【高中數(shù)學(xué)】一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)第2課時(shí) 高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)

1第8章《成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析》人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（第2課時(shí)）1.進(jìn)一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，會(huì)用相關(guān)統(tǒng)計(jì)軟件.2.了解非線性回歸模型.3.會(huì)通過分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果.學(xué)習(xí)目標(biāo)例經(jīng)驗(yàn)表明，一般樹的胸徑（樹的主干在地面以上1.3m處的直徑）越大，樹就越高由于測(cè)量樹高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹高，在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)，某林場(chǎng)收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)（表8.2-3），試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．編號(hào)123456胸徑/cm18.120.122.224.426.028.3樹高/m18.819.221.021.022.122.1編號(hào)789101112胸徑/cm29.632.433.735.738.340.2樹高/m22.422.623.024.323.924.7環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題胸徑/cm樹高/m圖8.2-9解：以胸徑為橫坐標(biāo)、樹高為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，得到圖8.2-9．在圖8.2-9中，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關(guān)系.胸徑/cm樹高/m圖8.2-10根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由表8.2-3中胸徑的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出樹高的預(yù)測(cè)值（精確到0.1）以及相應(yīng)的殘差，如表8.2-4所示編號(hào)胸徑/cm樹高觀測(cè)值/m樹高預(yù)測(cè)值/m殘差/m118.118.819.35-0.6220.119.219.85-0.7322.221.020.370.6424.421.020.920.1526.022.121.320.8628.322.121.900.2729.622.422.220.2832.422.622.92-0.3933.723.023.24-0.21035.724.323.740.61138.323.924.39-0.51240.224.724.86-0.2胸徑/cm殘差/m圖8.2-11以胸徑為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，得到圖8.2-11.觀察殘差表和殘差圖，可以看到，殘差的絕對(duì)值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對(duì)稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi)．可見經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程由胸徑預(yù)測(cè)樹高．問題人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動(dòng)員稱為“百米飛人”．表8.2-5給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù)，試依據(jù)這些成對(duì)數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．表8.2-5編號(hào)12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念紀(jì)錄/s年份圖8.2-12以成對(duì)數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo)，世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，得到圖8.2-12．在圖8.2-12中，散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程．用Y表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄，t表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份，利用一元線性回歸模型來刻畫世界紀(jì)錄和世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系．根據(jù)最小二乘法，由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為tY/s圖8.2-13將經(jīng)驗(yàn)回歸直線疊加到散點(diǎn)圖，得到圖8.2-13tY/s觀察：從圖8.2-13中可以看到，經(jīng)驗(yàn)回歸方程①較好地刻畫了散點(diǎn)的變化趨勢(shì)，請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)觀察圖形，你能看出其中存在的問題嗎？以經(jīng)驗(yàn)回歸直線為參照，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的不足之處，以及散點(diǎn)的更為精細(xì)的分布特征，例如，第一個(gè)世界紀(jì)錄所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)回歸直線，并且前后兩時(shí)間段中的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的上方，中間時(shí)間段的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的下方，這說明散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗(yàn)回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對(duì)樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念你能對(duì)模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎？