數(shù)學(xué)物理方法第二章

1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,2.1復(fù)變函數(shù)的積分(與實(shí)函數(shù)積分相似，定義為和的極限)——復(fù)平面上的線積分第一頁1第二頁，共96頁。簡單閉曲線正向的定義:

簡單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明:在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.第二頁2第三頁，共96頁。2.積分的定義:第三頁3第四頁，共96頁。(第四頁4第五頁，共96頁。關(guān)于定義的說明:第五頁5第六頁，共96頁。3.存在的條件和計(jì)算法證正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,第六頁6第七頁，共96頁。第七頁7第八頁，共96頁。根據(jù)線積分的存在定理,第八頁8第九頁，共96頁。當(dāng)n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時(shí),第九頁9第十頁，共96頁。在形式上可以看成是公式積分的計(jì)算法1第十頁10第十一頁，共96頁。積分的計(jì)算法2第十一頁11第十二頁，共96頁。在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.第十二頁12第十三頁，共96頁。設(shè)L是簡單逐段光滑曲線，f,g在L上連續(xù)，則性質(zhì)：常數(shù)因子可以移到積分號外函數(shù)的和的積分等于各函數(shù)積分之和反轉(zhuǎn)積分路徑，積分反號全路徑上的積分等于各段上積分之和第十三頁13第十四頁，共96頁。注意到性質(zhì)(5)可以寫為

特別地，若在L上有，L的長記為L，則性質(zhì)(5)成為

注意：數(shù)學(xué)分析中的積分中值定理不能推移到復(fù)變函數(shù)積分上來，例如：而

(6)第十四頁14第十五頁，共96頁。例1解直線方程為第十五頁15第十六頁，共96頁。這兩個(gè)積分都與路線C無關(guān)第十六頁16第十七頁，共96頁。例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第十七頁17第十八頁，共96頁。(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第十八頁18第十九頁，共96頁。y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為第十九頁19第二十頁，共96頁。例3解積分路徑的參數(shù)方程為第二十頁20第二十一頁，共96頁。例4解積分路徑的參數(shù)方程為第二十一頁21第二十二頁，共96頁。重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).第二十二頁22第二十三頁，共96頁。2.2柯西定理討論復(fù)變函數(shù)積分與積分路徑的關(guān)系（一）單通區(qū)域情形在區(qū)域中做任何簡單閉合圍道，圍道內(nèi)的點(diǎn)都屬于該區(qū)域單連通區(qū)域：復(fù)連通區(qū)域，或稱多連通區(qū)域

區(qū)別：區(qū)域中任一閉合曲線能否連續(xù)變形而縮成一點(diǎn)。

連續(xù)變形：變形時(shí)曲線始終屬于該區(qū)域。第二十三頁23第二十四頁，共96頁。復(fù)習(xí)：二元函數(shù)積分的格林公式路徑無關(guān)的充要條件：實(shí)變線積分在單連通區(qū)域B內(nèi)與在B內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且由于復(fù)變函數(shù)的積分可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)實(shí)變線積分因此可得到復(fù)變函數(shù)的積分與路徑無關(guān)的充要條件第二十四頁24第二十五頁，共96頁。單連通區(qū)域柯西定理：

如果函數(shù)f(z)在閉單連通域B上解析，則沿B上任一分段光滑閉曲線l（也可以是B的邊界），有

推廣：如果函數(shù)f(z)在單通域B上解析，在閉單連通域B上連續(xù)，則沿B上任一分段光滑閉曲線l（也可以是B的邊界），有Bl第二十五頁25第二十六頁，共96頁。由定理得第二十六頁26第二十七頁，共96頁。連續(xù)，且格林公式同理連續(xù)，且證明：回路積分化成面積分第二十七頁27第二十八頁，共96頁。例1解根據(jù)柯西定理,有第二十八頁28第二十九頁，共96頁。例2證由柯西定理,第二十九頁29第三十頁，共96頁。由柯西定理,由上節(jié)例4可知,第三十頁30第三十一頁，共96頁。例3解根據(jù)柯西－古薩定理得第三十一頁31第三十二頁，共96頁。第三十二頁32第三十三頁，共96頁。奇點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)不解析的點(diǎn)

