高考2023人教A版高中數(shù)學(xué)變式題5

5.2導(dǎo)數(shù)的運算

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

5.2導(dǎo)數(shù)的運算

5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

2

(1)y=%3；

(2)y=log2x.

r

解：(1)y==|%3-1=|%-3；

⑵/=(iog2xy-^.

例2假設(shè)某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%,物價p(單位：元)與時間t(單位：

年)有如下函數(shù)關(guān)系

P(O=Pot1+5%y,

其中Po為t=0時的物價.假定某種商品的p0=l,那么在第10個年頭，這種商品的價

格上漲的速度大約是多少(精確到0.01元/年)？

解：根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表，有

p'(t)=l.OSHnI.OS.

所以

pz(10)=1.05lolnl.05*0.08.

所以，在第10個年頭，這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲.

練習(xí)

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(i)y=3

(2)y=Vx^

(3)y=3X

(4)y=(j)x

(5)y=log4x

(6)y=logix

2

【答案】(l)y'=-4x-5

1

(2)yz=4

(3)y'=3xln3

(4)y'=(^)zln1

⑸丫'=氏

(6)y'=表

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計算可得；

(1)

解：因為y=3=X-4,所以y，=(x-4)，=一4廠5；

(2)

解：因為y==所以y，=(句=1%3；

(3)

解：因為y=3,所以儼=3，1113；

(4)

解：因為'=?尸，所以y，=G)xin3

(5)

解：因為y=log4%，所以y'=[7；

(6)

解：因為y=log±x,所以y'=%==篇；

2.求下列函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=在％=3處的導(dǎo)數(shù)；

(2)y-Inx在x=|處的導(dǎo)數(shù)；

(3)y=sinx在％=27r處的導(dǎo)數(shù)；

(4)y—e*在％=0處的導(dǎo)數(shù).

【答案】⑴/(3)=405；(2)f(|)=I；(3)f'(2n)=1；(4)f(0)=1.

【分析】運用求導(dǎo)公式對所給函數(shù)進行求導(dǎo)，然后再求所求點的導(dǎo)數(shù)值.

【詳解】(1)因為y=%5,所以y，=5x4，所以在x=3處的導(dǎo)數(shù)為尸(3)=5x34=405；

(2)因為y=lnx,所以y，=：,所以在x=|處的導(dǎo)數(shù)為/(|)=|；

(3)因為y=sinx,所以y'=cos%，所以在％=2兀處的導(dǎo)數(shù)為f'(2TT)=cos27r=1；

試卷第2頁，共14頁

(4)因為y=ex,所以y'=ex,所以在％=0處的導(dǎo)數(shù)為r(0)=e°=1.

3.求余弦曲線、=cos%在點G，0)處的切線方程.

【答案】y=—%+]

【分析】求導(dǎo)得y=cosx的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由直線的點斜式方程可得切線方程.

【詳解】因為y=COST,則y'=-sinx,

可得曲線y=cosx在點?,0)處的切線斜率為k=-1,

則曲線y=cosx在點(],0)處的切線方程為y=-%4-p

故答案為：y=—x+今

1

4.求曲線、=位在點(4,2)處的切線方程.

【答案】y=：x+1

【分析】先求導(dǎo)數(shù)，然后求出切線的斜率，即可得到切線方程.

【詳解】解：???/=#：=康

"y，1x=4=壺=；'

1

:.k=一

4

所以切線方程為y—2=；(x—4),即y="+l

5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=%3—%4-3；

(2)y=2*+cosx.

解：⑴=(%3-%+3)z

=(7丫-(步+(3丫

=3x2-1；

(2)y'=(2"+cosxy

=(2")'+(cos%)，

=2x\n2—sinx.

例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=x3ex；

解：(1)yl=(%3ex)z

=(%3)zex+x3(ex)z

=3x2ex4-x3ex.

⑵V=(誓)’

(2sinx),x2—2s\nx(^x2y2x2cosx-4xsinx

一(x2)2-x4

2xcosx-4sinx

=,

例5日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用

不斷增加.已知將It水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為

C(x)=-^-(80<x<100).

求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：

(1)90%；(2)98%.

解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

c(乃=(wO^)

_5284'x(100-x)-5284x(100-x)f

=(100-x)2

_0x(100-%)-5284x(-1)

二(100-%)2

5284

一(100-X)2*

(1)因為c'(90)=就徐=52.84,所以，凈化到純凈度為90%時，凈化費用的瞬時

變化率是52.84元/噸.

(2)因為c'(98)=譚施=1321,所以，凈化到純凈度為98%時，凈化費用的瞬時

變化率是1321元/噸.

