高三數(shù)學下學期多選題單元 易錯題綜合模擬測評檢測試題

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

1.已知函數(shù)“力=<；：：]，若存在實數(shù)。，使得則a的個數(shù)

不是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】ABD

【分析】

令/(a)=f,即滿足/(r)=r,對t進行分類討論，結(jié)合已知函數(shù)解析式代入即可求得滿

足題意的3進而求得a

【詳解】

令/(a)=f,即滿足/(r)=f,轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(。與%=^有交點，結(jié)合圖像

由圖可知，/(，)=/有兩個根/1=()或f=l

/、/\[2-a.a>1

(1)當￡=1,即/(a)=l,由，得.=±1時，經(jīng)檢驗均滿足題意;

(2)當r=0，即/(a)=0,當aNl時，,f(a)=2-a=0,解得：a-2；當a<l

時,/(?)=a2=0,解得：(z=0；

綜上所述：共有4個a.

故選：ABD.

【點睛】

方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

2.函數(shù)“X)的定義域為O,若存在區(qū)間仁。使“X)在區(qū)間網(wǎng)用上的值域也是

[m.n\,則稱區(qū)間卜%為函數(shù)的〃和諧區(qū)間〃，則下列函數(shù)存在〃和諧區(qū)間〃的是

()

A.f(x)=GB./(x)=x2—2x+2C./(x)=x+—

D."x)=L

x

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)題意，可知若“X)在區(qū)間上”,〃]上的值域也是[m,〃],則“X)存在"和諧區(qū)

間"機,〃，且加<〃，則匕〉/或/，再對各個選項進行運算求解

L」[/(〃)=〃[n)-m

…,即可判斷該函數(shù)是否存在"和諧區(qū)間

【詳解】

解：由題得，若.f(x)在區(qū)間[〃?,〃]上的值域也是[加,〃],則〃x)存在"和諧區(qū)

間"[根,〃],

/(/〃)=，"

可知，m<n,則《以1/(〃)=加

/(〃)=〃

f(m]=yjm=mm=0

A：/(x)=Vx(x＞0),若＜；；，解得：＜

rn=1

所以/(X)=?存在"和諧區(qū)間"[0,1]；

f(m\=m2-2m+2=m

B：/(x)=x2-2x+2(xe/?),若,J(〃)=〃2_2〃+2=“，解得：,

n=2

所以/(%)=/-2x+2存在"和諧區(qū)間"[1,2]；

11

f(m)=:〃2H—=m：0

mm

C：/(x)=x+—(x^O),若＜I,得ZR＜，故無解;

1

/(〃)=〃+—二n0

nn

1

m-\——二n

1m

/("?)=："2d——=n

mm2+/77+1_0

若?，即\化簡得:

1m4-1nzn(m2+1)

/(〃)=孔+—=m

n1

幾十—=m

n

即機2+加+1=0，由于△=1?一4xlxl=-3vO，故無解;

若0<m<1v〃.?./(l)=wm=2,不成立

所以/(X)=X+L不存在"和諧區(qū)間"：

X

/(加)=—=n

D：/(x)=-(x^O),函數(shù)在(0,+8),(-8,0)單調(diào)遞減，則｛1,不妨令

f(n]=—=m

n

，1

m=-

<2,

n=2

所以/(X)=,存在"和諧區(qū)間"1,2；

X—乙，

綜上得：存在"和諧區(qū)間"的是ABD.

故選:ABD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題以函數(shù)的新定義為載體，考查函數(shù)的定義域、值域以及零點等知識，解

題的關(guān)鍵是理解"和諧區(qū)間"的定義，考查運算能力以及函數(shù)與方程的思想.

—f—2xx<0

3.己知函數(shù)/.(x)=1'，以下結(jié)論正確的是()

/(x-2),x>0

A.函數(shù)在區(qū)間[2,4]上是減函數(shù)

B./(2020)+/(2021)=1

C.若方程/")一一1=0(〃蚱/?)恰有5個不相等的實根，則me1一；,—g]

8

D.若函數(shù)y=/(x)—Z在區(qū)間(一8,6)上有8個零點七。<8/6?/'),則￡王=16

/=1

【答案】BCD

【分析】

對于A,畫出函數(shù)的圖象即可判斷；對于B,由函數(shù)的周期性可計算求解；對于C,方程

/(x)-/加一1=0(m€/?)恰有5個不相等的實根等價于y=/(x)與直線y=/wc+l有5

個交點，畫出圖形即可判斷求解；對于D,函數(shù)y=/(x)—左在區(qū)間(-8,6)上有8個零

點，則丁=/(力與丁=左有8個交點，由對稱性可求解.

