橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)3 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第三章圓錐曲線的方程3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)復(fù)習(xí)回顧標(biāo)準(zhǔn)方程圖象范圍對(duì)稱性

頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)焦距離心率-a≤x≤a，-b≤y≤b關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(±a，0)、(0，±b)(c，0)、(-c，0)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b.a>b(±b，0)、(0，±a)(0，c)、(0，-c)(e越接近于1越扁)-b≤x≤b，-a≤y≤a橢圓的幾何性質(zhì)2c由橢圓的第二定義可得到橢圓的幾何性質(zhì)如下：橢圓的第二定義：

平面內(nèi)，到定點(diǎn)F(c，0)的距離與它到定直線

的距離之比是常數(shù)

(a>c>0)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓一、直線與橢圓位置關(guān)系例題講解1、如圖，已知直線l：4x-5y+m=0和橢圓C：.m為何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)？(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？(3)沒(méi)有公共點(diǎn)？消去y，得25x2+8mx+m2-225=0，①方程①的根的判別式△=64m2-4×25(m2-225)，oxylF1F2

由△>0，得-25<m<25.此時(shí)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).

由△=0，得m1=25，m2=-25.此時(shí)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C有且只有公共點(diǎn).

由△<0，得m<-25，或m>25.此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn).直線與橢圓的位置關(guān)系及判斷:1、相離:2、相切:3、相交:直線與橢圓無(wú)交點(diǎn)直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定△<0?方程組無(wú)解?相離?無(wú)交點(diǎn)△=0?方程組有一解?相切?一個(gè)交點(diǎn)△>0?相交?方程組有兩解?兩個(gè)交點(diǎn)消去一個(gè)未知數(shù)mx2+nx+p=0(m≠0)由方程的根判別式△=n2-4mp判斷這是求解直線與二次曲線有關(guān)問(wèn)題的通法.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系及判斷:1、點(diǎn)在橢圓外2、點(diǎn)在橢圓上3、點(diǎn)在橢圓內(nèi)點(diǎn)P(x0，y0)、橢圓隨堂練習(xí)1、直線y=x+1與橢圓恒有公共點(diǎn)，求m的取值范圍。消去y，得(m+5)x2+10x+5-5m=0，因?yàn)楹阌泄颤c(diǎn)，所以△≥0，得100-4×(m+5)(5-5m)≥0，解得m≥0或m≤-4又因?yàn)閙>0且m≠5所以m>0且m≠5隨堂練習(xí)2、直線y=kx+1與橢圓

恒有公共點(diǎn)，求m的取值范圍。所以m≥1且m≠5解析：因?yàn)橹本€y=kx+1恒過(guò)點(diǎn)(0，1)，所以只要點(diǎn)(0，1)在橢圓上或其內(nèi)部即可解得m≥1因?yàn)閙≠5隨堂練習(xí)3、已知橢圓

，直線l：4x-5y+40=0.橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線l的距離最小?最小距離是多少?oxylm思考：直線與橢圓會(huì)相交嗎？為什么？解：設(shè)直線m平行于l，則m可寫(xiě)成：4x-5y+k=0，消去y，得25x2+8ky+k2-225=0，由△=0，得64k2-4×25(k2-225)=0，問(wèn)題：最大的距離呢？解得k1=25，k2=-25，由圖可知k=25，直線m與橢圓的交點(diǎn)到直線l的距離最近，設(shè)為d，則二、弦長(zhǎng)問(wèn)題例題講解2、如圖，已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓

的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng).解：∵a2=4，b2=1BAOF設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)小結(jié)：求直線y=kx+b被橢圓所截弦長(zhǎng)計(jì)算公式：設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線的斜率為k，則當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，|AB|=|y1-y2|隨堂練習(xí)4、已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點(diǎn)為F，求過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).解析：將橢圓5x2+9y2=45化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得右焦點(diǎn)F(2，0)所以過(guò)點(diǎn)F(2，0)且斜率為1的直線為y=x-2設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)消去y，得14x2-36x-9=0，隨堂練習(xí)5、已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作傾斜角為

的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求△F1AB的面積分析：先畫(huà)圖熟悉題意，點(diǎn)F1到直線AB的距離易知，要求S△F1AB，關(guān)鍵是求弦長(zhǎng)AB.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組隨堂練習(xí)5、已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作傾斜角為

的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求△F1AB的面積∴直線AB的方程為y=x-1設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，消去y，并化簡(jiǎn)得3x2-4x=0，∵點(diǎn)F1到直線AB的距離三、弦中點(diǎn)問(wèn)題例題講解3、已知橢圓

，求過(guò)點(diǎn)

且被P平分的弦所在的直線方程．解：設(shè)所求直線的斜率為k，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理得∵P是弦中點(diǎn)，∴x1+x2=1所以所求直線方程為2x+4y-3=0待定系數(shù)法(設(shè)出弦AB的方程)是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的通用解法.應(yīng)熟練掌握.三、弦中點(diǎn)問(wèn)題例題講解3、已知橢圓

，求過(guò)點(diǎn)

且被P平分的弦所在的直線方程．解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是弦的兩個(gè)端點(diǎn)故所求弦AB的方程是2x+4y－3＝0設(shè)而不求(將弦AB的斜率看成一個(gè)整體)是解決中點(diǎn)弦的常用解法隨堂練習(xí)6、已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與直線x+y-1=0交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，OM的斜率為0.25，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程．解：由題意，設(shè)橢圓方程為

，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)得(1+a)2x2-2a2x=0隨堂練習(xí)7、中心在原點(diǎn)一個(gè)焦點(diǎn)為

的橢圓截直線y=3x-2所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

，求橢圓的方程．分析：根據(jù)題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用中點(diǎn)公式求得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后解關(guān)于a，b的方程組即可．解：設(shè)所求橢圓的方程為把直線方程代入橢圓方程，整理得(a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0，設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系得解①、②得：a2=75，b2=25課后練習(xí)1、求橢圓

上一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)連線互相垂直.解：橢圓的焦點(diǎn)c2=a2-b2=9-4=5，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(xp，yp)點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)連線互相垂直，即PF1⊥PF2，∴k1×k2=-1課后練習(xí)2、橢圓

的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)連線成鈍角時(shí)，求P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍解：橢圓的焦點(diǎn)c2=a2-b2=9-4=5，F(xiàn)1F2AByxO課后練習(xí)3、已知橢圓

的焦點(diǎn)為F1、F2，在直線l：x+y-6=0上找一點(diǎn)M，求以F1、F2為焦點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)M且長(zhǎng)軸最短的橢圓方程分析:∵橢圓的焦點(diǎn)為(-2，0)，(2，0)關(guān)鍵是怎樣求出橢圓的長(zhǎng)軸大小.F1F2OyxF1′HM課后練習(xí)3、已知橢圓