高等數(shù)學同步輔導

高等教育十四五少數(shù)民族預科系列教材

“”

高等數(shù)學同步輔導

王敏王勇兵主編

內(nèi)容簡介

本書是普通高等學校少數(shù)民族預科教材高等數(shù)學王敏王勇兵主編中國鐵道出版社有限公司出版

《》(、,)

的同步輔助教材其章節(jié)及知識點設置與主教材保持一致全書共七章每章均由基本要求內(nèi)容概要同步

,。,、、

練習章節(jié)檢測和答案解析五部分構(gòu)成此外本書配有四套期末綜合測試題并附有詳細的參考答案

、。,,。

本書基于以練助學以學促用的原則以高等數(shù)學的基礎理論和基本知識為重點注重基本技能的培養(yǎng)

“、”,,

和基本思想方法的滲透挖掘數(shù)學的人文價值和思政元素增強學生分析問題和解決問題的能力提升學生的

,,,

數(shù)學素養(yǎng)

。

本書適合作為民族預科高等數(shù)學課程的配套教材也可作為教師命題學生練習專升本考試的參考

,、、

資料

。

圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)

高等數(shù)學同步輔導王敏王勇兵主編北京中國

/,.—:

鐵道出版社有限公司

,2022.6

高等教育十四五少數(shù)民族預科系列教材

“”

ISBN978-7-113-29127-3

高王王高等數(shù)學高等

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…Ⅲ.①-

學校教學參考資料

-Ⅳ.①O13

中國版本圖書館數(shù)據(jù)核字第號

CIP(2022)080026

書名:高等數(shù)學同步輔導

作者:王敏王勇兵

策劃:曾露平編輯部電話:

(010)63551926

責任編輯:曾露平徐盼欣

封面設計:高博越

責任校對:孫玫

責任印制:樊啟鵬

出版發(fā)行:中國鐵道出版社有限公司北京市西城區(qū)右安門西街號

(100054,8)

網(wǎng)址:

/51eds/

印刷:三河市宏盛印務有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

202261202261

開本:印張:字數(shù):千

787mm×1092mm1/1610.75280

書號:

ISBN978-7-113-29127-3

定價:元

32.00

版權(quán)所有侵權(quán)必究

凡購買鐵道版圖書如有印制質(zhì)量問題請與本社教材圖書營銷部聯(lián)系調(diào)換電話

,,。:(010)63550836

打擊盜版舉報電話

:(010)63549461

前言

本書是普通高等學校少數(shù)民族預科教材《高等數(shù)學》(王敏、王勇兵主編,中國鐵道出

版社有限公司出版)的同步輔助教材。

本書共七章,考慮到理論與實踐的融合,每章包括基本要求、內(nèi)容概要、同步練習、章

節(jié)檢測和答案解析五部分,另外附有四套精細化的期末綜合測試題及詳解。

基本要求:以高等學校少數(shù)民族預科《數(shù)學》教學大綱為依據(jù),分條列出每章的教學目

標和要求,明確學生的學習方向,便于學生自學。

內(nèi)容概要:按照主教材內(nèi)容的編排次序,系統(tǒng)整理了每章的基本概念、性質(zhì)、定理、法

則和重要結(jié)論,以點帶面,快速形成知識網(wǎng)絡,便于學生訓練時查閱和復習。

同步練習:以每章重要知識點為專題,精選契合度高、針對性強、難度適當、容量豐富

的練習題供學生強化訓練,促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升。

章節(jié)檢測:依據(jù)每章的基本要求,對學習效果進行自我檢測,便于學生自我認知和修

正學習目標。

答案解析:以專題順序和題號次序詳細給出同步練習和章節(jié)檢測部分的參考答案,便

于學生練習和檢測后自查。

本書由河北師范大學附屬民族學院王敏、王勇兵任主編。本書的編寫和出版得到了

河北師范大學附屬民族學院有關領導和老師的大力支持,在此致以最誠摯的謝意。

由于編者水平有限,加之時間倉促,書中疏漏及不妥之處在所難免,懇請廣大讀者批

評指正。

編者

年月

20223

目錄

第一章函數(shù)…………………

(1)

一基本要求…………………

、(1)

二內(nèi)容概要…………………

、(1)

三同步練習…………………

、(5)

四章節(jié)檢測………………

、(12)

五答案解析………………

、(18)

第二章極限與連續(xù)…………

(21)

一基本要求………………

、(21)

二內(nèi)容概要………………

、(21)

三同步練習………………

、(27)

四章節(jié)檢測………………

、(39)

五答案解析………………

、(46)

第三章導數(shù)與微分…………

(49)

一基本要求………………

、(49)

二內(nèi)容概要………………

、(49)

三同步練習………………

、(53)

四章節(jié)檢測………………

、(60)