【詳解】

由題可知當x20時，/(X)是以2為周期的函數(shù)，則可畫出/(x)的函數(shù)圖象，

對于A,根據(jù)函數(shù)圖象可得，/'(X)在(2,3)單調(diào)遞增，在(3,4)單調(diào)遞減，故A錯誤；

對于B,/(2020)=/(0)=/(—2)=0,/(2021)=/(1)=/(—1)=1,則

/(2020)+/(2021)=1,故B正確；

對于C,方程/(x)—，加一1=0。"eR)恰有5個不相等的實根等價于y=/(x)與直線

y=〃a+1有5個交點，如圖，直線y=處+1過定點A(0,l),觀察圖形可知

kAB<m<kAC,其中8(4,0),C(6,0),則左八8=-!，加=一故相」一：，一故

46k407

C正確；

對于D,若函數(shù)y=.f(x)-左在區(qū)間(一8,6)上有8個零點，則y=/(x)與y=%有8個

8

交點，如圖，可知這八個零點關(guān)于x=2對稱，則工玉=4x4=16,故D正確.

Z=1

故選：BCD.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)與方程的綜合問題，解題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的周期性，畫出函

數(shù)的圖象，即可將方程的解的個數(shù)問題、函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利

用數(shù)形結(jié)合的思想可快捷解決問題.

4.下列命題正確的有()

A.已知。>()/>()且。+人=1,則4<2"=<2

2

B.3"=4"=/，則9彩=血

ab

C.y=x3-3f-x的極大值和極小值的和為-6

D.過A(-1,O)的直線與函數(shù)y=有三個交點，則該直線斜率的取值范圍是

(一■j,2)U(2,+oo)

4

【答案】ACD

【分析】

由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求2”占的范圍；利用指對數(shù)互化，結(jié)合對數(shù)的運算法求

史當；利用導數(shù)確定零點關(guān)系，結(jié)合原函數(shù)式計算極值之和即可；由直線與y=V一》有

ab

三個交點，即可知/i(x)=Y—x—%有兩個零點且x=_i不是其零點即可求斜率范圍.

【詳解】

A選項，由條件知b=l—a且所以a—b=2a—le(—1,1),即，<2"“<2；

2

B選項，3"=4〃=有a=log.?，b-log4V12.而

a+b11-八八-

——=-+7=2(log3+log,,4)=2；

ababl?

C選項，y'=3》2一6》一1中/>o且開口向上，所以存在兩個零點尤|,々且X]+々=2、

%蒞=—g，即知x?為y兩個極值點，

22

所以y+%=(&+々)[(&+X2)-3X1X2]-3[(X1+x2)-2^%2]-(%1+%)=-6：

。選項，令直線為y=Hx+D與y=V-x有三個交點，即g(x)=(Y-左)。+1)有三

個零點，所以/l(x)=/-X-Z有兩個零點即可

△=1+4〃>0解得壯T⑵UQ收)

〃(一1)=2—左。0

故選：ACD

【點睛】

本題考查了指對數(shù)的運算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用導數(shù)研究極值，由函數(shù)交點情況求參數(shù)范

圍，屬于難題.

5.已知函數(shù)/(X)=X+，91

g(x)=尤2+則下列結(jié)論中正確的是)

XX

A./(x)+g(x)是奇函數(shù)B./(x)-g(x)是偶函數(shù)

C./(x)+g(x)的最小值為4D./(x>g(x)的最小值為2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定義可得A錯B對；利用均值不等式可得C對；利用換元求導可得D錯.

