2023-2024學(xué)年四川省內(nèi)江市高三一模數(shù)學(xué)（理）模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省內(nèi)江市高三一模數(shù)學(xué)（理）模擬試題1.本試卷包括第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè).全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答第Ⅰ卷時(shí)，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；答第Ⅱ卷時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡規(guī)定的區(qū)域內(nèi)作答，字體工整，筆跡清楚；不能答在試題卷上.3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡收回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置.）1．已知是虛數(shù)單位，若，則的值是（

）A． B． C． D．12．集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．如圖是一個(gè)電子元件在處理數(shù)據(jù)時(shí)的流程圖：則下列正確的是（

）A．B．C．若，則或D．若，則或4．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．5 B．7 C．9 D．65．已知，則（

）A．1 B．2 C．4 D．86．已知向量，，其中.若，則當(dāng)恒成立時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．7．已知函數(shù)，若.且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知，且，則（

）A． B．C． D．9．隨著生活水平的提高，私家車已成為許多人的代步工具．某駕照培訓(xùn)機(jī)構(gòu)仿照北京奧運(yùn)會(huì)會(huì)徽設(shè)計(jì)了科目三路考的行駛路線，即從A點(diǎn)出發(fā)沿曲線段B→曲線段C→曲線段D，最后到達(dá)E點(diǎn)．某觀察者站在點(diǎn)M觀察練車場(chǎng)上勻速行駛的小車P的運(yùn)動(dòng)情況，設(shè)觀察者從點(diǎn)A開始隨車子運(yùn)動(dòng)變化的視角為∠AMP（），練車時(shí)間為t，則函數(shù)＝的圖像大致為（）A． B．C． D．10．中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．16種11．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍（

）A． B．C． D．12．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的最小整數(shù)值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．?dāng)?shù)列中，，，若，則.14．在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是．15．某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為、的近似值，其中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50，現(xiàn)任取一輛汽車，則它的單次最大續(xù)航里程的概率為.（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，）16．設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③在單調(diào)遞增④的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是.三?解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）（一）必考題：共60分.17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求及；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對(duì)年盈利額（單位：億元）的影響，通過(guò)對(duì)“十二五”和十三五規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：，，其中、、、均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，令，，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：(1)請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合度更好？(2)根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（系數(shù)精確到0.01）(3)若希望2024年盈利額為800億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)2024年的研發(fā)資金投入額為多少億元？（結(jié)果精確到0.01）附：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，.回歸直線中：，.19．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值．20．的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為．(1)求A的大??；(2)M為內(nèi)一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，___________，求的面積．請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使存在，并解決問(wèn)題．①M(fèi)為的重心，；②M為的內(nèi)心，；③M為的外心，．21．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）存在，，，求證.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂?錯(cuò)涂?漏涂均不給分.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，求面積的最大值．23．已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正數(shù)．（1）求證：（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2對(duì)所有滿足題設(shè)條件的正實(shí)數(shù)a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，求得的值，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)?，即，所?故選：D.2．B【分析】利用數(shù)軸分析可得.【詳解】由數(shù)軸可知，當(dāng)時(shí)滿足題意，即的取值范圍為.故選：B3．D【分析】根據(jù)流程圖的作用得，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一代入求解.【詳解】根據(jù)流程圖可知，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，或（舍去），當(dāng)時(shí)，或（舍去），故當(dāng)，則或，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：D4．C【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求的最大值．【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．設(shè)得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)最大．由，解得，即，代入目標(biāo)函數(shù)得．即目標(biāo)函數(shù)的最大值為故選：C．5．A對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并令代入可求得.將的值代入可得導(dǎo)函數(shù)，即可求得的值.【詳解】函數(shù)，則，令代入上式可得，則，所以，則，故選：A.本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義與運(yùn)算法則，在求導(dǎo)過(guò)程中注意為常數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6．B【分析】先求出向量的模，然后由數(shù)量積定義結(jié)合三角函數(shù)有界性可得的最大值，然后可解.【詳解】由題知，，所以，當(dāng)同向時(shí)等號(hào)成立，所以，要使恒成立，只需，解得或.故選：B7．B【分析】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合可得，，然后利用基本不等式即可求出答案【詳解】的圖象如下：因?yàn)?且所以且所以，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選：B本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了基本不等式的運(yùn)用，用到了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.8．A【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9．D【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)單調(diào)性確定選項(xiàng).【詳解】觀察圖像，可知隨著時(shí)間的增加，剛開始角度為0并且在增加，排除A；在藍(lán)線中間一段變化不大，然后角度減少到達(dá)紅線段，故排除B、C，接著角度增加，后面又略減少到綠線段，之后一直增加，并且角度要大于前面幾段，故選:D．10．B【分析】分甲、乙都不在天和核心艙和甲、乙恰好有一人在天和核心艙兩種情況求解可得.【詳解】第一類，甲、乙都不在天和核心艙共有種；第二類，甲、乙恰好有一人在天和核心艙，先排天和核心艙有種，然后排問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙有種，所以，甲、乙恰好有一人在天和核心艙共有種.綜上，甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)共有種.故選：B11．A【分析】先構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)，再結(jié)合已知條件可判斷出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，最后分情況解不等式可得答案.【詳解】令，，當(dāng)時(shí)，，，原函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，求，分兩種情況求解，當(dāng)時(shí)，，只需，解得，當(dāng)時(shí)，，只需，解得所以的范圍是故選：A12．C【分析】先將函數(shù)化為，令，進(jìn)而只需說(shuō)明在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，最后通過(guò)放縮法解決問(wèn)題.【詳解】，設(shè)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，易得，于是問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，，若，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；若，則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，而，限定，記，，即在上單調(diào)遞增，于是，則時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)椋?，于是時(shí)，.綜上：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，a的最小整數(shù)值為2.故選：C.本題有一定難度，首先這一步的變形非常重要，注意此種變形的運(yùn)用；其次，運(yùn)用放縮法說(shuō)明函數(shù)時(shí)，用到了（需證明），進(jìn)而得到，這種處理方法非常普遍，注意歸納總結(jié).13．9【分析】令，由遞推公式可知為等比數(shù)列，然后可解.【詳解】令，則，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為,所以，，所以，，得，故914．10【詳解】分析：先根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求含的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，再確定對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù).詳解：，所以令得，即含的項(xiàng)的系數(shù)是點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).15．【分析】計(jì)算，確定，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算概率即可.【詳解】，故，.故16．①③④【分析】對(duì)①②可以通過(guò)作圖判別，對(duì)于④令，根據(jù)題意得到不等式，解出范圍即可，對(duì)于③證明出當(dāng)時(shí),即可.【詳解】已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，如圖，其圖象的右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)在上,此時(shí)在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn),但在可能有2或3個(gè)極小值點(diǎn),所以①正確,②不正確;令,且,在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),,故④正確.當(dāng)時(shí),,又,,在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞增,故③正確.故①③④關(guān)鍵點(diǎn)睛：令,利用整體思想將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為來(lái)研究.(2)當(dāng)時(shí),的圖象可由的圖象經(jīng)過(guò)平移、伸縮變換得到,的增、減區(qū)間可通過(guò)討論的增、減區(qū)間得到.17．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得公差和首項(xiàng)，即可求解，（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求解.【詳解】（1）設(shè)公差為，則由，可得：，解得，所以，（2），故18．(1)模型的擬合程度更好.(2)(3)【分析】（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)得到，得到答案.（2）根據(jù)公式計(jì)算，，得到回歸方程.（3）取，解方程得到答案.【詳解】（1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，，，，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好.（2）先建立關(guān)于的線性回歸方程，由得，即，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，即.（3），即，，，解得.所以2024年的研發(fā)資金投入量的約為億元.19．（1），無(wú)極大值；（2）2.【分析】（1）將代入，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值.（2）不等式等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，

