大小的法則是解題的關(guān)鍵．2.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則，整式的加減運(yùn)算法則，積的乘方的運(yùn)算法則對(duì)每項(xiàng)判斷即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】解：∵，∴錯(cuò)誤，故項(xiàng)不符合題意；∵，∴錯(cuò)誤，故項(xiàng)不符合題意；∵，∴正確，故項(xiàng)符合題意；∵，∴錯(cuò)誤，故項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則，整式的加減運(yùn)算法則，積的乘方的運(yùn)算法則，掌握同底數(shù)冪的乘運(yùn)算法則和同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3.在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形概念求解．【詳解】解：A、不軸對(duì)稱圖形；

B、不是軸對(duì)稱圖形；

C、是軸對(duì)稱圖形；

D、不是軸對(duì)稱圖形；

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．4.已知是方程組的解，則a﹣b的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方程組解的定義將代入方程組，得到關(guān)于a，b的方程組．兩方程相減即可得出答案．【詳解】∵是方程組的解，∴．兩個(gè)方程相減，得a﹣b=4．故選：D．5.下面命題正確的是（）A.矩形對(duì)角線互相垂直B.方程的解為C.六邊形內(nèi)角和為D.一對(duì)直角三角形，有一組斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形全等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，配方法解一元二次方程的方法，多邊形內(nèi)角和定理，直角三角形全等的判定即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)，矩形的對(duì)角線相互平分，不是相互垂直，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)，方程的解為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)，六邊形內(nèi)角和為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)，直角三角形全等的判定方法是“斜邊直角邊”，故選項(xiàng)正確，符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查相關(guān)知識(shí)的綜合，掌握矩形的性質(zhì)，配方法解一元二次方程的方法，多邊形內(nèi)角和定理，直角三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，，交于點(diǎn)E，若線段，則線段的長(zhǎng)為（）A.7.5 B.10 C.12 D.15【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線截三角形相似得到，得到，代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線截三角形相似，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.把不等式組中每個(gè)不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示出來，正確的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：先求出不等式組中各個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸確定不等式組的解集．詳解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，將兩不等式解集表示在數(shù)軸上如下：故選B．點(diǎn)睛：本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集時(shí)要注意解集的確定原則：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解了．8.如圖，在中，為弦，于點(diǎn)D，，過點(diǎn)A作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由切線的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵于D，，∴，∵是的切線，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．9.如圖，這是一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡，分別架在墻體的點(diǎn)B，C處，且，側(cè)面四邊形為矩形．若測(cè)得，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)平角的定義求出的度數(shù)，再用三角形內(nèi)角和定理可求得；【詳解】解：四邊形為矩形，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握這些定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，在正方形的邊上，分別按，的方向，都以的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)終止，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，則下列圖象中能大致表示與的函數(shù)關(guān)系的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形，分情況討論：①時(shí)，根據(jù)，列出函數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象；②時(shí)，根據(jù)列出函數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象，再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)即可得解．【詳解】①當(dāng)時(shí)，∵正方形的邊長(zhǎng)為，∴；②當(dāng)時(shí)，，所以，與之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項(xiàng)，只有A選項(xiàng)圖象符合，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意，分別求出兩個(gè)時(shí)間段的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分．11.計(jì)算的結(jié)果是_________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．詳解】解：．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，注意：．12.分解因式：=__________．【答案】##【解析】【分析】先提取公因式a，再用平方差公式分解．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．13.如圖，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，當(dāng)時(shí)，______．【答案】##50度【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到和的關(guān)系，從而可以得到的度數(shù)，然后根據(jù)，即可得到的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．14.某公司10名職工的3月份工資統(tǒng)計(jì)如下，該公司10名職工3月份工資的中位數(shù)是______元．工資/元5000520054005600人數(shù)/人1342【答案】5400【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念求解．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：5000，5200，5200，5200，5400，5400，5400，5400，5600，5600，則中位數(shù)為：．故答案為：5400．【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)的知識(shí)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．15.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根的判別式大于或等于零求解即可．【詳解】解：由題意得1+4m≥0，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式?=b2﹣4ac與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當(dāng)?>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)?=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)?<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．16.已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖像上，則，，的大小關(guān)系是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)比例函數(shù)（為常數(shù)，且）中，，圖像在第二、四象限，根據(jù)圖像所在象限的特點(diǎn)即可求解．【詳解】解：∵比例函數(shù)（為常數(shù)，且）中，，∴圖像在第二、四象限，當(dāng)時(shí)，圖像在第二象限，函數(shù)值大于零，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，∴在點(diǎn)，中，，當(dāng)時(shí)，圖像在第四象限，函數(shù)值小于零，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，∴在點(diǎn)，中，，，綜上所述，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖像，掌握反比例函數(shù)圖像的位置，增減性是解題的關(guān)鍵．17.如圖是某風(fēng)景區(qū)的一個(gè)圓拱形門，路面寬為，凈高，則圓形拱門所在圓的半徑為_____．【答案】【解析】【分析】如圖所示，連接，設(shè)⊙O的半徑為r，則，利用垂徑定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)⊙O的半徑為r，則，∵，∴，由勾股定理，得：，即：，解得，∴圓拱形門所在圓的半徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．18.如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，，則線段的長(zhǎng)為______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，求出，解直角三角形求出，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理和解直角三角形，能熟記菱形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．三、解答題（一）：本大題共5小題，共38分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．19.解方程：x(2x﹣5)＝2x﹣5．【答案】x1＝，x2＝1【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：（2x－5）（x－1）＝0x1＝，x2＝1【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是移項(xiàng)后利用提公因式進(jìn)行因式分解．20.化簡(jiǎn)：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是注意運(yùn)算順序和約分．21.如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：在邊上求一點(diǎn)P，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）作線段的垂直平分線交邊即可；（2）先證，，得，利用兩角分別相等的兩個(gè)三角形全等即可得證．【小問1詳解】解：如圖．點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)，【小問2詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴∽．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線以及相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．22.如圖，輪船沿正南方向以海里/時(shí)的速度勻速航行，在處觀測(cè)到燈塔在其南偏西方向上，航行小時(shí)后到達(dá)處，觀測(cè)到燈塔在其南偏西方向上，若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近的位置，求此時(shí)輪船離燈塔的距離（由科學(xué)計(jì)算器得到，，，）．【答案】（海里）【解析】【分析】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，即該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近的位置為點(diǎn)處，根據(jù)題意可算出的距離，是等腰三角形，在中根據(jù)三角函數(shù)的計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，即該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近的位置為點(diǎn)處，（海里），∵，，，∴，∴，∴是等腰三角形，即海里，∵，∴（海里）．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握方位角的知識(shí)，三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．23.為了響應(yīng)國(guó)家開展“中小學(xué)生課后服務(wù)”的政策，某學(xué)校在課后服務(wù)活動(dòng)中開設(shè)了A.書法，B.剪紙，C.足球，D.乒乓球，共四門課程供學(xué)生選修，每門課程被選到的機(jī)會(huì)均等．（1）小軍選修的課程是籃球這一事件是________.（填序號(hào)）①不可能事件②必然事件③隨機(jī)事件（2）若小軍和小彬兩位同學(xué)各計(jì)劃選修一門課程，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求兩人恰好同時(shí)選修球類課程的概率．【答案】（1）①（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)隨機(jī)事件的概念：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件進(jìn)行解答即可；（2）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出小明和小剛兩人恰好選球類的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【小問1詳解】解：小軍選修的課程是籃球這一事件是不可能事件，故答案為：①；小問2詳解】解：