【詳解】

1I21

f(X)+g(x)=X-----i-x**+—

Xx~

1911+%2+4

「?/(r)+g(r)=_]_*+(T)+--XH---

-x(一。XX

/(x)+g(x)=/(-x)+g(_x)

.?./(x)+g(x)是偶函數(shù)，A錯；

/(x)?g(x)=x+Jx2+-^-

f(一%),g(-x)=-XH----?(_*)-

/(-%)-g(-x)=/(%)?g(x)

.,./(x)-g(x)是偶函數(shù)，B對;

vf(x)+g(x)=X+-+X2+-^>2+2=4,當且僅當x=L和爐=二時，等號成立,

XXXX

即當且僅當爐=1時等號成立，C對；

/(X)?g(x)=*+三(尤2+?)

令『=x+g(/>2),貝iJ/(x>g(x)=Mr—2)=/—2r

，[/(x>g(x)]'=3*-2,令3產(chǎn)—2〉0,得/>遠或"一巫

.?.此2時，/(x>g(x)單調(diào)遞增

，當，=2有最小值，最小值為4,D錯

故選：BC.

【點睛】

本題綜合考查奇偶性、均值不等式、利用導數(shù)求最值等，對學生知識的運用能力要求較

高，難度較大.

6.若〃x)滿足對任意的實數(shù)%〃都有=9)且/⑴=2,則下列判

斷正確的有()

A.“X)是奇函數(shù)

B./(x)在定義域上單調(diào)遞增

C.當xe(0,+8)時，函數(shù)/(力>1

/(2),/(4)?/(6),/(2016),/(2018),

,川)/(3)/(5)/(2015)/(2017)/(2019)

【答案】BCD

【分析】

利用新定義結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進行判斷.計算出了⑴判斷A；先利用/(D=2〉1證明所有

有理數(shù)P,有/(p)〉l,然后用任意無理數(shù)夕都可以看作是一個有理數(shù)列的極限，由極限

的性質(zhì)得了(幻〉1，這樣可判斷C,由此再根據(jù)單調(diào)性定義判斷B,根據(jù)定義計算

八(及eN),然后求得D中的和，從而判斷D.

【詳解】

令。=0/=1,則/⑴="1+0)=/⑴/(0),即2=2/(0),「./(0)=1,/。)不可

能是奇函數(shù)，A錯；

對于任意xeR,/(X)H0,若存在使得/(公)=0,則

/(0)=f(x0+(-x0))=/(x0)/(-x0)=0,與/(0)=l矛盾，故對于任意XGR,

/(X)豐0,

2

(xx\XX

二對于任意xwR,fM=fM=f>0,

\22)2>2>(11

???/⑴=2>1,.?.對任意正整數(shù)〃，

(\

f=個"斗wm]=2〉i,...?>1,

“/In\njynj\nj[_\nJ

<嗯J'^ir

同理f(n)=/(I+1+.??+1)=

對任意正有理數(shù)P,顯然有〃=一(加，〃是互質(zhì)的正整數(shù))，則

“d=/用=&(￡)]>i，

對任意正無理數(shù)4,可得看作是某個有理數(shù)列P1,P2，P3,…的極限，而

表N,???f(q)與/(pj的極限，，f(q)>l,

綜上對所有正實數(shù)x,有f(x)>l,c正確，

設(shè)為<七；，則/一芯>0，,/(彳2—蒼)>1，則

，(工2)=/(玉+(%2-%))=/(芭)?/。2—苞)>/(%)，/(X)是增函數(shù)，B正確;

由已知/(2〃)=/(2〃―1+1)=/(2"—1)/(1)=2/(2"—1),仔)2,

原+沏+邈+…S+S+S=^13=2xi0i0=202°

川)"3)“5)

,D正確.

故選：BCD.

【點睛】

本題考查新定義函數(shù)，考查學生分析問題，解決問題的能力，邏輯思維能力，運算求解能

力，對學生要求較高，本題屬于難題.

