2021-2022學年初三（上）期中考試數(shù)學試卷 (五)與詳細參考答案

2020-2021學年河南省南陽市某校初三（上）期中考試數(shù)學試卷

一、選擇題

1.方程%2=%的解是（）

】

A.%=3,x2=—3B.%i=1,x2=0

C.xt=1,x2=-1D.%i=3,x2=—1

2.下列計算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.2+V3=2^3C.3V5-V5=3D歷段=1

V3

3.將一元二次方程/-8x-5=0化成（x+a）2=b（a,b為常數(shù)）的形式，則a,b

的值分別是（）

A.-4,21B-4,11C.4,21D.-8,69

4.下面四組線段中，成比例的是（）

A.a=2,b=3,c=4,d=5

B.a=1,b=2,c=2,d=4

C.a=4,b=6,c=5,d=10

D.a=V2,b=V3,c=3,d=\[2

5.如圖，△ABC是等邊三角形，點D,E分別在BC,AC上，B.Z.ADE=60°,48=9,

BO=3,則CE的長等于（）

BgClD.2

6.如圖，在平面直角坐標系中，RtACMB的斜邊。4在第一象限，并與x軸的正半軸夾

角為30。，為。4的中點，BC=1,則點A的坐標為（)

A.(V3,V3)B.(V3,1)C.(2,1)D.(2,V3)

7.直線，:y=(m—3)x+n-2（m,n為常數(shù)）的圖象如圖，化簡：|m-3|一

C.-lD.m+九一5

8.在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算國;其規(guī)則為Q團b=2a一爐，則方程（2團1）團久=-10的

解為（）

A.±4B.±3C.±2D.±l

9.如圖，在△48C中，乙1BC=9O。，AB=8cm,BC=6cm.動點P,Q分別從點4B

同時開始移動，點P的速度為lcm/秒，點Q的速度為2cm/秒，點Q移動到點C后停止，

點P也隨之停止運動.下列時間瞬間中，能使△PBQ的面積為15sn2的是（）

A.2秒鐘B.3秒鐘C.4秒鐘D.5秒鐘

10.如圖，在矩形ABCD中，點E為4。上一點，且4B=8,4E=3,BC=4,點P為

4B邊上一動點，連接PC,PE,若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的

試卷第2頁，總21頁

個數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

二、填空題

若二次根式斥右有意義，貝收的取值范圍是________.

觀察表格，一元二次方程/-尤-1.1=0最精確的一個近似解是（精確到

0.1).

X1.31.41.51.61.71.81.9

X2—X—1.1-0.71-0.54-0.35-0.140.090.340.61

如圖,AZOB三個頂點的坐標分別為4（5,0）,0（0,0）,8（3,6）,以點。為位似中心,

將44。8縮小為原來的|,則點B的對應(yīng)點的坐標是_______.

如圖，一根豎直的木桿在離地面3m處折斷，木桿頂端落在地面上，且與地面成37。角,

則木桿折斷之前高度約為m.（參考數(shù)據(jù):sin37°?0.60,cos37。?0.80,

tan370?0.75）

你知道嗎？對于一元二次方程，我國古代數(shù)學家還研究過其幾何解法，以方程一+

5x-14=0,即x（x+5）=14為例加以說明.數(shù)學家趙爽（公元3~4世紀）在其所

著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是構(gòu)造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是

（%+x+5）2,其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4x14+52,

據(jù)此易得x=2.那么在下面右邊三個構(gòu)圖（矩形的頂點均落在邊長為1的小正方形網(wǎng)

格格點上）中，能夠說明方程x2-4x-12=0的正確構(gòu)圖是（填序號）.

三、解答題

已知y=77^8+倔=三+18,求代數(shù)式近-方的值.

畫圖題.在下面的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1.請畫出符合下列要求的圖形：

圖I圖2

（1）圖1中將三角形4的各條邊按1:3放大，得到三角形B；

（2）圖2中將長方形。的各條邊按2:1縮小，得到長方形O.

某市新區(qū)某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為250元，每桶水的進價

是5元，規(guī)定銷售單價不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，調(diào)查發(fā)現(xiàn)日均銷售量p

（桶）與銷售單價》（元）的函數(shù)圖象如圖所示.

（1）求日均銷售量p（桶）與銷售單價4（元）的函數(shù)關(guān)系；

（2）若該經(jīng)營部希望日均獲利1350元，那么銷售單價是多少？

試卷第4頁，總21頁

如圖，RtAZBC中，44cB=90。，AC=BC.P為△ABC內(nèi)部一點，且NZPB=

乙BPC=135°.

