角平分線的性質(zhì)定理及逆定理1

4.角平分線第1課時角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理北師大版八年級下冊1、什么叫角平分線？2、如何用尺規(guī)作角的平分線？如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫角的平分線。已知:∠AOB,如圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.作法:用尺規(guī)作角的平分線.1.在OA和OB上截取OD,OE,使OD=OE.2.分別以點D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點C.3.作射線OC.ABOC則射線OC就是∠AOB的平分線.DE3、角平分線上的點有什么性質(zhì)?

獲取新知探究1：角平分線定理

已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．求證：PD=PE．證明：∵∠1=∠2，

OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.提示:這個結(jié)論經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.探究2：角平分線的判定定理

已知：在∠AOB內(nèi)部有一點P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足且PD=PE.求證：點P在∠AOB的角平分線上．證明：∴PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形對應(yīng)角相等)．∴點P在∠AOB的角平分線上.

在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.提示:這個結(jié)論經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一.隨堂演練1如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°，在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10∴DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）2.如圖，已知：∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，D為垂足，交BC于E，AB=2AC.求證：CE=DE.證明：連結(jié)AE，由于∠C=90°，

AB=2AC，∴∠B=30°，∠CAB=60°.∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=30°，∴∠CAE=60°－30°=30°，即AE是∠CAB的角平分線，∴CE=DE.3.如圖，已知：E是∠AOB的平分線上的一點，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C、D.求證：OE垂直平分CD.證明：∵OE是∠AOB的平分線，∴CE=DE，∴Rt△OCE≌Rt△ODE，∴OC=OD，∴O與E都在CD的垂直平分線上，∴OE垂直平分CD.4.如圖，已知：在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于D，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F.求證：AD是EF的垂直平分線.證明：∵AD是∠BAC的平分線，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴A與D都在EF的垂直平分線上，∴AD就是EF的垂直平分線.課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？回味無窮1.定理角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.∵OC是∠AOB的平分線,PD⊥OA,PE⊥OB,

(已知)∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).2.逆定理在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.∵PA=PB,PD⊥OA,PE⊥OB∴點P在∠AOB的平分線上.(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上).3.用尺規(guī)作角的平分線.