4

7.已知函數(shù)"x)=x'+—m為正整數(shù))，則下列判斷正確的是()

X

A.函數(shù)/(X)始終為奇函數(shù)

B.當”為偶數(shù)時，函數(shù)f(x)的最小值為4

C.當n為奇數(shù)時，函數(shù)f(x)的極小值為4

D.當〃=1時，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線y=2x對稱

【答案】BC

【分析】

4

由已知得了(—X)=(—*)“+7—",分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)得出函數(shù)/(X)的奇偶性，可判

(r)

斷A和；當n為偶數(shù)時，婷>(),運用基本不等式可判斷B；當n為奇數(shù)時，令/=￡,則

4

x>0j>0;x<0,r<0,構(gòu)造函數(shù)g(f)=r+一,利用其單調(diào)性可判斷c；當〃=1時，取函

數(shù)/(x)=x+±上點P(L5),求出點P關(guān)于直線y=2x對稱的對稱點，代入可判斷D.

【詳解】

因為函數(shù)=x"+二("為正整數(shù))，所以/(T)=(一可”+-^-7,

X(-X)

44

當”為偶數(shù)時,f(-x)=+爐+，7=/&),函數(shù)/(幻是偶函數(shù);

I)"

4

當n為奇數(shù)時,/(-x)=-xn+-=-/(%),函數(shù)”x)是奇函數(shù)，故A不正確;

-X

444

當”為偶數(shù)時,x〃>0,所以/(工)=/+=22卜〃?二二4,當且僅當x〃=-7時,

Xy/XX

即爐=2>0取等號，所以函數(shù)/(x)的最小值為4,故B正確;

當"為奇數(shù)時，令.=￡，則x>0j>0;x<0,t<0,函數(shù)/(x)化為g(f)=f+q

而g(f)=f+；在(-8,-2),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,0),(0,2)上單調(diào)遞遞減,

44

所以g⑺=1+—在，=2時，取得極小值g(2)=2+—=4,故C正確；

t2

當〃=1時，函數(shù)/(x)=x+g上點尸(1,5),設(shè)點P關(guān)于直線y=2x對稱的對稱點為

117

X。

%T2，解得，1,即兄17191719

則《,而將《代入

2K1+玉)=5+%~5'~5

%T

4

/(X)=尤+—不滿足，

X

所以函數(shù)y=/(X)的圖象不關(guān)于直線y=2x對稱，故D不正確，

故選：BC.

【點睛】

本題考查綜合考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對稱性，以及函數(shù)的最值，屬于較難題.

-------,x>2

8.已知定義域為R的奇函數(shù)/*),滿足/(x)=j2x-3,下列敘述正確的

X2-2x+2,Q<x<2

是()

A.存在實數(shù)k,使關(guān)于X的方程/(X)=近有7個不相等的實數(shù)根

B.當-1<玉<%<1時，恒有/(m)>/(々)

C.若當xe(0,0時，/(x)的最小值為1,則

2

33

D.若關(guān)于x的方程/(x)=—和/(*)=機的所有實數(shù)根之和為零，則機=一二

22

【答案】AC

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)/(-x)=-/(x),利用已知定義域的解析式，可得到對稱區(qū)間上的函數(shù)解析

式，然后結(jié)合函數(shù)的圖象分析各選項的正誤，即可確定答案

【詳解】

函數(shù)是奇函數(shù)，故"X)在R上的解析式為：

-------,x<-2

2x+3

—x~~2x—2,—2^x<0

0,x=0

X2-2X+2,0<X<2

—^―,x>2

l2x-3

對4如下圖所示直線4與該函數(shù)有7個交點，故A正確;

對c：如下圖直線，2：y=i,與函數(shù)圖交于（1,1）,g,l）,

若使得其與fW=m的所有零點之和為0,

故選：AC

【點睛】

本題考查了分段函數(shù)的圖象，根據(jù)奇函數(shù)確定對稱區(qū)間上函數(shù)的解析式，進而根據(jù)函數(shù)的

圖象分析命題是否成立

9.下列命題正確的是()

A.已知某函數(shù)/(x)=(m+1)2在(0,+8)上單調(diào)遞減則利=0或m=一2

B.函數(shù)/(x)=/-(2m+4)1+3根的有兩個零點，一個大于0,一個小于0的一個充分

不必要條件是m<-\.