解：畫樹狀圖如圖：

共有16個(gè)等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人恰好同時(shí)選修球類的有4種，則兩人恰好同時(shí)選修球類的概率是．【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．也考查了隨機(jī)事件．四、解答題（二）：本大題共5小題，共50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．24.為了解同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額，校園小記者隨機(jī)調(diào)查了本校部分同學(xué)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出了如下兩個(gè)尚不完整的統(tǒng)計(jì)表.調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)表組別分組（單位：元）人數(shù)4162調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖請(qǐng)根據(jù)以上圖表，解答下列問題：（1）這次被調(diào)查的同學(xué)共有人，，；（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形的圓心角的度數(shù)；（3）若該校共有學(xué)生1000人，請(qǐng)估計(jì)每月零花錢的數(shù)額在范圍的人數(shù).【答案】（1）50；28；8；（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)B組的頻數(shù)是16，對(duì)應(yīng)的百分比是32%，據(jù)此求得調(diào)查的總?cè)藬?shù)，利用百分比的意義求得b，然后求得a的值，m的值；（2）利用360乘以對(duì)應(yīng)的比例即可求解；（3）利用總?cè)藬?shù)1000乘以對(duì)應(yīng)的比例即可求解．【詳解】（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)是16÷32%＝50（人），則b＝50×16%＝8，a＝50?4?16?8?2＝20，A組所占的百分比是＝8%，則m＝8．a(chǎn)＋b＝8＋20＝28．故答案是：50，28，8；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形C的圓心角度數(shù)是360×＝；（3）每月零花錢的數(shù)額x在范圍的人數(shù)是1000×＝（人）．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，觀察統(tǒng)計(jì)表、扇形統(tǒng)計(jì)圖獲得有效信息是解題關(guān)鍵，扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體百分比大小．25.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）請(qǐng)直接寫出不等式的解集．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出a值，從而得出反比例函數(shù)解析式；由勾股定理得出OA的長(zhǎng)度從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；（2）觀察第一象限雙曲線在直線下方的部分自變量的范圍即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；∵，，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，∴點(diǎn)．把點(diǎn)、代入中，得，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）不等式，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值，∵，令，則，∴點(diǎn)；由圖象知反比例函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像的上方在點(diǎn)的左側(cè)，直線AB與x軸交點(diǎn)的右側(cè)，∴不等式的解集為．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．26.如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC相交于點(diǎn)D、E，連接AD．過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為4，∠CDF＝22.5°，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）4π﹣8【解析】【分析】(1)連接AD、OD，則AD⊥BC，D為BC中點(diǎn)．OD為中位線，則OD∥AC，根據(jù)DF⊥AC可得OD⊥DF得證；(2)連接OE，利用(1)的結(jié)論得∠ABC＝∠ACB＝67.5°，易得∠BAC＝45°，得出∠AOE＝90°，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結(jié)論．【詳解】(1)證明：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又AB＝AC，∴D是BC的中點(diǎn)，連接OD，由中位線定理，知DO∥AC，又DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切線；(2)連接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，∵⊙O的半徑為4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8，∴S陰影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8，故答案為4π﹣8．【點(diǎn)睛】本題考考查了圓的綜合知識(shí)，圓的切線的證明，等腰三角形的性質(zhì)和面積計(jì)算，扇形的面積計(jì)算，平行的性質(zhì)應(yīng)用，掌握?qǐng)A的知識(shí)概念是解題的關(guān)鍵．27.如圖，在中，，于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在邊上，且，連接，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接．（1）求證：；（2）試判斷的形狀，并說明理由．（3）若，，則______．【答案】（1）見解析（2）是等腰直角三角形．見解析（3）4【解析】【分析】（1）先證明，可得是等腰直角三角形，從而得到，可證明，即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，，從而得到，再由，可得，從而得到，可證明，可得，即可；（3）根據(jù)是等腰直角三角形，可得，再證得四邊形是平行四邊形，可得，從而得到，即可．【小問1詳解