五答案解析………………

、(67)

第四章微分中值定理與導數(shù)的應用………

(70)

一基本要求………………

、(70)

二內(nèi)容概要………………

、(70)

三同步練習………………

、(74)

四章節(jié)檢測………………

、(82)

五答案解析………………

、(89)

第一學期期末綜合測試試卷卷…………

(A)(94)

第一學期期末綜合測試試卷卷…………

(B)(98)

第一學期期末綜合測試試卷卷參考答案……………

(A)(101)

Ⅱ高等數(shù)學同步輔導

|

第一學期期末綜合測試試卷卷參考答案……………

(B)(103)

第五章不定積分…………

(105)

一基本要求………………

、(105)

二內(nèi)容概要………………

、(105)

三同步練習………………

、(107)

四章節(jié)檢測………………

、(112)

五答案解析………………

、(117)

第六章定積分及其應用…………………

(120)

一基本要求………………

、(120)

二內(nèi)容概要………………

、(120)

三同步練習………………

、(125)

四章節(jié)檢測………………

、(134)

五答案解析………………

、(138)

第七章微分方程…………

(141)

一基本要求………………

、(141)

二內(nèi)容概要………………

、(141)

三同步練習………………

、(143)

四章節(jié)檢測………………

、(149)

五答案解析………………

、(152)

第二學期期末綜合測試試卷卷………

(A)(155)

第二學期期末綜合測試試卷卷………

(B)(159)

第二學期期末綜合測試試卷卷參考答案……………

(A)(162)

第二學期期末綜合測試試卷卷參考答案……………

(B)(164)

第一章函數(shù)

不斷積累,飛躍必來,突破隨之。

———華羅庚

華羅庚(年月日—年月日),出生于江蘇常州金壇區(qū),祖籍江

191011121985612

蘇丹陽,數(shù)學家,中國科學院院士,美國國家科學院外籍院士,第三世界科學院院士,聯(lián)邦德國

巴伐利亞科學院院士,中國第一屆至第六屆全國人大常委會委員。

華羅庚是中國解析數(shù)論、矩陣幾何學、典型群、自守函數(shù)論與多元復變函數(shù)論等多方面研

究的創(chuàng)始人和開拓者,并被列為芝加哥科學技術博物館當今世界位數(shù)學偉人之一。國際

88

上以華氏命名的數(shù)學科研成果有“華氏定理”、“華氏不等式”和“華-王方法”等。

一、基本要求

了解變量區(qū)間和絕對值的概念理解絕對值的性質(zhì)和鄰域的概念

1.、,。

理解函數(shù)的概念會求函數(shù)的定義域表達式和函數(shù)值

2.,、。

理解分段函數(shù)的概念會求分段函數(shù)的定義域和函數(shù)值

3.,。

了解函數(shù)的基本性質(zhì)會判斷函數(shù)的有界性單調(diào)性奇偶性和周期性

4.,、、。

了解反函數(shù)的概念會求函數(shù)的反函數(shù)

5.,。

理解復合函數(shù)的概念會求復合函數(shù)的表達式及定義域掌握把復合函數(shù)分解成較簡

6.,,

單函數(shù)的方法

。

掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖形

7.。

了解初等函數(shù)和冪指函數(shù)的概念

8.。

二、內(nèi)容概要

(一)預備知識

1.變量

常量是在某一過程中數(shù)值始終保持不變的量通常用字母abc等表示在數(shù)軸上表示

,,,,

一個定點

。

變量是指在某一過程中數(shù)值不斷變化的量通常用字母xz等表示在數(shù)軸上表示

,,y,,

動點

。

2.區(qū)間

有限區(qū)間分為

:

開區(qū)間abxaxb

(1):(,)={<<}。

閉區(qū)間abxaxb

(2):[,]={≤≤}。

半開半閉區(qū)間abxaxbabxaxb

(3):[,)={≤<},(,]={<≤}。

無限區(qū)間有

:

2高等數(shù)學同步輔導

|

axaxaxax

[,+∞)={≤},(,+∞)={<},

bxxbbxxb

(-∞,]={≤},(-∞,)={<},

R

(-∞,+∞)=。

3.絕對值

定義設x是一個實數(shù)則x的絕對值定義為

(1):,

xx

x,≥0

={xx。

-,<0

幾何意義x表示點x到原點O的距離

(2):。

性質(zhì)設xy為任意實數(shù)則

(3):,,:

x

①≥0;

xx

②-=;

xxx

③-≤≤;

xaaaxa

④<(>0)?-<<;

xccxc或xc

⑤>(>0)?><-;

xyxyxy

⑥-≤±≤+;

xyxy

⑦=·;

xx

y

⑧y=y(≠0)。

4.鄰域

設xδ是兩個實數(shù)且δ則開區(qū)間xδxδ即xxδ稱為點x的δ鄰

0,,>0,(0-,0+)(-0<)0

域記為Uxδ點x稱為該鄰域的中心δ稱為該鄰域的半徑

,(0,),0,。

若把鄰域的中心x去掉即

0,

xδxxxδ即xxδ

(0-,0)∪(0,0+)(0<-0<)