C.已知函數(shù)/(x)=x3+sinx+ln(M)，若/(2。-1)>0,則4的取值范圍為

X+1

D.已知函數(shù)〃x)滿足/(-x)+/(x)=2,g(x)=--，且/(x)與g(x)的圖像的交點

X

為(石，苗),(工2，%)……(尤8，%)則2+々+…+/+y+必+…+%的值為8

【答案】BD

【分析】

根據(jù)基函數(shù)的性質(zhì)，可判定A不正確；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和充分條件、必要條件的判

定，可得判定B是正確；根據(jù)函數(shù)的定義域，可判定C不正確；根據(jù)函數(shù)的對稱性，可判

定

D正確，即可求解.

【詳解】

對于A中，基函數(shù)/*)=?！?1)2獷"1,可得加+1=±1,解得加=0或加=一2,

當加=0時，函數(shù)在。+8)上單調(diào)遞減；當機=一2時，函數(shù)/。)=》在

(0,+8)上單調(diào)遞增，所以A不正確；

對于B中，若函數(shù)/(%)=/一(2m+4A+3根的有兩個零點，且一個大于0,一個小于

0,

則滿足/(0)=3加<0,解得〃?<0,

所以/”<一1是函數(shù)/(x)=--(2m+4)x+3加的有兩個零點，且一個大于0,一個小于

0的充分不必要條件，所以B是正確；

1_1_V*1_1_V*

對于C中，由函數(shù)/(x)=x3+sinx+ln(--),則滿足——->0,解得一Ivxvl,

1-%1-x

即函數(shù)/(x)的定義域為(-1,1),所以不等式/(2?-1)>0中至少滿足

即至少滿足0<。<1,所以C不正確；

對于D中，函數(shù)/(x)滿足/(一x)+/(x)=2,可得函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于(0,1)點對

稱，

__Y]丫1

又由g(—x)=———=--，可得雙一了)+8(元)=2,所以函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于

-XX

(0,1)點對稱，則X]+/+…+/+X+%+…+線=。+4x2=8,所以D正確.

故選：BD.

【點睛】

本題主要考查了以函數(shù)的基本性質(zhì)為背景的命題的真假判定，其中解答中熟記函數(shù)的基本

性質(zhì)，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

10.高斯是德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，近代數(shù)學奠基者之一.

高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有"數(shù)學王子"之稱.有這樣一個函數(shù)就是以

他名字命名的：設(shè)xeR,用[可表示不超過x的最大整數(shù)，則,f(x)=[x]稱為高斯函

數(shù)，又稱為取整函數(shù).如：/(2.3)=2,/(-3.3)=-4.則下列正確的是()

A.函數(shù)f(x)是R上單調(diào)遞增函數(shù)

B.對于任意實數(shù)都有/(a)+/S)V/(a+A)

C.函數(shù)g(x)=/(x)-以(無。0)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

34]「43

45J|_32

D.對于任意實數(shù)x,%則/(x)=/(y)是成立的充分不必要條件

【答案】BCD

【分析】

取反例可分析A選項，設(shè)出a,b的小數(shù)部分，根據(jù)其取值范圍可分析B選項，數(shù)形結(jié)合

可分析C選項，取特殊值可分析。選項.

【詳解】

解：對于Z選項，〃1)=〃L2)=1，故A錯誤；

對于8選項，令。=同+「，〃=回+以「,q分別為a,b的小數(shù)部分)，

可知0,,r=a-同<1,0?q-b-\b\<\,[r+^]>0,

則J(a+b)=[[a]+回+r+q[=[a]+回+[r+q]..同+回=+，故B錯

誤；

對于c選項，可知當左〈》<人+1,左wZ時，則/(%)=[%]=左，

可得/(x)的圖象，如圖所示：

函數(shù)g(x)=/(x)-以(xoO)有3個零點，

，函數(shù)“X)的圖象和直線>有3個交點，且(0,0)為“X)和直線>=依必過的

點，

f341「43、

由圖可知，實數(shù)a的取值范圍是,故C正確；

對于D選項，當/(x)=/(y)時，即r,q分別為x,y的小數(shù)部分，可得0Wr<l,

k-丁|=卜]+-3-4=卜-4<|1-q=i；

當,一乂<1時，取x=-0.9,y=0.09,可得國=T,[y]=0,此時不滿足

/(x)=/(y)，

故/(x)=/(y)是打一乂<1成立的充分不必要條件,故。正確；

故選：BCD.