(1)求證：&PAB?4PBe；

(2)求證：PA=2PC.

被譽為“中原第一高樓”的鄭州會展賓館(俗稱“玉米樓”)坐落在風景如畫的如意湖畔,

也是來鄭州觀光的游客留影的最佳景點.學完了三角函數(shù)知識后，劉明和王華決定用

自己學到的知識測量“玉米樓”的高度.如圖，劉明在點C處測得樓頂B的仰角為45。，王

華在高臺上的。處測得樓頂?shù)难鼋菫?0°.若高臺OE高為5米，點。到點C的水平距離

EC為47.4米A,C,E三點共線,求“玉米樓”4,的高度.(參考數(shù)據(jù)：sin40°?0.64,

cos40"?0.77,tan40°?0.84,結(jié)果保留整數(shù)).

閱讀材料：各類方程的解法

求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.求解二元一次

方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為

解二元一次方程組.求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.求解分

式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必

須檢驗.各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學思想-轉(zhuǎn)化，把未

知轉(zhuǎn)化為已知.

用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想，我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程/+/一

2x=0,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為X(X2+X-2)=0,解方程x=0和％2+%一

2=0,可得方程婷+/一2x=0的解.

2

(1)問題：方程式+x-2x=0的解是Xi=0,x2=x3=；

(2)拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程=x的解；

探索一個問題：“任意給定一個矩形4是否存在另一個矩形8,它的周長和面積分別

是已知矩形周長和面積的一半？”(完成下列空格)

(1)當已知矩形4的邊長分別為6和1時，小亮同學是這樣研究的：

設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y,

由題意得方程組：\X+y=2'

Ixy=3,

消去丫化簡得：2x2-7x+6=0,

,/4=49-48>0,

??X1=--------1x2=--------?

；?滿足要求的矩形B存在.

(2)如果已知矩形4的邊長分別為2和1,請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的

矩形B.

(3)如果矩形力的邊長為m,n,請你研究滿足什么條件時，矩形B存在？

(1)如圖1,菱形力EGH的頂點E,“在菱形ABCD的邊上，且484。=60。，請直接寫出

HD:GC:EB的結(jié)果；(不必寫計算過程)

(2)將圖1中的菱形AEGH繞點4旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2,求HD:GC:EB；

(3)把圖2中的菱形都換成矩形，如圖3,且4D:AB=4H:4E=1:2,此時HD:GC:EB

的結(jié)果與(2)小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果(不必寫

計算過程)；若無變化，請說明理由.

試卷第6頁，總21頁

參考答案與試題解析

2020-2021學年河南省南陽市某校初三(上)期中考試數(shù)學試卷

一、選擇題

1.

【答案】

B

【考點】

解一元二次方程-因式分解法

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：原方程可化為/一工=0,

即x(x-1)=0,

所以x=?；騲-1=0,

解得與=1,x2=0.

故選B.

2.

【答案】

D

【考點】

二次根式的加法

二次根式的混合運算

二次根式的減法

【解析】

根據(jù)二次根式的加減法對4、B、C進行判斷；利用二次根式的混合運算法則對。行判斷.

【解答】

解：4或與舊不能合并，故A選項錯誤；

B,2與遮不能合并，故B選項錯誤；

C.3\/5-V5=2V5,故。選項錯誤；

故選。,

3.

【答案】

A

【考點】

解一元二次方程-配方法

【解析】

將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可

得出答案.

【解答】

解：：x2-8x-5=0,

x2—8%=5,

則/-8X+16=5+16,即(x-4)2=21,

a———4,b=21.

故選4

4.

【答案】

B

【考點】

比例線段

【解析】

如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段.對選

項一一分析，排除錯誤答案.

【解答】

解：4,2x5力3x4,故選項錯誤；

B,Ix4=2x2,故選項正確；

C,4x10K5x6,故選項錯誤；

D,V2X3V2xV3,故選項錯誤.

故選B.

5.

【答案】

D

【考點】

等邊三角形的性質(zhì)

相似三角形的性質(zhì)與判定

【解析】

通過△4BD?AOCE,可得篙=欲即可求解.

CDCE

【解答】

解：???△ABC是等邊三角形，

???AB=BC=9,/-ABC=乙ACB=60°,

???BD=3,

JCD=6,

Z.ADC=^.ABC-V^BAD,

Z.ADC=Z-ADE+乙CDE=Z-ACD+ACDE,

：.乙BAD=Z.CDE,

.*?△ABDDCE,

,AB_BD

**CD~~CE'

-9_3

??6-CE1

???CE=2.