。

稱為點x的去心δ鄰域記為Uxδ其中xδx稱為x的左鄰域xxδ稱為

0,(0,),(0-,0)0,(0,0+)

x的右鄰域

0。

。

若不強調(diào)δ的大小則點x的鄰域簡記為Ux點x的去心鄰域簡記為Ux

,0(0),0(0)。

(二)函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義

給定一個數(shù)集I如果對于每一個xI按照一定的法則都有唯一的y與它相對應則

,∈,,,

稱是x的函數(shù)記作

y,

yfxxI

=(),∈,

其中x稱為自變量稱為函數(shù)或因變量數(shù)集I稱為函數(shù)的定義域

,y,。

值域全體函數(shù)值所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)的值域記作fI即

(1):,(),

fIyyfxxI

()={=(),∈}。

函數(shù)的兩要素定義域和對應法則

(2):。

兩個函數(shù)相同如果兩個函數(shù)的定義域?qū)▌t分別都相同則稱這兩個函數(shù)相同

(3):、,。

分段函數(shù)如果函數(shù)在其定義域的不同部分對應法則由不同的解析式表達則稱這

(4):,,

種函數(shù)為分段函數(shù)

。

第一章函數(shù)3

|

2.函數(shù)的表示法

函數(shù)的表示法一般有三種表格法圖示法和解析法又稱公式法

:、()。

(三)函數(shù)的性質(zhì)

1.有界性

設fx為定義在區(qū)間I上的函數(shù)若存在數(shù)A或B使得對一切xI都有

(),(),∈,

fxA或fxB

()≤(()≥)

成立則稱x在區(qū)間I內(nèi)有上界或有下界

,f()()。

設fx為定義在區(qū)間I上的函數(shù)如果存在正數(shù)M對一切xI都有

(),,∈,

fxM

()≤

成立則稱x在區(qū)間I內(nèi)有界如果這樣的M不存在就稱函數(shù)x在區(qū)間I內(nèi)無界

,f()。,f()。

x為有界函數(shù)的充分必要條件是x既有上界又有下界

f()f()。

2.單調(diào)性

如果對于區(qū)間I上任意兩點x及x當xx時恒有

12,1<2,

fxfx或fxfx

(1)<(2)((1)>(2)),

則稱函數(shù)x在區(qū)間I上是單調(diào)增加的或單調(diào)減少的

f()()。

單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)

。

3.奇偶性

設函數(shù)fx的定義域I關于原點對稱即若xI則有xI如果對于任意xI

()(∈,-∈),∈,

都有

fxfx或fxfx

(-)=-()((-)=())

恒成立則稱x為奇函數(shù)或偶函數(shù)

,f()()。

4.周期性

設函數(shù)fx在區(qū)間I內(nèi)有定義如果存在非零常數(shù)T使得對于任意xI恒有

(),,∈,

fxTfxxTI

(+)=()(+∈),

則稱x為周期函數(shù)T稱為x的周期

f(),f()。

如果T為fx的周期則nTn也是fx的周期

(1)(),(=±1,±2,…)()。

通常所說函數(shù)的周期是指最小正周期

(2)。

x和x的周期是x和x的周期是

(3)sincos2π,tancotπ。

設函數(shù)fx是以T為周期的周期函數(shù)則faxba也是周期函數(shù)其周期

(4)(),(+)(≠0),

為T

a。

(四)反函數(shù)

1.定義

設函數(shù)yfx的定義域為I如果對每一個yfI都有唯一的xI使得fxy

=(),∈(),∈,()=,

則x是定義在I上以為自變量的函數(shù)記此函數(shù)為

f()y,

xf-1yyfI

=(),∈(),

并稱其為函數(shù)yfx的反函數(shù)而yfx稱為直接函數(shù)

=(),=()。

習慣上常用x表示自變量y表示因變量因此yfx的反函數(shù)xf-1y常記為

,,。,=()=()

4高等數(shù)學同步輔導

|

yf-1xxfI

=(),∈()。

2.性質(zhì)

yfx與yf-1x互為反函數(shù)且yfx的定義域和值域分別是yf-1x的

(1)=()=(),=()=()

值域和定義域

。

在同一個直角坐標系下函數(shù)yfx與其反函數(shù)yf-1x的圖形關于直線yx對稱

(2),=()=()=。

3.存在性

如果函數(shù)yfx在區(qū)間I上單調(diào)增加或單調(diào)減少則它的反函數(shù)yf-1x存在且

=()(),=()