函數(shù)f(x)在某點處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點附近變化的快慢.由上述計算可知，

c'(98)=25c'(90).它表示凈化到純凈度為98%左右時凈化費用的變化率，大約是凈化

到純凈度為90%左右時凈化費用變化率的25倍.這說明，水的純凈度越高，需要的凈

化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快.

練習(xí)

1.運用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)運算法則，重新求解5.1節(jié)例2.你是否感覺

到運算法則給解題帶來的方便簡捷？

5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=2x3—3x2—4；(2)y=3cosx+2X；(3)y=ex\nx

試卷第4頁，共14頁

(4)y=(x2+2x)Vx；(5)y=(6)y=tanx

【答案】(1)y'=6%2—6x；(2)yr=-3sinx+2X-ln2；(3)yf=ex\nx+y；(4)

yr=-X2+3%2；(5)yr=―?%；(6)y'=

J2'X2，cos2%

【分析】運用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則直接求導(dǎo)即可得到結(jié)果.

［詳解】(1)y'=6%2—6x

(2)y'=-3sinx+2X-ln2

(3)y'=ex\nx+—

X

(4)yr=(2x4-2)Vx4-1(%2+2x)x-2

531

=-%2+3%2

i-lnx

(5)y

.、，xSinx.,

丫r=r(tan%)=(—)

cosxcosx+sinxsinx

cos2x

1

cos2%

6.求曲線y=/+：在點(1,4)處的切線方程.

【答案】x+y-5=0

【分析】先求解出尸(x),然后求解出/'(1)/(1),由此可寫出切線的點斜式方程并將其

轉(zhuǎn)化為一般式方程.

【詳解】因為/=((%)=2%-5，所以r(1)=2—3=-1,/(I)=1+3=4,

所以切線方程為：y-4=-(x-l),

即為％+y—5=0.

5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=(3%+5＞；

05x+1

(2)y=e-0；

(3)y=ln(2x—1).

解：(1)函數(shù)y=(3x+5)3可以看作函數(shù)y=〃3和〃=3%+5的復(fù)合函數(shù).根據(jù)復(fù)合函

數(shù)的求導(dǎo)法則，有

y'x=兀?優(yōu)工

=(7)'-(3x+5y

-3u2x3

=9(3x+5產(chǎn)

(2)函數(shù)y=可以看作函數(shù)y=e"和u=-0.05x+1的復(fù)合函數(shù).根據(jù)復(fù)合函

數(shù)的求導(dǎo)法則，有

匕=y'u'

=(eu)/?(-0.05%+1)'

=-0.05eu

=-0.05e-°O5x+1.

(3)函數(shù)y=ln(2x-l)可以看作函數(shù)y=lnu和&=2久一1的復(fù)合函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)

的求導(dǎo)法則，有

=y'u'u，x

=(Ina)'?(2x-1)'

1

=2x-

u

2

=----.

2X-1

例7某個彈簧振子在振動過程中的位移y(單位：mm)關(guān)于時間t(單位：s)的函數(shù)

滿足關(guān)系式y(tǒng)=18sin(點t-].求函數(shù)y在t=3s時的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實際意義.

解：函數(shù)y=18sin得t可以看作函數(shù)y=18sinu和u=乎一/的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有

y't=y'u'*

,/2TT7l\

=(18sinu)-t--J

2n

=18cosux—

3

=127TCOS管t—

當￡=3時,y't—127rcos(?)=0.

它表示當t=3s時，彈簧振子振動的瞬時速度為Omm/s.

練習(xí)

7.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴、=焉5

(2)y=(1—2%)3

試卷第6頁，共14頁

(3)y=log2(2x+1)

x

(4)y=cos-

(5)y=sin(y-3x)

(6)y=22x—1

【答案】(1》'=一3(3刀+1)3

(2)y，=-6(1-2x)2

⑶y，=——-——

(2x+l)ln2

(4)/=-|sin|

(5)y'=3sin3x

(6)y'=4xln4

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則計算可得;

(1)

解：因為丫=焉?=2(3%+1)於所以/=[2(3%+1)目'=-3(3刀+1)號

(2)

解：因為y=(l—2%)3,所以/=[(1-2%)31=-6(1-2x)2

(3)

解：因為y=log2(2x+1)，所以y=[log2(2%+1)]'=蒼島蒞

(4)

解：因為y=cosg,所以y，=(cosg)=-7sin|

(5)

解：因為y=sing-3x)=—cos3x,所以y'=(—cos3x)'=3sin3x

(6)

解：因為'=22工一1=空一1,所以V=(於一1)，=4，ln4

8.求下列函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=e-2x-i在％=1處的導(dǎo)數(shù)；

(2)y=ln(5x+2)在x=1處的導(dǎo)數(shù).