表8.2-6編號(hào)12345678x0.002.833.263.563.714.114.174.29Y/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95如果表8.2-6對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征，我們就可以借助一元線性回歸模型和新的成對(duì)數(shù)據(jù)，對(duì)參數(shù)c1和c2作出估計(jì)，進(jìn)而可以得到Y(jié)關(guān)于t的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程．xY/s圖8.2-14在直角坐標(biāo)系中畫出表8.2-6中成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖8.2-14所示，散點(diǎn)的分布呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征．xY/s圖8.2-15再在圖8.2-14中畫出(*)式所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線，得到圖8.2-15．圖8.2-15表明，經(jīng)驗(yàn)回歸方程(*)對(duì)于表8.2-6中的成對(duì)數(shù)據(jù)具有非常好的擬合精度．將圖8.2-15習(xí)圖8．2-13進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)和之間的線性相關(guān)程度比原始樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度強(qiáng)得多．在同一坐標(biāo)系中畫出成對(duì)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖、非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的圖象（藍(lán)色）以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的圖象（紅色），表明非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對(duì)于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗(yàn)回歸方程①．環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差（精確到0.001)如表8.2-7所示．觀察各項(xiàng)殘差的絕對(duì)值，發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)回歸方程②遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于①，即經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的合效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①．編號(hào)12345678t189619121921193019361956196019680.591-0.284-0.301-0.218-0.1960.1110.0920.205-0.0010.007-0.0120.015-0.0180.052-0.021-0.022表8.2-7在一般情說下，直接比較兩個(gè)模型的殘差比較困難，因?yàn)樵谀承┥Ⅻc(diǎn)上一個(gè)模型的殘差的絕對(duì)值比另一個(gè)模型的小，而另一些散點(diǎn)的情況則相反．可以通過比較殘差的平方和來比較兩個(gè)模型的效果．由表8.2-7容易算出經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的R2分別約為0.7325和0.9983，因此經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多．另外，我們還可以用新的觀測(cè)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果．事實(shí)上，我們還有1968年之后的男子短跑100m世界記錄數(shù)據(jù)，如表8.2-8所示．表8.2-8編號(hào)9101112131415年份1983198819911991199419961999記錄/s9.939.929.909.869.859.849.79編號(hào)161718192021年份200220052007200820081009記錄/s9.789.779.749.729.699.58在散點(diǎn)圖8.2-12中，繪制表8.2-8中的散點(diǎn)（綠色），再添加經(jīng)驗(yàn)回歸方程①所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線（紅色），以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程②所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸曲線（藍(lán)色），得到圖8.2-17顯然綠色散點(diǎn)分布在藍(lán)色經(jīng)驗(yàn)回歸曲線的附近，遠(yuǎn)離紅色經(jīng)驗(yàn)回歸直線，表明經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對(duì)于新數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①．思考：在上述問題情境中，男子短跑100m世界紀(jì)錄和紀(jì)錄創(chuàng)建年份之間呈現(xiàn)出對(duì)數(shù)關(guān)系，能借助于樣本相關(guān)系數(shù)刻畫這種關(guān)系的強(qiáng)弱嗎？在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要注意下列問題：（1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體．例如，根據(jù)我國父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來描述美國父親身高與兒子身高之間的關(guān)系．同樣，根據(jù)生長在南方多雨地區(qū)的樹高與胸徑的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來描述北方干旱地區(qū)的樹高與胸徑之間的關(guān)系．（2）經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)效性．例如，根據(jù)20世紀(jì)80年代的父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來描述現(xiàn)在的父親身高與兒子身高之間的關(guān)系．