2024屆福建省云霄立人學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆福建省云霄立人學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現(xiàn)有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍，則塔的底層共有燈A．81盞 B．112盞 C．162盞 D．243盞2．?dāng)S兩顆均勻的骰子，則點數(shù)之和為5的概率等于（）A． B． C． D．3．宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．94．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，為的面積，則的最大值為（）A．1 B．2 C． D．5．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．若向量，，則（）A． B． C． D．7．若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是（）A． B． C． D．8．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，9．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是()A． B．C． D．10．已知在等差數(shù)列中，的等差中項為，的等差中項為,則數(shù)列的通項公式（）A． B．-1 C．+1 D．-3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，滿足，且在方向上的投影是，則實數(shù)_______.12．在數(shù)列中，，則___________.13．已知均為正數(shù)，則的最大值為______________.14．在公差為的等差數(shù)列中，有性質(zhì)：，根據(jù)上述性質(zhì)，相應(yīng)地在公比為等比數(shù)列中，有性質(zhì)：____________.15．的內(nèi)角的對邊分別為.若，則的面積為__________.16．已知等腰三角形底角的余弦值等于，則這個三角形頂角的正弦值為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓：.（1）過的直線與圓：交于，兩點，若，求直線的方程；（2）過的直線與圓：交于，兩點，直接寫出面積取值范圍；（3）已知，，圓上是否存在點，使得，請說明理由.18．2013年11月，總書記到湖南湘西考察時首次作出了“實事求是、因地制宜、分類指導(dǎo)精準(zhǔn)扶貧”的重要指示.2014年1月，中央詳細(xì)規(guī)制了精準(zhǔn)扶貧工作模式的頂層設(shè)計，推動了“精準(zhǔn)扶貧”思想落地.2015年1月，精準(zhǔn)扶貧首個調(diào)研地點選擇了云南，標(biāo)志著精準(zhǔn)扶貧正式開始實行．某單位立即響應(yīng)黨中央號召，對某村6戶貧困戶中的甲戶進(jìn)行定點幫扶，每年跟蹤調(diào)查統(tǒng)計一次，從2015年1月1日至2018年12月底統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下（人均年純收入）：年份2015年2016年2017年2018年年份代碼1234收入（百元）25283235（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計甲戶在2019年能否脫貧；（注：國家規(guī)定2019年脫貧標(biāo)準(zhǔn)：人均年純收入為3747元）（2）2019年初，根據(jù)扶貧辦的統(tǒng)計知，該村剩余5戶貧困戶中還有2戶沒有脫貧，現(xiàn)從這5戶中抽取2戶，求至少有一戶沒有脫貧的概率．參考公式：，，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)．19．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，，，求的面積．20．已知，，且（1）求的定義域.（2）判斷的奇偶性，并說明理由.21．如圖半圓的直徑為4，為直徑延長線上一點，且，為半圓周上任一點，以為邊作等邊（、、按順時針方向排列）（1）若等邊邊長為，，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；（2）問為多少時，四邊形的面積最大？這個最大面積為多少？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)可構(gòu)成一個公比為3的等比數(shù)列，其和為1．由等比數(shù)列的知識可得．【題目詳解】從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)依次記為a1,a2,a3故選D．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)實際意義構(gòu)造一個等比數(shù)列，把問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的問題．2、B【解題分析】

試題分析：擲兩顆均勻的骰子，共有36種基本事件，點數(shù)之和為5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）這四種，因此所求概率為，選B．考點：概率問題3、B【解題分析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案.【題目詳解】當(dāng)時，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時，，，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；故選：B【題目點撥】本題主要考查程序框圖，解題的關(guān)鍵是讀懂流程圖各個變量的變化情況，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

先由正弦定理，將化為，結(jié)合余弦定理，求出，再結(jié)合正弦定理與三角形面積公式，可得，化簡整理，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以可化為，即，可得，所以.又由正弦定理得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值.故選C【題目點撥】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于?？碱}型.5、D【解題分析】

首先確定題中，，的取值范圍，再根據(jù)大小排序即可.【題目詳解】由題知，，，，所以排序得到.故選：D.【題目點撥】本題主要考查了比較指數(shù)對數(shù)的大小問題，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，先由，求得，再求的坐標(biāo)．【題目詳解】因為，所以，所以．故選：B【題目點撥】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

由扇形的弧長公式列方程得解.【題目詳解】設(shè)扇形的半徑是，由扇形的弧長公式得：，解得：故選D【題目點撥】本題主要考查了扇形的弧長公式，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