若f(z)在z=b不解析（或沒有定義），而在z=b的無心鄰域0<

z?b

<R內(nèi)解析，則z=b為f(z)的孤立奇點(diǎn)。含孤立奇點(diǎn)的區(qū)域，可將其每個(gè)奇點(diǎn)的有限小鄰域挖掉，使原區(qū)域變?yōu)閺?fù)通區(qū)域（二）復(fù)通區(qū)域情形有時(shí)，所研究的函數(shù)在區(qū)域上并非處處解析第三十三頁33第三十四頁，共96頁。沿著一條簡單曲線C有兩個(gè)相反的方向，其中一個(gè)方向是：當(dāng)觀察者順此方向沿C前進(jìn)一周時(shí)，C的內(nèi)部一直在C的左方，即“逆時(shí)針”方向，稱為正方向；另一個(gè)方向是：當(dāng)觀察者順此方向沿C前進(jìn)一周時(shí)，C的外部一直在C的左方，即“順時(shí)針”方向，稱為負(fù)方向。區(qū)域境界線正方向：第三十四頁34第三十五頁，共96頁。在

l

圍成的區(qū)域中含f(z)的孤立奇點(diǎn)

，則可引入曲線l1將此奇點(diǎn)挖掉，在余下的區(qū)域(一復(fù)連通區(qū)域)中，

f(z)解析。由柯西定理或又

l與l1方向相反，但與-l1方向相同。第三十五頁35第三十六頁，共96頁。(多連通域柯西定理)

設(shè)B是以邊為界的有界n+1連通區(qū)域，其中l(wèi)1，l2，…，ln是簡單光滑閉曲線l內(nèi)部互相外離的n條簡單光滑閉曲線。若f(z)在

上連續(xù)，在B內(nèi)解析，則有其中C取關(guān)于區(qū)域B的正向，或?qū)憺椋旱谌?6第三十七頁，共96頁。例1解依題意知,第三十七頁37第三十八頁，共96頁。根據(jù)復(fù)合閉路定理,第三十八頁38第三十九頁，共96頁。例2解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,第三十九頁39第四十頁，共96頁。例3解第四十頁40第四十一頁，共96頁。由復(fù)合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因?yàn)椴槐厥菆A,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.第四十一頁41第四十二頁，共96頁。例4解由上例可知第四十二頁42第四十三頁，共96頁?？挛鞫ɡ砜偨Y(jié)閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線的積分為零。閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分和為零。閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)針方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針方向的積分的和。固定起點(diǎn)和終點(diǎn)，積分路徑的連續(xù)形變不改變積分第四十三頁43第四十四頁，共96頁。定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁圖)1.兩個(gè)主要定理:2.3不定積分第四十四頁44第四十五頁，共96頁。第四十五頁45第四十六頁，共96頁。定理二證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.第四十六頁46第四十七頁，共96頁。由于積分與路線無關(guān),第四十七頁47第四十八頁，共96頁。第四十八頁48第四十九頁，共96頁。由積分的估值性質(zhì),第四十九頁49第五十頁，共96頁。此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.[證畢]第五十頁50第五十一頁，共96頁。2.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:證第五十一頁51第五十二頁，共96頁。那末它就有無窮多個(gè)原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]第五十二頁52第五十三頁，共96頁。3.不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)第五十三頁53第五十四頁，共96頁。證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說明:有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.第五十四頁54第五十五頁，共96頁。典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,第五十五頁55第五十六頁，共96頁。例2解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)第五十六頁56第五十七頁，共96頁。例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,第五十七頁57第五十八頁，共96頁。例3另解此方法使用了微積分中“分部積分法”第五十八頁58第五十九頁，共96頁。例4解利用分部積分法可得課堂練習(xí)答案第五十九頁59第六十頁，共96頁。例5解第六十頁60第六十一頁，共96頁。例6解所以積分與路線無關(guān),根據(jù)?！R公式:第六十一頁61第六十二頁，共96頁。2.4柯西公式