（3）解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn).一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)效果會(huì)比較好，超出這個(gè)范圍越遠(yuǎn)，預(yù)報(bào)的效果越差．（4）不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值．事實(shí)上，它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值．環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運(yùn)用(1)確定研究對(duì)象,明確哪個(gè)變量是解釋變量,哪個(gè)變量是響應(yīng)變量．(2)畫出解釋變量與響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型．(4)按一定規(guī)則（如最小二乘法）估計(jì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù).(5)得出結(jié)果后需進(jìn)行線性回歸分析.①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.②決定系數(shù)R2取值越大，說明模型的擬合效果越好.注意:若題中給出了檢驗(yàn)回歸方程是否理想的條件，則根據(jù)題意進(jìn)行分析檢驗(yàn)即可.建立線性回歸模型的基本步驟2.殘差平方和：

3.最小二乘法將

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，4.判斷模型擬合的效果:殘差分析R2越大，表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好R2越小，表示殘差平方和越大，即模型擬合效果越差.1.線性回歸模型y＝bx＋a＋e含有隨機(jī)誤差e，其中x為解釋變量，y響應(yīng)變量

環(huán)節(jié)六:歸納總結(jié)，反思提升環(huán)節(jié)七：目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：第121頁習(xí)題8.2第4題.練習(xí)

第120頁1．在回歸分析中，分析殘差能夠幫助我們解決哪些問題？分析殘差可以幫助我們解決以下幾個(gè)問題：（1）尋找殘差明顯比其他殘差大很多的異常點(diǎn)，如果有，檢查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯(cuò)．（2）分析殘差圖可以診斷選擇的模型是否合適，如果不合適，可以參考?xì)埐顖D提出修改模型的思路．2．1997-2006年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的數(shù)據(jù)如下：年份GDP/億元年份GDP/億元199779715.02002121717.4199885195.52003.137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5（1）作GDP和年份的散點(diǎn)圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系可以用什么模型描述；（1）畫GDP與年份的散點(diǎn)圖，如圖所示，可以觀察到隨著年份的增加GDP也隨之增加，GDP值與年份呈現(xiàn)近似線性關(guān)系，可以用一元線性回歸模型刻畫．年份GDP/億元（2）建立年份為解釋變量，GDP為響應(yīng)變量的一元線性回歸模型，并計(jì)算殘差；ty殘差的計(jì)算結(jié)果見下表．年份19971998199920002001殘差171267752-1734-6873-11145年份20022003200420052006殘差-15145-14296-4732589223157（3）根據(jù)你得到的一元線性回歸模型，預(yù)測(cè)2017年的GDP，看看你的預(yù)測(cè)值與實(shí)際的GDP的誤差是多少；2017年的GDP預(yù)報(bào)值為359684億元，2017年的實(shí)際的GDP為820754億元，預(yù)測(cè)值比實(shí)際值少461070億元．（4）你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫GDP和年份的關(guān)系嗎？請(qǐng)說明理由ty（4）上面建立的回歸方程的R2=0.9213，說明在1997-2006年內(nèi)，該模型年份能夠解釋92.13%的GDP值變化，因此所建立的模型較好地刻畫了GDP和年份的關(guān)系．但因?yàn)闅埐畛尸F(xiàn)一定的規(guī)律性，中間是負(fù)數(shù)，兩邊是正數(shù)，所以可以考慮用非線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)．（5）隨著時(shí)間的發(fā)展，又收集到2007—2016年的GDP數(shù)據(jù)如下：建立年份（1997-2016）為解釋變量，GDP為響應(yīng)變量的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2017年的GDP，與實(shí)際的GDP誤差是多少？你能發(fā)現(xiàn)什么？年份19971998199920002001殘差171267752-1734-6873-11145年份20022003200420052006殘差-15145-14296-4732589223157利用上述模型，預(yù)測(cè)2017年的GDP值為704025億元，而2017年GDP的實(shí)際值820754億元，預(yù)測(cè)值比實(shí)際值少116729億元．通過兩個(gè)模型預(yù)測(cè)2017年的GDP值，發(fā)現(xiàn)第2個(gè)模型預(yù)測(cè)的更準(zhǔn)確，說明建立的模型自變量的取值范圍決定了模型的適用范圍，通常不能超出太多，否則會(huì)出現(xiàn)較大的誤差．習(xí)題8.2（第120頁）1．如果散點(diǎn)圖中所有的散點(diǎn)都落在一條斜率為非0的直線上，請(qǐng)回答下列問題：（1）解釋變量和響應(yīng)變量的關(guān)系是什么？（2）R2是多少？（1）解釋變量和響應(yīng)變量是線性函數(shù)關(guān)系．2．一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如表所示．零件數(shù)/個(gè)102030405060708090100加工時(shí)間/min626875818995102108115122（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）建立加工時(shí)間關(guān)于零件數(shù)的一元線性回歸模型；（3）關(guān)于加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間，你能得出什么結(jié)論？3．根據(jù)8.1.2節(jié)例2中某城市居民年收入與A商品銷售額的數(shù)據(jù)：（1）建立A商品銷售額關(guān)于居民年收入的一元線性回歸模型；（2）如果這座城市居民的年收入達(dá)到40億元，估計(jì)A商品的銷售額是多少．