matlab 最優(yōu)捕魚策略

為保護人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源〔如漁業(yè)、林業(yè)等資源〕的開發(fā)必須適度。一種合理、簡化的策略是，在實現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最正確效益?？紤]對某種魚的最優(yōu)捕撈策略。假設(shè)這種魚分4個年齡組：稱一齡魚、二齡魚、三齡魚、四齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.99(克〕;各年齡組魚的自然死亡率均為0.8〔/年〕；這種魚季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為為1.109×105〔個〕，3齡魚產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月；卵孵化并成活為1齡魚，成活率為〔1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比〕1.22×1011/(1.22×1011+n).漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期的前8個月內(nèi)進行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力〔如魚船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等〕固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱為捕撈強度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強度系數(shù)之比為0.42:1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。最優(yōu)捕魚策略

編輯課件

〔1〕建立數(shù)學(xué)模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕撈〔即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變)，并且在此前提下得到最高年收獲量〔捕撈總重量〕?！?〕某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞。承包時各年齡組魚群數(shù)量分別為：122，29.7，10.1，3.29〔×109條〕。如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司采用怎樣的策略才能使總收獲量最高。編輯課件〔1〕假設(shè)只考慮一種魚的繁殖和捕撈，魚群增長過程中不考慮魚的遷入與遷出.模型的假設(shè)〔2〕假設(shè)各年齡組的魚在一年內(nèi)的任何時間都會發(fā)生自然死亡，產(chǎn)卵可在后四個月內(nèi)任何時間發(fā)生.〔3〕假設(shè)3、4齡魚全部具有生殖能力，或者雖然雄魚不產(chǎn)卵，但平均產(chǎn)卵量掩蓋了這一差異.〔4〕假設(shè)各年齡組的魚經(jīng)過一年后，即進入高一級的年齡組，但4齡魚經(jīng)過一年后仍視為4齡魚.〔5〕假設(shè)對魚的捕撈用固定努力量捕撈方式，每年的捕撈強度系數(shù)保持不變，且捕撈只在前八個月進行.編輯課件

Ni(t)—t時刻i齡魚的數(shù)量

Ni0(k)—第k年初i齡魚的數(shù)量Ni1(k)___第k年底i齡魚的數(shù)量(i=1，2，3，4)

r—魚的自然死亡率c—4齡魚的平均產(chǎn)卵量(那么c/2為3齡魚的平均產(chǎn)卵量)Qk—k年度魚產(chǎn)卵總量p—魚卵的成活率

Mi—第i齡魚的平均重量(i=1，2，3，4)

Ei—第i齡魚的捕撈強度系數(shù)ai—對i齡魚的年捕撈量(i=3，4〕W—年總收獲量，即W=M3a3+M4a4

WW—5年的總收獲量為，即符號說明編輯課件模型的建立第一步得出根本模型給出第k年底i齡魚的數(shù)量Ni1(k)與第k年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k)之間的遞推關(guān)系給出年度捕魚量給出第k+1年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k+1)與第k年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k+1)的遞推關(guān)系由條件，可得〔E為捕撈努力量〕第二步得出最終模型根據(jù)可持續(xù)捕撈的要求,給出約束條件及其目標(biāo)函數(shù)編輯課件r為自然死亡率，其定義為單位時間內(nèi)死亡的魚的數(shù)量與魚的總量之比。由于不捕撈1、2齡魚，所以在[t，t+Δt]內(nèi)，根據(jù)死亡率的定義，變形得解得從而(1)第一步〔時間以年為單位，考慮一年內(nèi)各齡魚數(shù)量的演化〕編輯課件對于3、4齡魚由于捕撈在前8個月進行，因此在前8個月內(nèi)，捕撈與死亡均影響魚的變化，因而微分方程變形為(2)由(2)式解得從而對于3、4齡魚由于后四個月無捕撈，只有自然死亡，所以在后四個月其數(shù)量演化的方程為(3)解得從而編輯課件由于僅在前八個月捕撈,且僅捕撈3齡魚和4領(lǐng)魚，而且捕撈強度系數(shù)表示的是單位時間內(nèi)捕撈量與各年齡組魚群總量成正比的比例系數(shù)，所以對i齡魚的年捕撈量為從而一年內(nèi)捕魚總收獲量為編輯課件由于每年各齡魚的演化規(guī)律相同，且捕撈模式相同，綜上可得：第k年底i齡魚的數(shù)量Ni1(k)對第k年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k)的遞推關(guān)系第k年的年度捕魚收獲量(4)(5)編輯課件由各齡魚之間的年齡增長關(guān)系,并假定產(chǎn)卵在年底一次完成,利用關(guān)系式(4)得從而第k+1年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k+1)與第k年初i齡魚的數(shù)量Ni0(k)的遞推關(guān)系為(6)(5)式是每年捕魚的總收獲量，式(6)刻劃了魚群各年齡組每年的變化情況，它們一起構(gòu)成了根本模型。編輯課件〔1〕為了實現(xiàn)可持續(xù)的最大捕撈〔即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變〕，即要求的前提下獲得最高年收獲量。結(jié)合根本模型，即可得到年度產(chǎn)量最優(yōu)模型：(7)其中約束條件第二個等號說明各組魚群條數(shù)及產(chǎn)卵量均與k無關(guān)。第二步編輯課件優(yōu)化模型〔7〕中的約束條件與k無關(guān)，故可把k丟掉，并利用E3=0.42E4，把目標(biāo)函數(shù)和約束條件同時化簡得(7’)注意到四個約束條件中含五個變量,因此從約束方程組可用符號計算軟件解出Ni0(i=1，2，3，4),它們都是E4的函數(shù),從而目標(biāo)函數(shù)就是E4的一元函數(shù).問題最終歸結(jié)為一元函數(shù)的極值問題.該模型也可完全通過數(shù)值迭代求解！即：E4從0開始，逐漸增加，逐個計算W，挑出使W最大的E4。編輯課件%最優(yōu)捕魚策略ch431

