2024屆福建省廈門市第六中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆福建省廈門市第六中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè),,,則（）A． B． C． D．2．若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值是（）A． B．0 C．1 D．23．已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（）A．若則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4．在等比數(shù)列中，若，則（）A．3 B． C．9 D．135．已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和15，偶數(shù)項之和為30，則其公差是（）A．5 B．4 C．3 D．26．已知圓，圓，分別為圓上的點，為軸上的動點，則的最小值為()A． B． C． D．7．已知，，且，則實數(shù)等于（）A．-1 B．-9 C．3 D．98．要從已編號(1～50)的50枚最新研制的某型導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取5枚來進(jìn)行發(fā)射試驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5枚導(dǎo)彈的編號可能是()A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，329．在直角中，三條邊恰好為三個連續(xù)的自然數(shù)，以三個頂點為圓心的扇形的半徑為1，若在中隨機(jī)地選取個點，其中有個點正好在扇形里面，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為（）A． B． C． D．10．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，則的取值范圍是____12．如圖，長方體中，，，，與相交于點，則點的坐標(biāo)為______________．13．已知角的終邊經(jīng)過點，則______．14．如圖，為了測量樹木的高度，在處測得樹頂?shù)难鼋菫椋谔帨y得樹頂?shù)难鼋菫?，若米，則樹高為______米.15．如圖，圓錐形容器的高為圓錐內(nèi)水面的高為，且，若將圓錐形容器倒置，水面高為，則等于__________．（用含有的代數(shù)式表示）16．在中，若，點，分別是，的中點，則的取值范圍為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．18．如圖，直三棱柱中，，，，，為垂足.（1）求證：（2）求三棱錐的體積.19．在平面上有一點列、、、、，對每個正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖像上，且點、點與點構(gòu)成一個以為頂角頂點的等腰三角形；（1）求點的縱坐標(biāo)的表達(dá)式；（2）若對每個自然數(shù)，以、、為邊長能構(gòu)成一個三角形，求的取值范圍；（3）設(shè)，若?。?）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列的最大項的項數(shù)是多少？試說明理由；20．在直角坐標(biāo)系中，，，點在直線上.（1）若三點共線，求點的坐標(biāo)；（2）若，求點的坐標(biāo).21．泉州與福州兩地相距約200千米，一輛貨車從泉州勻速行駛到福州，規(guī)定速度不得超過千米/時，已知貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度千米/時的平方成正比，比例系數(shù)為0.01；固定部分為64元.（1）把全程運輸成本元表示為速度千米/時的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，貨車應(yīng)以多大速度行駛？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)與特殊點的比較可得因為,,,從而得到,得出答案.【題目詳解】解:因為,,,所以.故選:B【題目點撥】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點的問題,要熟記一些特殊點,如,,.2、C【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可得解.【題目詳解】作出可行域如圖，設(shè)，聯(lián)立，則，，當(dāng)直線經(jīng)過點時，截距取得最小值，取得最大值.故選：C【題目點撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.考點：空間點線面位置關(guān)系．4、A【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)即可得解.【題目詳解】在等比數(shù)列中，，，所以，所以，.故選：A【題目點撥】此題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)求數(shù)列中的項的關(guān)系，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，準(zhǔn)確計算.5、C【解題分析】，故選C.6、D【解題分析】

求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)A，以及半徑，然后求解圓A與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求得的最小值，得到答案．【題目詳解】如圖所示，圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為,，半徑為3，由圖象可知，當(dāng)三點共線時，取得最小值，且的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑之和，即，故選D．【題目點撥】本題主要考查了圓的對稱圓的方程的求解，以及兩個圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中合理利用兩個圓的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

由可知,再利用坐標(biāo)公式求解.【題目詳解】因為,,且,所以,即,解得,故選:C.【題目點撥】本題考查向量的坐標(biāo)運算,解題關(guān)鍵是明確.8、B【解題分析】

對導(dǎo)彈進(jìn)行平均分組，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的基本原則可得結(jié)果.【題目詳解】將50枚導(dǎo)彈平均分為5組，可知每組50÷5=10枚導(dǎo)彈即分組為：1～10，11～20，21～30，31～40，41～50按照系統(tǒng)抽樣原則可知每組抽取1枚，且編號成公差為10的等差數(shù)列由此可確定B正確本題正確選項：B【題目點撥】本題考查抽樣方法中的系統(tǒng)抽樣，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】由題直角中，三條邊恰好為三個連續(xù)的自然數(shù)，設(shè)三邊為解得以三個頂點為圓心的扇形的面積和為由題故選B.10、D【解題分析】