【答案】(1)-2e~2；(2)

【分析】(1)先根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解出y=e-2x-i的導(dǎo)函數(shù)y，，然后將％代

入導(dǎo)函數(shù)計算出結(jié)果即可；

(2)先根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解出y=ln(5x+2)的導(dǎo)函數(shù)/，然后將x=1代入

導(dǎo)函數(shù)計算出結(jié)果即可.

【詳解】(1)因為y=e-2x-1可以看作函數(shù)y=〃和觀=—2x—l的復(fù)合函數(shù)，

所以為，=%'ux，=(eU)'?(-2x_l)'=_2eU=_2e-2xT,

2

所以當x=g時，yx'=-2e~-,

(2)因為y=ln(5x+2)可以看作函數(shù)y=Inu^u=5x+2的復(fù)合函數(shù)，

所以以'=%'ux'=(lnu)J(5x+2)，=：=高，

所以當x=l時，yx'=

9.求曲線丫=反二彳在點(I，1)處的切線方程.

【答案】y=x+：

【分析】求出曲線y=快二！在點(|,1)處的切線的斜率，利用點斜式可得出所求切線

的方程.

【詳解】設(shè)y=/(%)=(3x-l)t則/(x)=3x|(3x-1)4=(3x-1)4,則/，修)=1,

因此，曲線y=四』在點(|,1)處的切線方程為y—1=x—|,即y=x+[.

習(xí)題：5.2

10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

(l)y=2/—3x2+5

(2)y=-+—

JXx+1

(3)y=2*+log2x

(4)y=xnex

心二-I

⑸y==

/八sinx

⑹y=

【答案】(l)y'=6x2-6%

⑵V=-2x-2-4(%+1)-2

(3)/=2xln2+_l.

(4)y'=nxn~1ex+xnex

試卷第8頁，共14頁

3x2sinx-cosx(x3-l)

⑸y'=

sin2x

1

(6)y'

l+sin2x

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則計算可得;

⑴

解：因為y=2爐-3/+5,所以y'=6/-6x；

⑵

解：因為y=：+士=2xT+4(x+l)T,所以；/=-2X-2—4Q+i)-2；

⑶

解：因為y=2*+log2%,所以y'=2町112+焉;

⑷

y=nxy'=(%n)'e*+nxfn1xnx

解:因為xe9所以x(e)=nx^e+xe；

(5)

解：因為y=W，所以y'=(x3-l),sinx-(sinx)/(x3-l)_3x2sinx-cosx(x3-l)

(sinx)2sin2x

(6)

解：因為、=缶？所以y'=(sinx)/(sinx+cosx)-(sinx+cosx)/sinx

(sinx+cosx)2

cosx(sinx+cosx)-(cosx-sinx)sinx

(sinx+cosx)214-sin2x

11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=(%+1)99

Y

⑵丫二標

(3)y=(2%—3)sin(2x+5)；

/八cos(3x-2)

(4)y=

(5)y=(3x+l)2ln(3x)

(6)y=3xe~3x.

【答案】⑴y'=99(%+1)98

V2X+1-X(2X+1)~2

Q)y，=

2x+l

(3)y'=2sin(2x+5)+(4%—6)cos(2x+5)

-6xsin(3x-2)-2cos(3x-2)

(4)y'

4x2

(5)y=6(3%+l)ln(3x)+

(6)y'=3xe-3xln3—3-3xe~3x

【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)的運算法則、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

計算法則求解.

(1)

解：???y=(x+1)99,.?.y'=99(x+l)98(x+l)'=990+1)98；

(2)

解：因為y=Y=,所以,=如空可一(竽=衍TT(2X+】N

(3)

解：因為y=(2x-3)sin(2x+5),所以y'=(2x-3),sin(2x+5)+(2%-3)[sin(2x+

5)]'=2sin(2x+5)+(4x-6)cos(2x+5)

(4)

二匚、Iz/

解AT,：口rrn為y=—cos—(3—x-，2)所以IIy=[cos(3x-2)]2x-(2x)cos(3x-2)=-6xsin(3x-2屈)-2cos(3x-2)

(5)

解：因為y=(3x+l)2ln(3x),所以y=[(3%+l)2]zln(3x)+(3%+l)2[ln(3x)]z=

6(3%+l)ln(3x)+

(6)

解：因為丫=3在-3￥,=(3xye-3x+3x(e-3xy=3xe-3x\n3-3-3xe-3x

12.已知函數(shù)/(x)=13-8x+齒廣，且尸(殉)=4,求殉.

【答案】3V2

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計算可得；

【詳解】解：因為f(x)=13—8X+&X2,所以尸(x)=-8+2魚x,因為尸(x0)=4,

所以-8+2V2x0=4,解得X。=3V2

13.已知函數(shù)y=xlnx.

