專題05 手拉手旋轉(zhuǎn)模型（原卷版）（人教版）

專題05手拉手旋轉(zhuǎn)模型【基本模型】應(yīng)用：通過輔助線利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形解決問題。【例題精講】例1．（基本模型1）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．例2．（基本模型2）如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由．例3．（作輔助線方法1）已知在中，，過點(diǎn)B引一條射線，D是上一點(diǎn)【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學(xué)展示的做法是：在上取一點(diǎn)E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請(qǐng)你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當(dāng)射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當(dāng)射線在下方，如圖3所示，請(qǐng)問的度數(shù)會(huì)變化嗎?若不變，請(qǐng)說明理由，若改變，請(qǐng)求出的度數(shù)；例4．（作輔助線2）點(diǎn)為外一點(diǎn)，，．(1)如圖1，，，求證：；(2)如圖2，若，，，求證：；例5．（最值問題）在△ABC中，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線的右側(cè)作等邊，連接CE，當(dāng)線段CE的長度最小時(shí)，線段的長度為．例6．（培優(yōu)綜合）如圖1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)A作AE⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F．（1）求證：∠EAD＝∠CBD；（2）求證：BF＝2AE；（3）如圖2，將△BCF沿BC翻折得到△BCG，連接AG，請(qǐng)猜想并證明線段AG和AB的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與、重合），把線路繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．

(3)如圖3，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請(qǐng)說明理由．

(4)設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．2．已知，在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想如圖①，若點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，則線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______________；線段DE與DF的位置關(guān)系是______________．（2）類比探究如圖②，若點(diǎn)E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）解決問題如圖③，若點(diǎn)E、F分別為AB、CA延長線的點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的面積．3．有如下一道作業(yè)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，以C為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形CEF，DF．求證：△BCE≌△DCF．（1）請(qǐng)你完成這道題的證明：（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)N是邊CD上一點(diǎn)，CM＝CN，連接DM，連接FC．①求證：∠BFC＝45°．②把FC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到FP，連接CP（如圖3）．求證：BF＝CP+DF．4．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、不在一條直線上，請(qǐng)判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請(qǐng)用含的式子表示）【課后訓(xùn)練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D為三角形右側(cè)外一點(diǎn)．且∠BDC＝45°．連接AD，若△ACD的面積為，則線段CD的長度為．2．如圖，是邊長為5的等邊三角形，，．E、F分別在AB、AC上，且，則三角形AEF的周長為．3．等腰直角三角形ABC中，，，且△ABC的面積為16，過點(diǎn)B作直線，點(diǎn)G是直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AG，將AG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段AH，連接BH，則線段BH的最小值為．4．（1）如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并證明：線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請(qǐng)判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．5．如圖，四邊形中，已知，且．(1)求證：；(2)記的面積為，的面積為．①求證：；②過點(diǎn)B作的垂線，過點(diǎn)A作的平行線，兩直線相交于M，延長至P，使得，連接．當(dāng)取得最大值時(shí)，求的大?。?．在中，，為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，則______°；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點(diǎn)，滿足．為直線上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為______，并證明．7．在ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）（請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上：①如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，則∠BCE＝°；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．8．如圖1，，，MN是過點(diǎn)A的直線，過點(diǎn)D作于點(diǎn)B，連接CB；過點(diǎn)C作，與MN交于點(diǎn)E．(1)連接AD，AD是AC的______倍；(2)直線MN在圖1所示位置時(shí)，可以得到線段