2024屆湖南省衡陽四中數(shù)學高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆湖南省衡陽四中數(shù)學高一下期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是（）A． B． C． D．2．如圖所示，已知以正方體所有面的中心為頂點的多面體的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．已知，則，，的大小順序為（）A． B． C． D．4．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．．若且，直線不通過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限，6．函數(shù)的圖象大致為（）A． B． C． D．7．若則所在象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．29．已知一個三角形的三邊是連續(xù)的三個自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，則該三角形的最小角的余弦值是（）A． B．C． D．10．在中，角所對的邊分別為，若，則此三角形（）A．無解 B．有一解 C．有兩解 D．解的個數(shù)不確定二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等比數(shù)列中,若,則__________.12．如圖，矩形中，，，是的中點，將沿折起，使折起后平面平面，則異面直線和所成的角的余弦值為__________．13．如果事件A與事件B互斥，且，，則＝．14．若，則=.15．已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則的解析式是______.16．在中，是斜邊的中點，，，平面，且，則_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項和，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和．18．已知數(shù)列中，，點在直線上，其中.（1）令，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項；（3）設、分別為數(shù)列、的前項和是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出，若不存在，則說明理由.19．已知的三個內(nèi)角的對邊分別是，且．（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的周長．20．已知向量=,=,=,為坐標原點.（1）若△為直角三角形，且∠為直角，求實數(shù)的值；（2）若點、、能構(gòu)成三角形，求實數(shù)應滿足的條件.21．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，，M為線段AD上一點，，N為PC的中點.（1）證明：平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

由扇形的弧長公式列方程得解.【題目詳解】設扇形的半徑是，由扇形的弧長公式得：，解得：故選D【題目點撥】本題主要考查了扇形的弧長公式，考查了方程思想，屬于基礎題．2、A【解題分析】

設正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，由已知多面體的體積求解，得到正方體外接球的半徑，則外接球的表面積可求．【題目詳解】設正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，多面體的體積為，即．正方體的對角線長為．則正方體的外接球的半徑為．表面積為．故選：．【題目點撥】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力，是基礎題．3、B【解題分析】

由三角函數(shù)的輔助角公式、余弦函數(shù)的二倍角公式，正切函數(shù)的和角公式求得.【題目詳解】故選B.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式、余弦函數(shù)的二倍角公式，正切函數(shù)的和角公式的三角恒等變換，屬于基礎題.4、D【解題分析】

根據(jù)各選項的條件及結(jié)論，可畫出圖形或想象圖形，再結(jié)合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項．【題目詳解】選項A錯誤，同時和一個平面平行的兩直線不一定平行，可能相交，可能異面；選項B錯誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線不一定平行，可能異面；選項C錯誤，一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線，不一定和另一平面垂直，可能斜交；選項D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【題目點撥】本題考查空間直線位置關系的判定，這種位置關系的判斷題，可以舉反例或者用定理簡單證明，屬于基礎題.5、D【解題分析】

因為且，所以，，又直線可化為，斜率為，在軸截距為，因此直線過一二三象限，不過第四象限.故選：D.6、C【解題分析】

利用函數(shù)的性質(zhì)逐個排除即可求解.【題目詳解】函數(shù)的定義域為，故排除A、B.令又，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖像關于原點對稱，排除D故選：C【題目點撥】本題考查了函數(shù)圖像的識別，同時考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.7、C【解題分析】

根據(jù)已知不等式可得，；根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號可確定角所處的象限.【題目詳解】由知：，在第三象限故選：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，屬于基礎題.8、B【解題分析】根據(jù)橢圓可以知焦點為，離心率，故選B.9、B【解題分析】

設的最大角為，最小角為，可得出，，由題意得出，由二倍角公式，利用正弦定理邊角互化思想以及余弦定理可得出關于的方程，求出的值，可得出的值.【題目詳解】設的最大角為，最小角為，可得出，，由題意得出，，所以，，即，即，將，代入得，解得，，，則，故選B.【題目點撥】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解題時根據(jù)對稱思想設邊長可簡化計算，另外就是充分利用二倍角公式進行轉(zhuǎn)化是解本題的關鍵，綜合性較強.10、C【解題分析】

利用正弦定理求，與比較的大小，判斷B能否取相應的銳角或鈍角.【題目詳解】由及正弦定理，得，，B可取銳角；當B為鈍角時，，由正弦函數(shù)在遞減，，可取.故選C.【題目點撥】本題考查正弦定理，解三角形中何時無解、一解、兩解的條件判斷，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、80【解題分析】