柯西積分公式:

若f(z)在閉單通區(qū)域B上解析，l為B境界線，

為B內(nèi)的任一點(diǎn)，那么證明：由于只需證明第六十二頁62第六十三頁，共96頁。如果l是圓周z=

+reiθ，這就是說，一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周的平均值。

若f(z)在l所圍區(qū)域上存在奇點(diǎn)，這就要考慮挖去奇點(diǎn)后的復(fù)通區(qū)域。在復(fù)通區(qū)域上f(z)解析，顯然柯西公式仍然成立，只要將l理解為所有境界線，并且其方向均取正向。

定理：解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為：其中l(wèi)為解析區(qū)域內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線。第六十三頁63第六十四頁，共96頁。Morera定理：(Cauchy定理的逆定理）設(shè)f(z)在區(qū)域G中連續(xù)，如果對于G中的任何閉合圍道l，都有則f(z)在G內(nèi)解析。證明：由路徑無關(guān)性，定義f(z)

的連續(xù)性0所以F(z)解析，其導(dǎo)數(shù)為f(z)，再由高階導(dǎo)數(shù)的存在性，f(z)在G內(nèi)解析。第六十四頁64第六十五頁，共96頁。模數(shù)定理：f(z)在某個(gè)閉區(qū)域上解析，則|f(z)|只能在境界線上取極大值應(yīng)用柯西公式證明：對若|f(z)|在l上極大值為M，|z|的極小值為

，l的長為s第六十五頁65第六十六頁，共96頁。

Liouville定理：如

f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即|f(z)|

N，則

f(z)必為常數(shù)。半徑為R的園周總結(jié)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)函數(shù)復(fù)數(shù)函數(shù)單值復(fù)數(shù)函數(shù)多值復(fù)數(shù)函數(shù)單值復(fù)數(shù)函數(shù)單值函數(shù)與實(shí)變函數(shù)相似兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的有序組合重點(diǎn)第六十六頁66第六十七頁，共96頁。奇點(diǎn)柯西定理及推論極限連續(xù)積分導(dǎo)數(shù)(微分)解析函數(shù)解析區(qū)域柯西公式高階導(dǎo)數(shù)公式u,v可微C-R條件點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)(不解析的點(diǎn))積分區(qū)域有無奇點(diǎn)第六十七頁67第六十八頁，共96頁。典型例題例1解第六十八頁68第六十九頁，共96頁。由柯西積分公式第六十九頁69第七十頁，共96頁。例2解由柯西積分公式第七十頁70第七十一頁，共96頁。例3解由柯西積分公式第七十一頁71第七十二頁，共96頁。例４解根據(jù)柯西積分公式知,第七十二頁72第七十三頁，共96頁。例5解第七十三頁73第七十四頁，共96頁。例5解第七十四頁74第七十五頁，共96頁。由閉路復(fù)合定理,得例5解第七十五頁75第七十六頁，共96頁。例6解根據(jù)柯西積分公式知,第七十六頁76第七十七頁，共96頁。比較兩式得第七十七頁77第七十八頁，共96頁。例1解第七十八頁78第七十九頁，共96頁。第七十九頁79第八十頁，共96頁。根據(jù)復(fù)合閉路定理第八十頁80第八十一頁，共96頁。第八十一頁81第八十二頁，共96頁。例2解第八十二頁82第八十三頁，共96頁。第八十三頁83第八十四頁，共96頁。例3解由柯西－古薩基本定理得由柯西積分公式得第八十四頁84第八十五頁，共96頁。第八十五頁85第八十六頁，共96頁。課堂練習(xí)答案第八十六頁86第八十七頁，共96頁。例4解第八十七頁87第八十八頁，共96頁。根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,第八十八頁88第八十九頁，共96頁。第八十九頁89第九十頁，共96頁。例5(Morera定理)證依題意可知第九十頁90第九