廣義對(duì)稱思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

廣義對(duì)稱思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用一、

什么是廣義對(duì)稱數(shù)學(xué)上通常講的對(duì)稱是指對(duì)稱的圖形、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、對(duì)稱方法和輪換對(duì)稱式等,但它們不過(guò)是對(duì)稱的滄海一粟。我們這里所說(shuō)的“廣義對(duì)稱”是指的是一種思想，所謂的對(duì)稱就是平衡，它是指，世界上一切事物，都處在它該處的位置，這是一種哲學(xué)思想。對(duì)稱就是和諧、是美。它著重追求的是數(shù)學(xué)對(duì)象乃至整個(gè)數(shù)學(xué)體系的合理，勻稱與協(xié)調(diào)。數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)方程式，數(shù)學(xué)結(jié)論甚至數(shù)學(xué)方法中，都蘊(yùn)含著奇妙的對(duì)稱性。廣義對(duì)稱的含義是相對(duì)深刻而廣泛的。“廣義對(duì)稱思想”對(duì)中學(xué)生很有幫助和益處,它有別于其它數(shù)學(xué)思想方法,有自己的優(yōu)勢(shì)和獨(dú)特之處,對(duì)學(xué)生的思想品質(zhì)、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)有很大幫助和作用。通過(guò)對(duì)廣義對(duì)稱思想的學(xué)習(xí)和探究可以鍛煉學(xué)生的思維、拓展學(xué)生的視野、豐富學(xué)生的想象、造就學(xué)生強(qiáng)大的數(shù)學(xué)頭腦……二、

如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用廣義對(duì)稱思想1、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中通過(guò)正反對(duì)稱思考來(lái)尋找解決問(wèn)題的途徑初中代數(shù)學(xué)習(xí)了大量公式，含有等號(hào)的公式兩邊幾乎都是可逆的，經(jīng)常用互逆（可看成思考方式和習(xí)慣的一種廣義對(duì)稱）的思想來(lái)考慮問(wèn)題，可以使我們更容易弄清知識(shí)間的相互聯(lián)系和共同本質(zhì)。比如有關(guān)冪的運(yùn)算相關(guān)公式：am·an==am+n

(am)n=amn

(ab)n=anbn(n為正整數(shù)).am÷an=am-n例如

比較大小.(1)1625與290；(2)2100與375.(分析)

比較兩個(gè)正數(shù)冪的大小，一種是指數(shù)相同，比較底數(shù)大小，另一種是底數(shù)相同，比較指數(shù)大小.解：(1)∵1625=(24)25=2100，290=290，又∵2＞1，∴290＜2100，即1625＞290.(2)∵2100=(24)25=1625，375=(33)25=2725，且16＜27，∴1625＜2725，即2100＜375.（3）比較355，444，533的大小.∵355=(35)11=24311，444=(44)11=25611，533=(53)11=12511，且256＞243＞125，∴25611＞24311＞12511，即444＞355＞533.上面這些題目都是通過(guò)逆向應(yīng)用公式來(lái)解決問(wèn)題的，所以從正反對(duì)稱的方向來(lái)思考問(wèn)題是廣義對(duì)稱思想應(yīng)用的重要方面。這樣的公式和運(yùn)算律還有很多：

2、利用機(jī)會(huì)地位均等的廣義對(duì)稱思想來(lái)思考問(wèn)題(1)利用廣義對(duì)稱的思想理解和記憶公式①完全平方公式：(a+b+c)2

=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac因?yàn)楦鶕?jù)廣義對(duì)稱的思想a、b、c三個(gè)字母在等式左邊位置概率均等，因此在等式右邊出現(xiàn)的機(jī)會(huì)概率位置均等，在這樣的視角下看這個(gè)公式記憶起來(lái)非常簡(jiǎn)。三項(xiàng)的理解通了之后，兩項(xiàng)的完全平方公式(a+b)2