令得（或舍去），∵當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

∴，無(wú)極大值．

（2），即，即，∴，即，∴原問(wèn)題等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，則只需．

由，令，∵，∴在上單調(diào)遞增，

∵，∴存在唯一的，使得，

∵當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，∴，

∴即可．∴，∴，故整數(shù)a的最小值為220．(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】(1)利用正弦定理以及二倍角公式求解；(2)根據(jù)正弦定理，余弦定理和面積公式即可求解.【詳解】（1）∵，∴，即由正弦定理得，，即，∵，∴，∴，又，∴，∴（2）設(shè)外接圓半徑為，則根據(jù)正弦定理得，，若選①：∵M(jìn)為該三角形的重心，則D為線段的中點(diǎn)且，又，∴，即，又由余弦定理得，即，解得，∴；若選②：∵M(jìn)為的內(nèi)心，∴，由得，∵，∴，即，由余弦定理可得，即，∴，即，∵，∴，∴．若選③：M為的外心，則為外接圓半徑，，與所給條件矛盾，故不能選③.21．（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出，當(dāng)時(shí)，的最小值大于零，則在上單調(diào)遞增；（2）令，，將轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明最小值小于0.【詳解】（1）(方法一)當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.(方法二)當(dāng)時(shí)，，，由，結(jié)合函數(shù)與圖象可知：當(dāng)時(shí)，，，所以兩函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，且.所以當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）證明：不妨設(shè)，由得，，.設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，，從而，，，要證只要證，下面證明：，即證，令，則，即證明，只要證明：，設(shè)，，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，從而得證，即，，即.關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙變量問(wèn)題可通過(guò)換元將兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式．22．（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）設(shè)出P的極坐標(biāo)，然后由題意得出極坐標(biāo)方程，最后轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為；（2）利用（1）中的結(jié)論，設(shè)出點(diǎn)的極坐標(biāo)，然后結(jié)合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設(shè)P的極坐標(biāo)為（）（＞0），M的極坐標(biāo)為（）由題設(shè)知|OP|=，=.由|OP|=