由即可求出【題目詳解】因為是等比數(shù)列，所以，所以即故答案為：80【題目點撥】本題考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，較簡單12、【解題分析】

取中點為，中點為，連接，則異面直線和所成角為.在中，利用邊長關系得到余弦值.【題目詳解】由題意，取中點，連接，則，可得直線和所成角的平面角為，（如圖）過作垂直于，平面⊥平面，，平面，，且，結(jié)合平面圖形可得：,,,又=,∴=,∴在中，=,∴△DFC是直角三角形且，可得．【題目點撥】本題考查了異面直線的夾角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.13、0.5【解題分析】

表示事件A與事件B滿足其中之一占整體的占比．所以根據(jù)互斥事件概率公式求解．【題目詳解】【題目點撥】此題考查互斥事件概率公式，關鍵點在于理解清楚題目概率表示的實際含義，屬于簡單題目．14、【解題分析】.15、【解題分析】

由圖象得出，得出該函數(shù)圖象的最小正周期，可得出，再將點的坐標代入函數(shù)的解析式，結(jié)合該函數(shù)在附近的單調(diào)性求得的表達式，即可得出函數(shù)的解析式.【題目詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，則，由于函數(shù)的圖象過點，且在附近單調(diào)遞增，所以，，，因此，.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用三角函數(shù)的圖象求解析式，一般要結(jié)合圖象依次求出、、的值，在利用對稱中心求時，要結(jié)合函數(shù)在對稱中心附近的單調(diào)性來求解，考查計算能力，屬于中等題.16、【解題分析】

由EC垂直Rt△ABC的兩條直角邊，可知EC⊥面ABC，再根據(jù)D是斜邊AB的中點，AC＝6，BC＝8，可求得CD的長，根據(jù)勾股定理可求得DE的長．【題目詳解】如圖，EC⊥面ABC，而CD?面ABC，∴EC⊥CD，∵AC＝6，BC＝8，EC＝12，△ABC是直角三角形，D是斜邊AB的中點，∴CD＝5，ED1．故答案為1．【題目點撥】本題主要考查了線面垂直的判定和性質(zhì)定理，利用勾股定理求線段的長度，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）由等差數(shù)列可得,求得,即可求得通項公式；（2）由（1）,則利用裂項相消法求數(shù)列的和即可【題目詳解】解:（1）因為數(shù)列是等差數(shù)列,且,,則,解得,所以（2）由（1）,,所以【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查裂項相消法求數(shù)列的和18、（1）證明過程見詳解；（2）；（3）存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.【解題分析】

（1）先由題意得到，再由，得到，即可證明結(jié)論成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出數(shù)列的通項；（3）把數(shù)列an}、{bn}通項公式代入an+2bn，進而得到Sn+2T的表達式代入Tn，進而推斷當且僅當λ＝2時，數(shù)列是等差數(shù)列．【題目詳解】（1）因為點在直線上，所以，因此由得所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；（2）因為，由得，故，由（1）得，所以，即，所以，，…，，以上各式相加得：所以；（3）存在λ＝2，使數(shù)列是等差數(shù)列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2∴又=∴，∴當且僅當λ＝2時，數(shù)列是等差數(shù)列．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的通項公式，以及等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可，屬于?？碱}型.19、(1)；(2)【解題分析】

（1）通過正弦定理得，進而求出，再根據(jù)，進而求得的大??；（2）由正弦定理中的三角形面積公式求出，再根據(jù)余弦定理，求得，進而求得的周長．【題目詳解】（1）由題意知，由正弦定理得，又由，則，所以，又因為，則，所以．（2）由三角形的面積公式，可得，解得，又因為，解得，即，所以，所以的周長為【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．20、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用向量的運算法則求出，，再利用向量垂直的充要條件列出方程求出m；（2）由題意得A，B，C三點不共線，則與不共線，列出關于m的不等式即可．【題目詳解】（1）因為=，=，=，所以，，若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，則，∴3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得．（2）若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點不共線，即與不共線，得3（1﹣m）≠2﹣m，∴實數(shù)時，滿足條件．【題目點撥】本題考查向量垂直、向量共線的充要條件、利用向量共線解決三點共線、三點不共線等問題，屬于基礎題．21、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）如圖所示