=a2+b2+2ab就更簡(jiǎn)單了，結(jié)合統(tǒng)一的思想(a-b)2

=a2+（-b）2+2a（-b）=a2+b2-2ab也可以看成a與（-b）的和的平方；這樣的公式非常多都可以結(jié)合“廣義對(duì)稱”的思想來(lái)理解記憶。③余弦定理：a2=b2+c2-2bcCosA

CosA=(c2+b2-a2)/2bc

b2=a2+c2-2acCosB

CosB=(a2+c2-b2)/2ac

c2=a2+b2-2abCosC

CosC=(a2+b2-c2)/2ab對(duì)于公式

c2=a2+b2-2abCosC

，

在△ABC中邊a和邊b對(duì)于c來(lái)說(shuō)，地位是平等的所以在等式右端，a2

和b2只能是同號(hào)，哪怕都是負(fù)的，于情理上也說(shuō)得過(guò)去，但不能一正一負(fù)，第三項(xiàng)中兩條邊的乘積，只能是a·b,而不能是a·c或b·c，否則對(duì)于a、b就是不就平等的了，同樣，只能再乘上cosC，使a、b都不出現(xiàn)，這對(duì)a、b也是平等的。④三角形面積公式關(guān)于三角形面的公式，無(wú)論是哪個(gè)公式對(duì)三角形的三條邊和三角形的三個(gè)角都具有廣義對(duì)稱性，對(duì)于公式一，為了得出面積單位，a2應(yīng)當(dāng)在分子上，只要在記住sinC，sinB,sinA三個(gè)正弦值有兩個(gè)在分子上，由于在與a的關(guān)系上，∠B和∠C的地位是平等的，那么sinC，sinB就不宜一個(gè)在分子另一個(gè)在分母上，sinA自然在分母上。對(duì)于公式二、三、四，由于對(duì)于R來(lái)說(shuō)，A，B，C的地位是平等的，所以sinC，sinB,sinA及a、b、c三個(gè)字母要么都在分子上，要么都在分母上。我們根據(jù)這一特性很容易就可以把公式記下來(lái)。⑤三角函數(shù)公式

三角函數(shù)的相關(guān)公式結(jié)合廣義對(duì)稱思想

·兩角和與差的三角函數(shù)cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化積公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·積化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]以上公式結(jié)合廣義對(duì)稱的思想和統(tǒng)一的思想，從對(duì)稱的角度整體上來(lái)看這些公式就變得非常簡(jiǎn)單。（2）利用幾何圖形的位置均等和元素均等，進(jìn)行一題多解和多解歸一?！鰽BC中三個(gè)頂點(diǎn)、三條邊、三個(gè)角位置均等，凡是一點(diǎn)、一邊或一角能辦到的事情，其他的邊或角就都能辦到，所以下列證明方法，都可以變換不同的頂點(diǎn)和邊來(lái)添加不同的輔助線，這樣就使很多表面看起來(lái)不同的證法得到歸一。從更廣義的角度看，三角形中的頂點(diǎn)、角、邊這三個(gè)元素也可以看成是對(duì)稱的，當(dāng)我們解決問(wèn)題時(shí)，就可以變換不同的元素角度來(lái)思考問(wèn)題。比如：在頂點(diǎn)構(gòu)造平角、在邊上構(gòu)造平角、在三角形內(nèi)構(gòu)造平角、三角形外構(gòu)造平角，這樣就可以使我們充分的打開思路，找到更多的解決問(wèn)題的方法。比如：在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，就可以按照這樣的思考找到很多思路。通過(guò)探究，可以得出以下幾種輔助線的作法（還有很多不一一例舉）：①