故選。.

6.

【答案】

試卷第8頁，總21頁

B

【考點】

坐標與圖形性質(zhì)

直角三角形斜邊上的中線

含30度角的直角三角形

【解析】

根據(jù)題畫出圖形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AB的值，再根

據(jù)勾股定理可得。8的值，進而可得點4的坐標.

【解答】

解：如圖，過點4作軸，與％軸交于點

RtAOAB的斜邊04在第一象限，并與x軸的正半軸夾角為30。,

，2。。=30°,

1

AD=^0A,

C為。4的中點，

AD=-0A=AC=0C=BC=1,

2

：.OA=2,

OD=V3,

則點4的坐標為：(V3,1).

故選B.

7.

【答案】

D

【考點】

一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

絕對值

二次根式的性質(zhì)與化簡

【解析】

先從一次函數(shù)的圖象判斷巾-3的正負值，n-2的正負值，然后再化簡原代數(shù)式.

【解答】

解：由直線/：y=(m-3)x+n-2(m,n為常數(shù))的圖象可知，

m-3>0,n—2<0,

|m-3|-Jn2-4n+4

=m—3—'(九一2產(chǎn)

=ni—3+7i—2

=m4-n—5.

故選D

8.

【答案】

A

【考點】

解一元二次方程-直接開平方法

定義新符號

【解析】

根據(jù)新定義列出方程，利用直接開平方法解出方程.

【解答】

解：方程（2團1）團％=-10,

所以（2x2-12）12刀=-10,

所以3團％=-10,

所以2*3--=-10,

整理得,x2=16,

解得，%=±4.

故選4

9.

【答案】

B

【考點】

動點問題

三角形的面積

一元二次方程的應(yīng)用一一幾何圖形面積問題

【解析】

設(shè)運動時間為"然后用含t的代數(shù)式表示出BP和BQ的長，最后根據(jù)面積公式即可列方

程解答.

【解答】

解：設(shè)運動時間為t秒時，△PBQ的面積為15cm2,

BP=8—t,BQ=2t,

根據(jù)題意，得與2=15,

解方程，得匕=3,12=5（舍去）.

當t=5時，BQ=2x5=10>6=BC,

不符合題意，舍去，

所以當運動時間為3秒時，APBQ的面積為15c/n2.

故選8.

10.

【答案】

C

【考點】

相似三角形的性質(zhì)

【解析】

設(shè)AP=x,則8P=8—匕分△PAE?APBC和APAE?ACBP兩種情況，根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

試卷第10頁，總21頁

【解答】

解：設(shè)AP=x,則BP=8-x,

當APAE?APBC時，翌=第

解得，x=y；

當A/VIE?△CBP時，翌=鐵,

解得，x=2或6,

可得滿足條件的點P的個數(shù)有3個.

故選C.

二、填空題

【答案】

【考點】

二次根式有意義的條件

【解析】

根據(jù)二次根式有意義的條件計算即可.

【解答】

解:?:二次根式斥權(quán)有意義，

:.3—4%>0,

解得x<*

故答案為：xS*

【答案】

1.7

【考點】

估算一元二次方程的近似解

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：由表格可知，

當x=1.7時，x2-x-l.l=0.09與/-%-1.1=0最接近.

故答案為：17

【答案】

(2,4)或(一2,-4)

【考點】

坐標與圖形性質(zhì)

位似的有關(guān)計算

【解析】

利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】

,/AOAB-AOA'B',相似比為3:2,8(3,6),

B'(2,4),根據(jù)對稱性可知，△。4'夕'在第三象限時，B"(-2,-4),

滿足條件的點夕的坐標為(2,4)或(―2,-4).

故答案為：(2,4)或(一2,-4).

【答案】

8

【考點】

解直角三角形的應(yīng)用

【解析】

在RM4PC中，由4C的長及sinB的值可得出力8的長，即可解答.

【解答】

解：如圖：

AC=3m,Z-B=37°,

AABC=--A--C-y—3=5l(/m)、,

sm3700.6'八

???木桿折斷之前高度=AC+AB=3+5=8(m).

故答案為：8.

【答案】

②

【考點】

一元二次方程的應(yīng)用

一元二次方程的解

【解析】

仿造案例，構(gòu)造面積是(x+x-4)2的大正方形，由它的面積為4x12+42,可求出x

=6,此題得解.