第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0A商品銷售額/萬元年份總?cè)丝?萬人年份總?cè)丝?萬人年份總?cè)丝?萬人年份總?cè)丝?萬人年份總?cè)丝?萬人1949541671976937171988111026200012674320121354041950551961977949741989112704200112762720131360721951563001978962591990114333200212845320141367821955614651979975421991115823200312922720151374621960662071980987051992117171200412998820161382711965725381981100072199311851720051307561970829921982101654199411985020061314481971852291983103008199512112120071321291972871771984104357199612238920081328021973892111985105851199712362620091334501974908591986107507199812476120101340911975924201987109300199912578620111347354．人口問題是關(guān)乎國計(jì)民生的大問題．下表是1949—2016年我國的人口總數(shù)（摘自中國統(tǒng)計(jì)年鑒—2017）（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）建立總?cè)丝跀?shù)關(guān)于年份的一元線性回歸模型；（3）直接用上面建立的回歸模型預(yù)測(cè)2020年的我國人口總數(shù)，得到的結(jié)果合理嗎？為什么？年份總?cè)丝?萬人（1）畫人口總數(shù)與年份的散點(diǎn)圖，如圖所示．年份總?cè)丝?萬人（3）利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到2020年我國人口總數(shù)的預(yù)測(cè)值為149850萬人．得到的這個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果不合理．將擬合直線畫在散點(diǎn)圖上，可以看到，2000年以后，我國人口總數(shù)的增長速度逐漸平穩(wěn)且呈下降趨勢(shì)，因此運(yùn)用上述經(jīng)驗(yàn)回歸模型預(yù)測(cè)2020年我國的人口總數(shù)會(huì)出現(xiàn)高估．也可以通過觀察殘差圖，看到殘差具有中間為正，兩邊為負(fù)的特點(diǎn)．可以考慮用其他統(tǒng)計(jì)模型擬合數(shù)據(jù)．5．在某地區(qū)的一段時(shí)間內(nèi)觀測(cè)到的不小于某震級(jí)x的地震數(shù)N的數(shù)據(jù)如下表：震級(jí)x3.03.23.43.63.84.04.2地震數(shù)N28381203801479510695764155023842震級(jí)x4.44.64.85.05.25.45.6地震數(shù)N269819191356973746604435震級(jí)x5.86.06.26.46.66.87.0地震數(shù)N27420614898574125試建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程表示二者之間的關(guān)系，該模型對(duì)預(yù)測(cè)地震有幫助嗎？震級(jí)地震數(shù)先畫地震數(shù)與震級(jí)的散點(diǎn)圖，如圖(1)所示．震級(jí)x33.23.43.63.84.04.24.2y4.4534.3094.174.0293.8833.7413.585震級(jí)x4.44.64.855.25.45.6y3.4313.2833.1322.9882.8732.7812.638震級(jí)x5.866.26.46.66.87y2.4382.3142.171.9911.7561.6131.398震級(jí)xx和y的散點(diǎn)圖如圖（2）所示．從這個(gè)散點(diǎn)圖中可以看出x和y之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，因此可以用一元線性回歸模型擬合它們之間的關(guān)系．該模型不能直接用于預(yù)報(bào)地震，因?yàn)樗荒茴A(yù)報(bào)何時(shí)發(fā)生地震，震級(jí)是多少6．生活中有許多變量之間的關(guān)系是值得我們?nèi)パ芯康模纾瑪?shù)學(xué)成績(jī)、物理成績(jī)和化學(xué)成績(jī)兩兩之間是相關(guān)的嗎？哪兩個(gè)學(xué)科成績(jī)之間相關(guān)性更大，你能解釋其中的原因嗎？語文成績(jī)對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)有影響嗎？等等，請(qǐng)用你們班的某次考試成績(jī)，研究它們之間的關(guān)系如果它們之間有關(guān)系，請(qǐng)建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行分析．回歸與相關(guān)回歸分析法和相關(guān)分析法是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的兩種重要方法，前者用于由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化，后者研究隨機(jī)變量間的相關(guān)關(guān)系，它們是由英國科學(xué)家高爾頓創(chuàng)立的．高爾頓的科研興趣十分廣泛，在地理學(xué)、氣象學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、心理學(xué)、人類學(xué)等眾多領(lǐng)域都有建樹他在遺傳學(xué)的研究中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)令人困惑的問題，通常，高個(gè)子的人會(huì)和高個(gè)子的人結(jié)婚，矮個(gè)子的人會(huì)和矮個(gè)子的人結(jié)婚，而人類的遺傳是把上一代的優(yōu)勢(shì)性狀傳遞給下一代這樣，在人群中，高個(gè)子、矮個(gè)子的比例都應(yīng)逐漸增多，而中等個(gè)子的比例應(yīng)逐漸下降．但事實(shí)并非如此，為什么呢？這個(gè)問題一直縈繞在他的心頭1875年，為了確定豌豆尺寸的遺傳規(guī)律，他將自己精心挑選的490粒甜豌豆按照尺寸大小分成7組，在7個(gè)不同地區(qū)各種植70粒（每組10粒）．豌豆成熟后，他仔細(xì)測(cè)量了新豌豆（子代）的尺寸，并與豌豆種子（母代）的尺寸進(jìn)行比較數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，母代尺寸大的子代尺寸較大，母代尺寸小的子代尺寸也較小但無論尺寸大小，都有子代向母代的平均值（7種尺