由題意，由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線,所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．【題目詳解】解：以點為坐標(biāo)原點，以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則,

為平面的一個法向量．

．

∴直線與平面所成角的正弦值為.故選：D．【題目點撥】此題重點考查了利用空間向量，抓住直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角之間的關(guān)系,利用向量方法解決立體幾何問題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

分類討論，去掉絕對值，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)各段上的取值，進(jìn)而得到函數(shù)的取值范圍，得到答案．【題目詳解】由題意，當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，此時函數(shù)的取值當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，最小值，所以函數(shù)的取值為當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以最大值為，此時函數(shù)的取值，綜上可知，函數(shù)的取值范圍是．【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)的值域問題，其中解答中合理分類討論去掉絕對值，利用函數(shù)的單調(diào)性求得各段上的值域是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

易知是的中點，求出的坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式求解.【題目詳解】可知，，由中點坐標(biāo)公式得的坐標(biāo)公式，即【題目點撥】本題考查空間直角坐標(biāo)系和中點坐標(biāo)公式，空間直角坐標(biāo)的讀取是易錯點.13、【解題分析】由題意，則.14、【解題分析】

先計算，再計算【題目詳解】在處測得樹頂?shù)难鼋菫?，在處測得樹頂?shù)难鼋菫閯t在中，故答案為【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，也可以用正余弦定理解答.15、【解題分析】

根據(jù)水的體積不變，列出方程，解出的值，即可得到答案.【題目詳解】設(shè)圓錐形容器的底面面積為，則未倒置前液面的面積為，所以水的體積為，設(shè)倒置后液面面積為，則，所以，所以水的體積為，所以，解得.【題目點撥】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，以及圓錐的體積的計算與應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用圓錐的結(jié)構(gòu)特征，利用體積公式準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.16、【解題分析】

記，，，根據(jù)正弦定理得到，再由題意，得到，，推出，再由題意，確定的范圍，即可得出結(jié)果.【題目詳解】記，，，由得，所以，即，因此，因為，分別是，的中點，所以，同理：，所以，因為且，所以，則，所以，則，所以.即的取值范圍為.故答案為【題目點撥】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理，以及兩角和的正弦公式即可，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）按等比數(shù)列的概念直接求解即可；（2）先求出的表達(dá)式，再利用裂項相消法即可求得數(shù)列的前項和.【題目詳解】（1）由等比數(shù)列通項公式得：（2）由（1）可得：【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的通項公式問題及利用裂項相消法求和的問題，屬常規(guī)考題.18、(1)見證明；(2)【解題分析】

（1）先證得平面，由此證得，結(jié)合題意所給已知條件，證得平面，從而證得.（2）首先證得平面，由計算出三棱錐的體積.【題目詳解】（1）證明：，∴，又，從而平面∵//，∴平面，平面，∴又，∴平面，于是（2）解：，∴平面∴【題目點撥】本小題主要考查線線垂直的證明，考查線面垂直的判定定理的運用，考查三棱錐體積的求法，屬于中檔題.19、（1）；（2）；（3）最大，詳見解析；【解題分析】

(1)易得的橫坐標(biāo)為代入函數(shù)即可得縱坐標(biāo).(2)易得數(shù)列為遞減的數(shù)列,若要組成三角形則,再代入表達(dá)式求解不等式即可.(3)由可知求即可.【題目詳解】(1)由點、點與點構(gòu)成一個以為頂角頂點的等腰三角形有.故.(2)因為,故為減函數(shù),故,又以、、為邊長能構(gòu)成一個三角形,故即.解得或,又,故.(3)由取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù),且,故.故,由題當(dāng)時數(shù)列取最大項.故且,計算得當(dāng)時取最大值.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合題型,需要根據(jù)題意找到函數(shù)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系,同時也要列出對應(yīng)的不等式再化簡求解.屬于中等題型.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）三點共線，則有與共線，由向量共線的坐標(biāo)運算可得點坐標(biāo)；（2），則，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得【題目詳解】設(shè)，則，（1）因為三點共線，所以與共線，所以，，點的坐標(biāo)為.（2）因為，所以，即，，點的坐標(biāo)為.【題目點撥】本題考查向量共線和向量垂直的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）,；（2），貨車應(yīng)以千米/時速度行駛，貨車應(yīng)以千米/時速度行駛【解題分析】

（1）先計算出從泉州勻速行駛到福州所用時間，然后乘以每小時的運輸成本（可變部分加固定部分），由此求得全程運輸成本，并根據(jù)速度限制求得定義域.（2）由，，對進(jìn)行分類討論.當(dāng)