【點睛】

本題考查函數(shù)新定義問題，解答的關(guān)鍵是理解題意，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合

思想；

二、導數(shù)及其應用多選題

11.已知函數(shù)/(x)=sin以一asinx,xe[0,2"],其中a-lna>l,則下列說法中正

確的是()

A.若J.(x)只有一個零點，則ae(0,￡|

B.若/(x)只有一個零點，則/(x)20恒成立

C.若/(力只有兩個零點，則

D.若/(X)有且只有一個極值點/,則/(%)<竺丁二1)恒成立

【答案】ABD

【分析】

利用/(0)=0以及零點存在定理推導出當a>1時，函數(shù)/(x)在［0,2旬上至少有兩個零

點，結(jié)合圖象可知當0<。<1時，函數(shù).“X)在(0,2")上有且只有一個極值點，利用導數(shù)

分析函數(shù)“X)在(0,2")上的單調(diào)性，可判斷A選項的正誤；利用A選項中的結(jié)論可判斷

B選項的正誤；取。=；，解方程/(x)=0可判斷C選項的正誤；分析出當/(x)在

(0,2〃)上只有一個極值點時，0<a<l,分。=：、0<a<g、；<a<l三種情況討

論，結(jié)合sinx<x可判斷D選項的正誤.

【詳解】

1Y-］

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-lnx-l,其中x〉0,則g<x)=l--=:一.

XX

當0<x<l時,g'(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當X>1時，g'(x)>o,此時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

所以，g(xL=g6=°-

。一InQ>1,，a>0且aw1.

/(x)=sinax-asinx,則/(0)=0.

所以，當a>l時，函數(shù)〃x)在區(qū)間［0,2句上至少有兩個零點,

所以，當函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2句上只有一個零點時，0<a<l.

對于A選項，當0<a<l時，f\x)~acosax-acosx-a(cosax-cosx).

a兀7i

?:0<。<1,則0<—<一,0<2arc<27r,

22

（兀、a兀

/"I—I=tzcos—>0,/'（2%）=a（cos2a7i一cos2?）=a（cos2CITV-l）<0,

由零點存在定理可知，函數(shù)/（X）在區(qū)間（1,2乃］上至少有一個極值點，

令r（x）=0,可得cosax=cosx,

當xe（O,2"）時，0<℃<%<2萬，由cosar=cosx=cos（2;r-x）,可得

24

ax=2兀一x,解得光二----，

。+1

27r

所以，函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,2%）上有且只有一個極值點x=/石.

作出函數(shù)弘=cosar與函數(shù)%=cosx在區(qū)間［0,2句上的圖象如下圖所示：

由圖象可知，函數(shù)y=cosax與函數(shù)％=cosx在區(qū)間（0,2萬）上的圖象有且只有一個交

點，

記該交點的橫坐標為力,當0<x</時，cosax>cos%,此時/'（x）>0；

當x（）<x<2萬時，cosaxccosx,此時

所以，函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,天）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（X。,2乃）上單調(diào)遞減.

所以，7（力2=/（』）>〃°）=°，又"2%）=sin2麗.

若函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,2句上有且只有一個零點，則/（2萬）=sin勿萬>0.

*/0<a<1>則0<2。4<2%,所以，0<2。萬<乃，解得0<a<‘，A選項正確；

2

對于B選項，若函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,2句上有且只有一個零點時，

由A選項可知，函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,%）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（七,2萬）上單調(diào)遞減.

Q/（0）=0,/（2"）=sin2ar>0,所以,對任意的xe［0,2句，/（x）>0,B選項正

確；

對于c選項，取。=‘，貝I」

2

x.xI..x.xx.x

f(x)=sin------sinx=sin——sin—cos—=sin—1-吟,

v7222222

XXX

?:0<x<2萬，則04］《萬，令/(x)=0,可得sin±=0或cos±=l,可得4=0或

222

x

一=71,

2

解得x=0或尢=2).