(1)求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

(2)求這個函數(shù)的圖象在點(1,0)處的切線方程.

【答案】(1)y'=Inx+1；(2)y=x-1.

【分析】(1)運用函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則即可求出導(dǎo)數(shù)；(2)求導(dǎo)后計算出切線斜率，然

后計算出切線方程.

【詳解】(1)由題意，y=xlnx

試卷第10頁，共14頁

1

???y,—Inx+%?一=In%+1

x

故函數(shù)y=xlnx的導(dǎo)數(shù)為;/=In%+1

(2)易知所求切線的斜率存在，設(shè)斜率為k,

f

則攵=y\x=i=Inl+1=1,

又當％=1時，y=0,

所以切點為(1,0),

則切線的方程為y-0=1x(%-1)

即y=%-1,

故這個函數(shù)的圖象在％=1處的切線方程為y=%-1.

14.求曲線y=等在點處的切線方程.

【答案】%+Try-7T=0.

【分析】由題意可得y',并得切線的斜率，結(jié)合切點坐標即可確定切線方程.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得：yz=xcosysinx

JX；2,

所求切線的斜率為：k=丫匕=兀=江爺列竺=-%

由于切點坐標為(兀,0),故切線方程為：y=-i(x-7r),

即為％+Try—a=0.

15.已知函數(shù)f(%)滿足/(%)=f'G)sinx-cosx,求/(x)在％=的導(dǎo)數(shù).

【答案】V2+1

【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再將x=f代入計算可得；

4

【詳解】解：因為f(x)=f'C)sinx-cosx,所以/'(x)=/z(^)cosx+sinx,所以/=

/，G)cos7+sinr解得/'’(9=&+i

16.設(shè)函數(shù)/Q)=l-/的圖象與x軸相交于點P,求曲線在點尸處的切線方程.

【答案】x+y=0

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可.

【詳解】令/(x)=l-ex=0得x=0,則點P的坐標為(0,0).

?.?/⑺=_〃，(0)=-1.

曲線在點P處的切線方程為y=—%,即％+y=0.

17.已知函數(shù)/(%)=/+2%-31n%,求/(久)的導(dǎo)數(shù)，并求出/'(%)>0的解集.

【答案】/。)=x+2-*/(x)>0的解集為(1,+8).

【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，再解尸(%)>0,得到/'(%)>0的解集.

v2,、

【詳解】f(x)=3+2x-31nx的定義域為(0,+00),

所以尸(x)=O+(2x)'—(31nx)=x+2—|=^(x2+2x-3)。

令『(x)>0,解得：x>1.

所以尸(x)>0的解集為：(L+oo)

18.氯氣是一種由地表自然散發(fā)的無味的放射性氣體.如果最初有500g氨氣，那么f天

后，氨氣的剩余量為4(t)=500x0.834tg.(參考數(shù)值lnO.834儀—0.1815,08347?

0.2806)

(1)氨氣的散發(fā)速度是多少？

(2)4(7)的值是什么(精確到0.1)?它表示什么意義？

【答案】(l)A'(t)=500X0.834fln0.834

(2)H(7)?-25.5,表示在第7天附近，氧氣大約以25.5克/天的速度自然散發(fā).

【分析】(1)根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計算可得；

(2)將t=7代入求值即可；

(1)

解：氨氣的散發(fā)速度就是剩留量函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

"(0=500x0.834，，

4(t)=500x0.834fln0.834.

(2)

解：因為A'(t)=500X0.834cln0.834

所以4(7)=500x0.8347ln0.834?-25.5.

它表示在第7天附近，氯氣大約以25.5克/天的速度自然散發(fā).

19.設(shè)某高山滑雪運動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的路程/(單位：m)與時間，(單位：

s)滿足關(guān)系式1(t)=2t2+|t.

(1)求關(guān)于，的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實際意義；

(2)當t=3s時，求運動員的滑雪速度；

(3)當運動員的滑雪路程為38m時，求此時的滑雪速度.

【答案】(1)1'(t)=4t+|,它的實際意義是滑雪時在f時刻的瞬時速度；

試卷第12頁，共14頁

(2)—(m/s)；(3)—(m/s).

22

【分析】(1)求出Z'(t)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案；

(2)把t=3代入l'(t)可得答案；

(3)由題意得2t2+11=38,解得t代入廠(t)可得答案.

【詳解】(1)由已知得/'(t)=4t+|,它的實際意義是滑雪時在f時刻的瞬時速度.

(2)因為F(t)=4t+|,所以1(3)=4x3+|=孑，

所以運動員的滑雪速度段(m/s).

(3)由題意得2t2+三t=38,解得t=4或1=-