3 常見(jiàn)特殊矩陣

1.3常見(jiàn)特殊矩陣

上三角矩陣

初等變換矩陣

對(duì)稱矩陣正交矩陣內(nèi)積空間精選課件我們盡量采用如下記號(hào)：用大寫(xiě)英文字母表示矩陣，如A,B,…用小寫(xiě)英文字母加上下標(biāo)表示矩陣的元素，如a11,b2n,…用小寫(xiě)英文字母表示向量，如x,y,z,…用小寫(xiě)希臘字母表示標(biāo)量，如a,b,l,m,…精選課件1.上三角矩陣In表示n階單位矩陣(identitymatrixofordern)；ei表示In的第i列；對(duì)角矩陣(diagonalmatrix)：A=diag(a11,a22,…,ann)上三角矩陣(uppertriangularmatrix)下三角矩陣(lowertriangularmatrix)上(下)三角矩陣的特征值就是對(duì)角元；上(下)三角矩陣的逆矩陣仍然是上(下)三角矩陣；分塊(block)對(duì)角矩陣：A=diag(A11,A22,…,Akk)；分塊(block)上(下)三角矩陣；分塊上(下)三角矩陣的特征值是各對(duì)角塊矩陣特征值的并集，其逆矩陣仍然是分塊上(下)三角矩陣。精選課件2.初等變換矩陣第一類：A1=diag(1,…,1,a,1,…,1)；第二類：A2=I+beiejT；第三類：A3=[e1,…,ei-1,ej,ei+1,…,ej-1,ei,ej+1,…,en]；左行右列A1-1=diag(1,…,1,1/a,1,…,1)；A2-1=I-beiejT；A3-1=A3。分塊形式初等變換矩陣。例1設(shè)A∈Cm×n，B∈Cn×m，證明：AB和BA的非零特征值完全相同，而且重?cái)?shù)也相同。此外還有det(Im+AB)=det(In+BA)。精選課件3.對(duì)稱矩陣(a)實(shí)對(duì)稱矩陣和復(fù)Hermite矩陣設(shè)A∈Rn×n，如果滿足A=AT，那么稱A為對(duì)稱矩陣(symmetricmatrix)。記做A∈SRn×n。對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。設(shè)A∈Rn×n，如果滿足A=-AT，那么稱A為反對(duì)稱矩陣(skew-symmetricmatrix)。反對(duì)稱矩陣的特征值只能是純虛數(shù)或0。設(shè)A∈Cn×n，如果滿足A=A*，那么稱A為Hermite矩陣(Hermitianmatrix)；如果滿足A=-A*，那么稱A為反Hermite矩陣(skew-Hermitianmatrix)。精選課件(b)正定矩陣設(shè)A∈SRn×n，如果對(duì)任意x∈Rn都有xTAx>0，那么稱A為對(duì)稱正定(symmetricpositivedefinite)矩陣。對(duì)稱正定矩陣的特征值都是正數(shù)。以下條件都等價(jià)：1.A是正定矩陣；2.A的所有順序主子式都大于0；3.存在非奇異矩陣C，使得A=CCT；把正定矩陣定義中的xTAx>0改成xTAx<0，那么稱A是負(fù)定(negativedefinite)矩陣。記做A<0。負(fù)定矩陣的特征值都是負(fù)數(shù)。記做A>0。4.A對(duì)稱，且所有特征值都是正數(shù)。精選課件設(shè)A∈SRn×n，如果對(duì)任意x∈Rn有xTAx≥(≤)0，那么稱A為半正(負(fù))定(semipositive/negativedefinite)矩陣，記做A≥(≤)0。對(duì)稱半正定矩陣的特征值都大于等于0。以下條件都等價(jià)：1.A是半正定矩陣；2.A的所有順序主子式都大于等于0；3.存在矩陣C，使得A=CCT；設(shè)A是復(fù)Hermite矩陣，如果對(duì)任意x∈Cn都有x*Ax>(<,≥,≤)0，那么稱A為正定(負(fù)定，半正定，半負(fù)定)矩陣。4.A對(duì)稱，且所有特征值都非負(fù)。精選課件4.正交矩陣設(shè)Q∈Rn×n，如果QTQ=QQT=I，那么稱Q為正交(orthogonal)矩陣。正交矩陣一定可逆，且Q-1=QT。設(shè)Q1,Q2是正交矩陣，那么Q1-1,Q1Q2,diag(Q1,Q2)也都是正交矩陣。1.Givens變換：可以通過(guò)一系列的Givens變換把任意非零向量變成e1的倍數(shù)。精選課件2.Householder變換：任給單位向量u，定義H=I-2uuT，那么H被稱為Householder矩陣。對(duì)任意非零向量x，y，總可以找到一個(gè)Householder矩陣H，使得Hx=ay。H滿足：HT=H，H2=I，det(H)=-1。特別的可以取y=e1。設(shè)U∈Cn×n，如果滿足U*U=UU*=I，那么稱U為酉(unitary)矩陣。酉矩陣與正交矩陣有著類似的性質(zhì)。精選課件5.內(nèi)積空間(歐式空間)設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。如果對(duì)于V中任意兩個(gè)向量x,y，可以定義一個(gè)二元運(yùn)算<x,y>，并且滿足：交換性<x,y>=<y,x>；分配律<x,y+z>=<x,y>+<x,z>；齊次性<kx,y>=k<x,y>，k∈R；非負(fù)性<x,x>≥0，且等號(hào)只有當(dāng)x=0時(shí)才成立。那么稱這個(gè)二元運(yùn)算是內(nèi)積，V稱為Euclid空間，或歐式空間，或內(nèi)積空間。上述定義可以推廣到復(fù)數(shù)域C上。精選課件1.V=Rn，<x,y>=xTy；2.V=Cn，<x,y>=x*y；3.V=Cn，<x,y>=xTy；不是內(nèi)積

4.V=Rn×n，<A,B>=tr(ABT)；5.V=C[a,b]，；6.V=Rn，A>0，<x,y>=xTAy；在歐式空間中，稱非負(fù)實(shí)數(shù)