所以，當a時，函數(shù)/(x)有兩個零點，C選項錯誤；

對于D選項，當。>1時，若0cxe2不，則0varv2a;r,且勿4>24，

當)?0,2萬)時,令/"(x)=0,可得出cosox=cosx=cos(2左乃±x)(keZ),至少可

得出“￥=24一x或依=1+24，

即函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,2")上至少有兩個極值點，不合乎題意，所以，0<a<l.

rr

下面證明：當。vxv7時，sinxvx,

2

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=x-sinx,其中0cx<],則”(x)=1-cos%>0,

所以，函數(shù)"(x)=x-sinx在區(qū)間(o,?上為增函數(shù)，所以，〃(x)>〃(0)=0,即

sinx<x.

分以下三種情況來證明/(1)<"ITT-71恒成立.

???/'(%)=〃(cos叫一cosx0)=0,可得cosax()=cosx0,

27r

,/0<ax<x<2TT,由cosar。=cosx()可得出ax()=24一玉)，所以，x=-----

()00。+1

則sino^=sin(27r-)=-sin.

[21

①當〃時，x0?則/'(x)usin^—§sinx,

3兀.〃1.3〃42萬

sin------sin—=一<—,

23233

6Z4-1-|3?-1|

即〃/)<?1成立;

2

[27r茨2萬)，

②當0<。<一時，xo=-----G

3Q+1

24

則/(x0)=sin-4zsinxo=-sinx0-tzsinx0=-(6f4-l)sinx0=-(a+l)sin

Q+1

=(a+1)sin(--=(Q+1)sin(2萬一=(。+1)sin<(〃+1)?=2a7r

Q+1一j3a_

=--------!---------7T；

2

③當g<a<l時,

/(七)=sin"—asin/=—sin%—asin%=—(a+l)sin/=(a+l)sin(一%)

/、/、/、(2兀、/、(\-a\7r/、(1一〃)乃

=(a+1)sin(%一1)=(a+1)sin(------7rJ=(a+l)sin-----—<(a+1)?------—

/、a+1一|3Q_11

=[l-a)7V=----------------7T.

綜上所述，當函數(shù)〃X)只有一個極值點X。時，/(/)<"「?"一"萬恒成立.

故選:ABD.

【點睛】

方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，

體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y="

與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點問題.

YI

12.已知函數(shù)/。)=/，8。)=1〃萬+5的圖象與直線"=07分別交于48兩點，則()

A./(x)圖像上任一點與曲線g(x)上任一點連線線段的最小值為2+/2

B.3m使得曲線g(x)在8處的切線平行于曲線/(x)在A處的切線

C.函數(shù)/(x卜g(x)+m不存在零點

D.3m使得曲線g(x)在點B處的切線也是曲線f(x)的切線

【答案】BCD

【分析】

利用特值法，在/(x)與g(x)取兩點求距離，即可判斷出A選項的正誤；解方程

/'(/〃〃?)=g'(2e*)，可判斷出8選項的正誤；利用導數(shù)判斷函數(shù)k/⑴r。)+加的單

調(diào)性，結(jié)合極值的符號可判斷出C選項的正誤；設(shè)切線與曲線y=g(x)相切于點C(〃，

g(〃))，求出兩切線的方程，得出方程組，判斷方程組是否有公共解，即可判斷出。選項

的正誤.進而得出結(jié)論.

【詳解】

在函數(shù)/(》)=6、公(》)=1嗎+；上分別取點/3(0,1),。(2,3),則|PQ|=呼，而

姮<2+ln2(注In2ao.7),故A選項不正確；

2

x11

Q/(x)=,g(x)=ln-+-,則/'(x)=",gr()=-,

22xx

曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為f'(歷喻=m,

曲線y=g(x)在點B處的切線斜率為g'(2/W)=」T,

2em2

?_1?1?

m

令fVn,n)=g,(2eU)，即,”=不，即2me1^=1，則=n滿足方程=1'

2e2乙

.-.3^使得曲線y=f(x)在A處的切線平行于曲線y=g(x)在B處的切線，B選項正確;

y1,1

構(gòu)造函數(shù)尸(%)=f(x)-g(x)^m=ex-In-+m——,可得尸(x)=ex——,

22x

函數(shù)尸(x)=e、-L在(0,+8)上為增函數(shù)，由于尸d)=〃-2<0,F'(1)=e—l>0,

xe

則存在reg,1),使得F'(r)=e'—；=0,可得f=T%

當0cxe，時，F(xiàn)(x)<0；當工時，F(xiàn)f(x)>0.