%文件名：ch431.m

x=sym('x');

E3=0.42*x;

d=1.22*10^11;

r=0.8;

q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x))));

N10=d*q/(d+q);

N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));

a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r);

a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)))*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));供參考的MATLAB計算程序模型的求解編輯課件M3=17.86;M4=22.99;M=M3*a3+M4*a4;M1=-M;

M10=char(M);

M11=char(M1);

fplot(M10,[0,100])

E4=fmin(M11,0,100);

E3=0.42*E4;

d=1.22*10^11;

r=0.8;

q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*E4)/(1-exp(-(r+2/3*E4))));

N10=d*q/(d+q);

N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4)));編輯課件a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r);

a4=E4/(r+E4)*(1-exp(-2/3*(r+E4)))*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4)));

M3=17.86;M4=22.99;

E3

E4

M=M3*a3+M4*a4;

Max=M

N1=N10%各年齡組魚的數(shù)量

N2=N1*exp(-r)

N3=N2*exp(-r)

N4=N40

執(zhí)行后輸出

編輯課件E3=7.335

E4=17.4664

Max=3.8886e+11

各年齡組數(shù)為

N1=1.1958e+11

N2=5.3730e+10

N3=2.4142e+10

N4=8.1544e+7

編輯課件圖4-5年度總捕獲量隨捕撈強度E4的變化曲線E4W(g)編輯課件(2)針對漁業(yè)公司的5年固定努力量的捕撈方案，我們在各年齡組魚初始條數(shù)的前提下，利用迭代方程(6)可逐次求得以后各年齡組魚的初始條數(shù)，以及各年的年度捕撈收獲量，這些量都是E4的函數(shù)。數(shù)值解得WWmax=1.6057×1012gE4=17.58E3=7.383W1=1.6057×1012gW2=1.6057×1012gW3=1.6057×1012gW4=1.6057×1012gW5=1.6057×1012g建模過程完了嗎？編輯課件模型檢驗合同要求五年后魚群的生產(chǎn)能力不能收到太大的破壞，那么我們所得的解是否滿足要求呢？這就要做模型檢驗。

為了分析對魚群的生產(chǎn)能力的破壞程度，通常認為在天然情況下，魚的生態(tài)系數(shù)總能趨于平衡，而對魚的捕撈，使魚的數(shù)量偏離了其平衡點。因而可以用五年捕撈后魚群數(shù)量恢復(fù)所需的年數(shù)來衡量對魚的生產(chǎn)能力的破壞程度。

在刻劃了魚群各年齡組每年的變化情況的迭代式(6)中，令Ei=0，并讓Ni0(k+1)=Ni0(k)得無捕撈下的平衡點：N1=1.21981×1011，N2=5.48098×1011，

N3=2.46276×1011，N4=2.00953×1011.由于無捕撈時，Ni(t)呈指數(shù)分布，可以認為當(dāng)Ni(t)≥sqrt(2)/2Ni時魚群已恢復(fù)生產(chǎn)力。而魚恢復(fù)得越快，即對魚的生產(chǎn)能力破壞越少，因此我們可以認為捕撈結(jié)束后的四年(魚的一個生長周期)內(nèi)恢復(fù)生產(chǎn)能力，那么捕撈就對魚的生產(chǎn)能力沒有破壞！編輯課件

為了驗證所得到的使得五年捕撈量最大的E4符合不對魚生產(chǎn)力造成較大破壞的要求，又通過計算來觀察打工經(jīng)過5年捕撈及停止捕撈后魚的數(shù)量的恢復(fù)過程。畫圖可知停止捕撈后兩年魚的生產(chǎn)力就會得到恢復(fù)，所以我們可以認為沒有破壞生產(chǎn)力，這是一個可接受的策略(詳細請見P238)。模型評價本模型