【解答】

試卷第12頁，總21頁

解：：/一4%一12=0即％(x-4)=12,

???構(gòu)造如圖②中大正方形的面積是(x+x-4)2,

???它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，

4x12+42=(%+%-4)2,

解得x=6.

故答案為：②.

三、解答題

【答案】

解：由題意得，x—8>0,8—x>0,

則x=8,y-18,

Vx-7?=V8-V18=2>/2-3V2=-y/2.

【考點】

二次根式有意義的條件

二次根式的混合運算

【解析】

根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，求出工、乂根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可.

【解答】

解：由題意得，x—8>0,8—x>0,

則x=8,y-18,

Vx-5/y=V8-V18=2V2-3V2=-y/2.

【答案】

解：(1)如圖，三角形B即為所求：

【考點】

作圖-位似變換

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：（1）如圖，三角形B即為所求：

【答案】

解：（1）設(shè)日均銷售量p（桶）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系為p=kx+b,

解得k=-50,b=850,

所以日均銷售量P（桶）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系為p=-50x+850.

（2）根據(jù)題意得（x-5）（-50x+850）-250=1350,

解得與=9,外=13.

銷售單價不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，

x-13不合題意，

答：若該經(jīng)營部希望日均獲利1350元，那么銷售單價是9元.

【考點】

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

一元二次方程的應(yīng)用一一利潤問題

【解析】

（1）設(shè)日均銷售P什甬）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系為：P=kx+b（k芋0）,把

（7,500）,（12,250）代入，得到關(guān)于一b的方程組,解方程組即可；

（2）設(shè)銷售單價應(yīng)定為x元，根據(jù)題意得，（％-5）”—250=1350,由（1）得到

p=-50x+850,于是有（％-5）-（-50工+850）-250=1350,然后整理，解方程得

到%=9,x2=13,滿足7<%<12的x的值為所求；

【解答】

試卷第14頁，總21頁

解：(1)設(shè)日均銷售量p(桶)與銷售單價X(元)的函數(shù)關(guān)系為P=kx+b,

根據(jù)題意得｛配宣需

解得k=-50,b=850,

所以日均銷售量P(桶)與銷售單價x(元)的函數(shù)關(guān)系為p=-50x+850.

(2)根據(jù)題意得(x-5)(-50x+850)-250=1350,

解得X]=9,x2=13,

V銷售單價不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，

x=13不合題意，

答：若該經(jīng)營部希望日均獲利1350元，那么銷售單價是9元.

【答案】

證明:⑴；Z.ACB=90°,AB=BC,

：./.ABC=45°=4PBA+乙PBC,

又乙4PB=135°,

/.PAB+/.PBA=45°,

乙PBC=4PAB,且NAPB=Z.BPC=135°,

△PAB-△PBC.

(2)V4PAB?4PBC,

.?.-P-A-=_--P-B-=_--A-B-

PBPCBC

在RtAABC中，BC=AC,

：.AB=y[2BC,

：.PB=V2PC,PA=V2PB,

：.PA=2PC.

【考點】

相似三角形的判定

相似三角形的性質(zhì)與判定

【解析】

(1)由三角形的內(nèi)角和定理可證APBC=NP4B,即可證APABSAPBC；

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得案=賓=槳，且AB=&BC,可得結(jié)論.

rDrC&C

【解答】

證明：(I)：乙ACB=90°,AB=BC,

：./.ABC=45°=Z.PBA+乙PBC,

又ZJ1PB=135°,

.??"/8+"84=45°,

???乙PBC=^PAB,且乙4PB=NBPC=135。，

???APAB?△PBC.

(2)VAPAB?APBC、

,PA_PB_AB

??PB~PC~BC'

在RM48C中，BC=AC,

：.AB=V2BC,

JPB=V2PC,PA=y/2PB,

???PA=2PC.

【答案】

解：作DM148于M,交BC于F,作CG1DM于G,

設(shè)=x米，

由題意得，DG=47,4,CG=5,Z,BFM=45°,Z.BDM=40°,

貝IJG〃=CG=5,DF=DG+GF=52.4,FM=BM=%,

BMx

DM=

tanz.BDM0.84'

'/DM-FM=DFt

----x=52.4,

0.84

解得，x?275,

275+5=280（米）.

【考點】

解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

【解析】

作于M,交BC于凡作CG_LDM于G,設(shè)BM=x米，根據(jù)題意和正切的定義

表示出DM、FM,列出方程，計算即可.