如圖1，延長(zhǎng)BC得到一平角∠BCD，然后以CA為一邊，在△ABC的外部畫∠1=∠A。

②

如圖1，延長(zhǎng)BC，過(guò)C作CE∥AB③

如圖2，過(guò)A作DE∥AB

④

如圖3，過(guò)C作CD∥AB。

(3)利用關(guān)系式中變?cè)膶?duì)稱來(lái)尋找解題思路

分析與略解：

顯然方程組關(guān)于x、ｙ、ｚ對(duì)稱，其結(jié)果也應(yīng)關(guān)于x、y、z對(duì)稱。若方程只有一組解，則必有x＝ｙ＝ｚ,此時(shí)由①有x＝ｙ＝z=2，代入②、③皆不成立，所以(A)錯(cuò)。若方程有兩組解，則與方程組關(guān)于x、ｙ、ｚ具有的對(duì)稱性矛盾，所以(B)也不對(duì)。若方程有三組解，則x＝ｙ≠ｚ應(yīng)成立,此時(shí)由①，ｚ＝6-2x，代入②得3x2-12x+13＝0,但由于△＝-12＜0，此方程無(wú)解，(C)也錯(cuò)。故應(yīng)選(D)。解后反思：當(dāng)x、ｙ、ｚ為兩兩不等的實(shí)數(shù)時(shí)，這三個(gè)數(shù)的每一個(gè)排列對(duì)應(yīng)于這樣的方程的一組解，這樣的排列共6組，故方程組應(yīng)有6ｋ(ｋ∈Ｎ)組解。實(shí)際上，1、2、3的6組不同排列就分別是上述方程的6組解。例2、分解因式x4+(x+y)4+y4分析：這是一個(gè)二元對(duì)稱式,二元對(duì)稱式的基本對(duì)稱式是x+y,xy任何二元對(duì)稱多項(xiàng)式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對(duì)稱多項(xiàng)式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解.對(duì)稱式的因式分解在一個(gè)含有若干個(gè)元的多項(xiàng)式中,如果任意交換兩個(gè)元的位置,多項(xiàng)式不變,這樣的多項(xiàng)式叫做對(duì)稱多項(xiàng)式.

解

∵x4+y4

=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy3

=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.

∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4

=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2

=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]

=2[(x+y)2-xy]2=2（x2+

xy+

y2）2（4）利用圖形或位置的的對(duì)稱性，從追求和諧、追求美的角度來(lái)尋找解題思路例1．如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部。試說(shuō)明：∠APB＞∠APC。解：作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)P1，連接PP1并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，因?yàn)椤鰽BC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD⊥BC于點(diǎn)D，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱，又因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)P1關(guān)于AD對(duì)稱，點(diǎn)A在AD上，所以△ABP與△ACP1關(guān)于AD對(duì)稱，所以∠APB=∠AP1C因?yàn)椤螮P1C是△PP1C的外角，所以∠EP1C＞∠EPC，同理∠EP1A＞∠EPA，所以∠AP1C＞∠APC，所以∠APB＞∠APC。例2.四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABCD所在平面上的點(diǎn)，試說(shuō)明：點(diǎn)E與正方形相鄰兩頂點(diǎn)能否構(gòu)成等邊三角形？若能，有幾個(gè)？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解題思路：

當(dāng)點(diǎn)E與A、B構(gòu)成等邊三角形時(shí)，由軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)E應(yīng)在邊AB的中垂線上，且∠EAB=60°，滿足這一條件的點(diǎn)E有：在正方形ABCD內(nèi)部，在正方形ABCD外部?jī)煞N情形。同樣點(diǎn)E也可以分別與B、C；C、D；A、D構(gòu)成等邊三角形，故共有8個(gè)。

[說(shuō)明]這一問(wèn)題，有一部分學(xué)生會(huì)漏解。利用廣義對(duì)稱的思想體會(huì)到：“點(diǎn)E在正方形內(nèi)部”與“點(diǎn)E在正方形外部”地位相同，只要想到其中一種情況就應(yīng)想到另一種；同樣“點(diǎn)E與B、C構(gòu)成三角形”、“點(diǎn)E與C、D構(gòu)成三角形”、“以E為A、B構(gòu)成三角形”及“點(diǎn)E與B、D構(gòu)成三角形”這四者的地位也是等同的，因此想到其中一種情況就應(yīng)聯(lián)想到其它三種情況，這樣就會(huì)避免漏解現(xiàn)象。

例3、2010年北京市中考第25題

25.