在I上也是單調(diào)增加或單調(diào)減少的

f()()。

(五)復合函數(shù)

已知函數(shù)

yfuuI

=(),∈1,

ugxxI

=(),∈2,

如果IgI不是空集則稱函數(shù)

1∩(2),

yfgxxxgxI

=[()],∈{()∈1}

為由函數(shù)yfu和ugx復合而成的復合函數(shù)其中u稱為中間變量

=()=(),。

復合的前提條件IgI

(1):1∩(2)≠?。

復合函數(shù)的定義域既要保證內(nèi)函數(shù)有定義又要確保內(nèi)函數(shù)的函數(shù)值在外函數(shù)的定

(2):,

義域內(nèi)

。

復合函數(shù)的分解一般地由外向里拆直至沒有復合結(jié)構(gòu)為止

(3):,,。

(六)初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)

冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)和反三角函數(shù)這五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)

、、、。

冪函數(shù)yxμμ為實數(shù)

(1):=,。

指數(shù)函數(shù)yaxaaxy

(2):=(>0,≠1),∈(-∞,+∞),∈(0,+∞)。

x

對數(shù)函數(shù)yaxaax它是指數(shù)函數(shù)ya的反函數(shù)

(3):=log(>0,≠1),∈(0,+∞),=。

三角函數(shù)

(4):

正弦函數(shù)yx其定義域為值域為

=sin,(-∞,+∞),[-1,1]。

余弦函數(shù)yx其定義域為值域為

=cos,(-∞,+∞),[-1,1]。

正切函數(shù)yx其定義域為xxkπk值域為

=tan,{≠π+,=0,±1,±2,…},(-∞,+∞)。

2

余切函數(shù)yx其定義域為xxkk值域為

=cot,{≠π,=0,±1,±2,…},(-∞,+∞)。

正割函數(shù)x1余割函數(shù)x1

sec=x,csc=x。

cossin

反三角函數(shù)

(5):

éù

反正弦函數(shù)yx定義域為值域為êππú

=arcsin,[-1,1],?-,?。

22

反余弦函數(shù)yx其定義域為值域為

=arccos,[-1,1],[0,π]。

??

反正切函數(shù)yx其定義域為值域為?ππ÷

=arctan,(-∞,+∞),è-,?。

22

第一章函數(shù)5

|

反余切函數(shù)yx其定義域為值域為

=arccot,(-∞,+∞),(0,π)。

2.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復合步驟所構(gòu)成的并可用一

個式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)

,。

x

形如fxg()的函數(shù)稱為冪指函數(shù)其中fxgx是初等函數(shù)且fx對冪指

[()],(),(),()>0。

gxgxfx

函數(shù)有恒等式fx()()ln()因此冪指函數(shù)是初等函數(shù)

,[()]=e,。

三、同步練習

專題一:預備知識

若aa則a一定是

1.=-,()。

正數(shù)負數(shù)非正數(shù)非負數(shù)

A.B.C.D.

下列說法正確的是

2.()。

連續(xù)變化的變量可以用區(qū)間來表示水的沸點是常量人的體溫是變量

A.B.,

xxxx

C.{≥2}=[2,+∞]D.{1<<2}=(2,1)

絕對值不大于的整數(shù)有

3.11.1()。

個個個個

A.11B.12C.22D.23

不等式xyxy中成立的條件是

4.-≤-“=”()。

xyxyxyxy

A.≥0,≥B.≤0,≥

xyxy

C.≥0D.≤0

??

區(qū)間?35÷可化為鄰域Uaδ形式則該領域可表示為

5.è,?(,),()。

22

????????

U?1÷U?1÷U?1÷U?1÷

A.è2,?B.è3,?C.è4,?D.è5,?

2222

不等式x的解集為

6.3-1>1()。

????

?1÷?1÷

A.è-∞,-?∪(1,+∞)B.è-,1?

33

????

?1÷?1÷

C.è-∞,?∪(1,+∞)D.è,1?

33

專題二:函數(shù)的概念

設集合AxxByy則下列四個圖形中能表示從集合A到

7.={0≤≤2},={0≤≤2},,

集合B的函數(shù)關系的是

()。

A.①②③④B.①②③C.②③D.②

6高等數(shù)學同步輔導

|

??

已知函數(shù)fxx2x則ff?1÷

8.()=+2,(2)è?=()。

2

A.1B.3C.5D.10

在下列函數(shù)中函數(shù)相同的是

9.,()。

x2與xx與x2

A.ln2lnB.

x

-1與13x4x3與x3x

C.x2xD.-·-1

-11+

下列各對函數(shù)中相同的函數(shù)是

10.