F(x).=F(t)=er-ln—+m——=d-btf+m+ln2——

nun222

1._1/1._13..八

=-+/+〃？+In2—>2At—F〃？+ln2—=—+ln2+機>0,

222

函數(shù)尸(幻=/(x)-g(?+6沒有零點，C選項正確；

設(shè)曲線y=/(x)在點A處的切線與曲線y=g(x)相切于點C(〃,g(〃)),

則曲線y=/(x)在點A處的切線方程為y-m=eh,,n(x-Inm),即y=+m(\-lnm),

同理可得曲線y=g(x)在點C處的切線方程為y=-x+ZttJ-i,

n22

加二一I

"n，消去〃得"一("2-+ln2+—=0,

m(l-Inm)=ln—~—

22

1r-11

令G(x)=x-(x-l)lnx+/〃2+—,則G'(x)=1---------bvc=——Inx,

2xx

函數(shù)y=G'(x)在(0,+o。)上為減函數(shù)，QG'(1)=l>0,G'(2)=g-/〃2<0,

則存在se(1,2),使得G'(S)=1-/〃S=0,且「〃：.

ss-e

當0<x<s時，G\x)>0,當x>s時，G\x)<0.

函數(shù)y=G(x)在(2,+oo)上為減函數(shù)，

517

QG(2)=/>0,G(8)=萬一20/〃2<0,

由零點存定理知，函數(shù)y=G(x)在(2,+o。)上有零點，

即方程他一(〃?-1)/""?+/"2+,=0有解.

2

：.3m使得曲線y=/(x)在點A處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

故選：BCD.

【點睛】

本題考查導數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)的最值、零點以及切線問題，計算量較大，考查了轉(zhuǎn)

化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬難題.

13.己知函數(shù)/(X)對于任意xeR,均滿足〃x)=/(2—x).當X41時

/、finx,O<x<l/、-/、

/(1”1上.。，若函數(shù)g(x)=〃?W-2-7(x),下列結(jié)論正確的為()

A.若加<0,則g(x)恰有兩個零點

B.若］<m<e,則g(x)有三個零點

C.若0<m《耳，則g(x)恰有四個零點

D.不存在也使得g(x)恰有四個零點

【答案】ABC

【分析】

設(shè)刈力=加國—2,作出函數(shù)g(x)的圖象，求出直線丁=如一2與曲線

y=Inx(0<x<1)相切以及直線y=2過點A(2』)時對應的實數(shù)m的值，數(shù)形結(jié)合

可判斷各選項的正誤.

【詳解】

由/。)=〃2-力可知函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

令g(x)=0,即加國一2=f(x),作出函數(shù)〃x)的圖象如下圖所示:

令7?("=加國—2,則函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為函數(shù)〃x)、々X)的圖象的交點個數(shù),

的定義域為R,Hh(-x)=m|-x|-2=m|x|-2=A(JC),則函數(shù)/i(x)為偶函

數(shù)，

且函數(shù)"(x)的圖象恒過定點(0,-2),

3

當函數(shù)的圖象過點A(2,l)時，有〃⑵=2加―2=1,解得加=]

過點(0,一2)作函數(shù)y=lnx(O<x<l)的圖象的切線，

設(shè)切點為(毛，In/),對函數(shù)y=lnx求導得y'=L

所以，函數(shù)y=lnx的圖象在點(玉),皿毛)處的切線方程為y-lnXo='(x-Xo),

*0

切線過點(0,-2),所以，一2-解得/=工，則切線斜率為e,

e

即當m=e時，函數(shù)y=〃(x)的圖象與函數(shù)y=111%(0<%<1)的圖象相切.

若函數(shù)g(x)恰有兩個零點，由圖可得，篦<0或相=e,A選項正確；

若函數(shù)g(x)恰有三個零點，由圖可得5<e,B選項正確；

3

若函數(shù)g(x)恰有四個零點，由圖可得C選項正確，D選項錯誤.

故選：ABC.

【點睛】

方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與％軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，

體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y

與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點問題.

14.下列不等式正確的有()

A.V31n2<ln3B.In兀C.2^<15D.3eln2<4