問(wèn)題：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值．

請(qǐng)你完成下列探究過(guò)程：

先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明．

（1）當(dāng)∠BAC=900時(shí)，依問(wèn)題中的條件補(bǔ)全右圖．

觀察圖形，AB與AC的數(shù)量關(guān)系為________；

當(dāng)推出∠DAC=150時(shí)，可進(jìn)一步推出∠DBC的度數(shù)為_______；可得到∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值為_________．

（2）當(dāng)∠BAC≠900時(shí)，請(qǐng)你畫出圖形，研究∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值是否與（1）中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明．

在2010年中考時(shí)很多優(yōu)秀的學(xué)生都沒(méi)有把這道題完整解答下來(lái)。在（2）問(wèn)中影響學(xué)生順利解題最大障礙就是如何添加輔助線構(gòu)造圖形，很多學(xué)生處理2倍角問(wèn)題的習(xí)慣用法是構(gòu)造外角，用這個(gè)思路，很多學(xué)生遇到了障礙。如果結(jié)合本題的實(shí)際情況，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=CD，這樣在圖中就存在了“對(duì)稱”的基礎(chǔ)，而原圖形是不對(duì)稱的，從追求對(duì)稱、追求和諧、追求美的角度來(lái)看這道題，把△ADB沿△ADC的對(duì)稱軸翻折就很容易構(gòu)造出等腰梯形ABKC，圖形構(gòu)造出來(lái)后，對(duì)于平時(shí)學(xué)習(xí)比較優(yōu)秀的學(xué)生在看這道題就簡(jiǎn)單了。

3、利用廣義對(duì)稱思想構(gòu)造對(duì)偶式把不對(duì)稱的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱來(lái)解決例1、已知α,β是方程x2+3x-1=0的兩根，不解方程,求2α+3β的值。根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可知：α+β=-3

αβ=-1，設(shè)M=2α+3βN=2β+3α則M+N=5（α+β）=-15，MN=（2α+3β）（2β+3α）=13αβ+6（α2+β2）=αβ+6（α+β）2=-3+6=3例2、計(jì)算：S=1+2+3+……+100構(gòu)造對(duì)偶式：2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+……+(100+1)=101×100÷2=5050由上面的兩個(gè)例子可以看出在廣義對(duì)稱的思想指導(dǎo)下，通過(guò)構(gòu)造對(duì)偶，把不對(duì)稱的知識(shí)變成對(duì)稱的來(lái)解決，可以使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。三、

怎樣才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用好廣義對(duì)稱的思想1、要有追求對(duì)稱、追求美、追求和諧的意識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的廣義對(duì)稱處處皆是,步步有它。因?yàn)樗馕吨虾跚槔?。?shù)學(xué)的美,是它的高度嚴(yán)謹(jǐn)和合理而達(dá)到的和諧,是一種令人神怡的內(nèi)在和諧。

因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，一定要努力跳出知識(shí)來(lái)看知識(shí)，把追求美、追求和諧、作為數(shù)學(xué)學(xué)的重要追求，這樣我們才能很好的利用廣義對(duì)稱的思想，在追求和諧、追求美的過(guò)程中、把數(shù)學(xué)問(wèn)題很好的解決。2、利用好數(shù)學(xué)中對(duì)稱的基本概念，從直觀對(duì)稱入手來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。對(duì)稱又是一個(gè)數(shù)學(xué)概念.初中學(xué)生所熟悉的有代數(shù)中的對(duì)稱式，幾何中的軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱等，更一般情況是，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題所涉及的對(duì)象具有\(zhòng)o"對(duì)稱性"對(duì)稱性，不僅包括幾何圖形中的對(duì)稱，而且泛指某些對(duì)象在有些方面如圖形、關(guān)系、地位等同彼此相對(duì)又相稱.

這樣就會(huì)對(duì)具有基本對(duì)稱元素的數(shù)學(xué)問(wèn)題養(yǎng)成用對(duì)稱的思想來(lái)觀察的意識(shí)。3、用對(duì)稱的思考方法來(lái)變換角度思考問(wèn)題教學(xué)中，我們要常給學(xué)生進(jìn)行一些變式