【解答】

解：作DM148于M,交BC于F,作CG1DM于G,

B

ECA

設(shè)BM=x米，

由題意得，DG=47.4,CG=5,^BFM=45°,/.BDM=40°,

IjJljGF=CG=5,DF=DG+GF=52.4,FM=BM=x、

DCM,,=---B-M--4

tanz.BDM0.84'

???DM-FM=DFt

Xx—52.4,

0.84

試卷第16頁，總21頁

解得，x?275,

275+5=280(米).

【答案】

-2,1

(2)V2x+3=x,

方程的兩邊平方，得2x+3=/.

即/—2%—3=0,

(x-3)(x+1)=0,

%—3=0或％+1=0,

X1=3,x2=-1,

當x=-1時，V2x+3=Vl=1*-1,

所以-1不是原方程的解.

所以方程房不I=x的解是x=3.

【考點】

一元二次方程的應(yīng)用

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：⑴/+%2—2%=0,

x(x2+x—2)=0,

x(x+2)(x-1)=0,

所以x=0或x+2=0或x—1=0,

X-L=0,%2=-2,x3=1.

故答案為：-2；1.

(2)V2x+3=x,

方程的兩邊平方，得2x+3=%2,

即X2—2x—3=0,

(%-3)(x+1)=0,

x—3=0或x+1=0,

Xi=3,x2=-1,

當x=-1時，V2x+3="=1*-1,

所以-1不是原方程的解.

所以方程A/2X+3=x的解是x=3.

【答案】

21-2

(2)設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y,

由題意得卜+y=￡

Uy=1,

消去y,化情得2/-3%+2=0,

4=9-16<0,

???不存在矩形8.

(3)設(shè)所求矩形的兩邊分別為％和y,

(.m+n

%+y=——>

由題意得

(劃=fmn

消去丫化簡得2產(chǎn)-(m+n)x+mn=0,

要使矩形B存在,則4=(m-n)2-4mn>0.

即4=(m-n)2-4mn>。時，矩形B存在.

【考點】

一元二次方程的應(yīng)用

根的判別式

【解析】

首先根勾股定理求得B的長，后三函數(shù)的定義即可求解.

【解答】

解：(1)由上可知(x-2)(2%-3)=0,

r3

=

X1=2,X22-

故答案為：2；|,

(2)設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y,

由題意得卜+y=T'

Uy=1,

消去y,化簡得2/-3%+2=0,

,/4=9-16<0,

?,?不存在矩形8.

(3)設(shè)所求矩形的兩邊分別為％和y,

.rn+n

X+y=r>

mn

1孫二三，

消去丫化簡得2--(m+n)x4-mn=0,

要使矩形B存在，=(m-n)2-4mn>0.

即/=(m-n)2-4mn>0時，矩形B存在.

【答案】

圖1

??,菱形AEGH的頂點E,H在菱形A8CD的邊上，且乙84。=60。，

￡.GAE=Z.CAB=30°,AE=AH,AB=ADy

???A,G,C共線，AB-AE=AD-AH,

：.HD=EB,

延長HG交BC于點M,延長EG交DC于點N,連接MN,交GC于點0,貝IjGMGV也為菱形,

JGC1MN,4NG。=乙AGE=30°,

...—=cos30°=—,

GN2

GC=2OG,

.GN_1

??GCV5,

試卷第18頁，總21頁

"GND為平行四邊形，

/.HD=GN,

：.HD:GC:EB=1：V3:1.

(2)如圖2,連接4G,AC,

DC

圖2

???AAOC和AAHG都是等腰三角形，

AD-.AC=AH-.AG=1:^3,ADAC=^HAG=30°,

：.^DAH=^CAG,

/.△DAHCAG,

JHD:GC=AD:AC=1：V3,

???Z.DAB=Z.HAE=60°,

JADAH=Z.BAE,

在△D4H和△BAE中，

AD=ABr

Z-DAH=乙BAE,

AH=AEf

：.△DAH=△BAEVAS)

：.HD=EB,

：.HD-.GC-.EB=1：V3:1.

(3)有變化.如圖3,連接AG,AC,

圖3

'/AD\AB=AH\AE=1:2,乙ADC=^AHG=90°,

：.XADC?〉A(chǔ)HG、

：.AD-.AC=AH'.AG=1:^5,

???ADAC=Z.HAG,

：.Z-DAH=^CAGt

：.ADAH?△C4G,

，HD:GC=AD:AC=1：V5,

???^DAB=^HAE