試題分析：由題意知，樣本容量為，其中高中生人數(shù)為，高中生的近視人數(shù)為，故選B.【考點定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計圖，屬于中等題.9、D【解題分析】

化簡函數(shù)可得y＝2sin（2x），把“2x”作為一個整體，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出x的范圍，即是所求函數(shù)的增區(qū)間．【題目詳解】，由2kπ≤2x2kπ得，kπx≤kπ（k∈z），∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ，kπ]（k∈z），故選D．【題目點撥】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，一般的做法是利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）的性質(zhì)進(jìn)行求解．10、D【解題分析】試題分析：由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以的等差中項是，故有，又有的等差中項是，所以，從而等差數(shù)列的公差，因此其通項公式為，故選Ｄ．考點：等差數(shù)列．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解題分析】

在方向上的投影為，把向量坐標(biāo)代入公式，構(gòu)造出關(guān)于的方程，求得.【題目詳解】因為，所以，解得：，故填：.【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積定義中投影的概念、及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查基本運算能力.12、-1【解題分析】

首先根據(jù)，得到是以，的等差數(shù)列.再計算其前項和即可求出，的值.【題目詳解】因為，.所以數(shù)列是以，的等差數(shù)列.所以.所以，，.故答案為：【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的判斷和等差數(shù)列的前項和的計算，屬于簡單題.13、【解題分析】

根據(jù)分子和分母的特點把變形為，運用重要不等式，可以求出的最大值.【題目詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)且時取等號）,（當(dāng)且僅當(dāng)且時取等號），因此的最大值為.【題目點撥】本題考查了重要不等式，把變形為是解題的關(guān)鍵.14、【解題分析】

根據(jù)題中條件，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，可直接得出結(jié)果.【題目詳解】因為在公差為的等差數(shù)列中，有性質(zhì)：，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，可得：在公比為等比數(shù)列中，故答案為：【題目點撥】本題主要考查類比推理，只需根據(jù)題中條件，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的特征，即可得出結(jié)果，屬于常考題型.15、【解題分析】

本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運算求解能力的考查．【題目詳解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【題目點撥】本題涉及正數(shù)開平方運算，易錯點往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯誤．解答此類問題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計算．16、【解題分析】

已知等腰三角形可知為銳角，利用三角形內(nèi)角和為，建立底角和頂角之間的關(guān)系，再求解三角函數(shù)值．【題目詳解】設(shè)此三角形的底角為，頂角為，易知為銳角，則，，所以．【題目點撥】給值求值的關(guān)鍵是找準(zhǔn)角與角之間的關(guān)系，再利用已知的函數(shù)求解未知的函數(shù)值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）；（3）存在，理由見解析【解題分析】

求得圓的圓心和半徑.（1）設(shè)出直線的方程，利用弦長、勾股定理和點到直線距離列方程，解方程求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.（2）利用三角形的面積公式列式，由此求得面積取值范圍.（3）求得三角形外接圓的方程，根據(jù)圓和圓的位置關(guān)系，判斷出點存在.【題目詳解】圓心為，半徑為.（1）直線有斜率，設(shè)：，圓心到直線的距離為，∵，則由，得，直線的方程為或（2）依題意可知，三角形的面積為，由于，所以，所以.（3）設(shè)三角形的外接圓圓心為（），半徑為，由正弦定理得，，所以，所以圓的圓心為,所以圓的方程為，圓與圓滿足圓心距：，∴圓與圓相交于兩點，圓上存在兩個這樣的點，滿足題意.【題目點撥】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查圓和圓的位置關(guān)系，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.18、(1)；甲戶在2019年能夠脫貧；(2)【解題分析】

（1）由已知數(shù)據(jù)求得與的值，得到線性回歸方程，取求得值，說明甲戶在2019年能否脫貧；（2）列出從該村剩余5戶貧困戶中任取2戶的所有可能情況，利用隨機(jī)事件的概率計算公式求解．【題目詳解】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得，，由，，可得．∴關(guān)于的線性回歸方程，當(dāng)時，（百元），∵3850＞3747，∴甲戶在2019年能夠脫貧；（2）設(shè)沒有脫貧的2戶為，另3戶為，所有可能的情況為：共有10種可能．其中至少有一戶沒有脫貧的可能情況有7種．∴至少有一戶沒有脫貧的概率為．【題目點撥】本題主要考查線性回歸方程的求法，考查隨機(jī)事件概率的求法，是中檔題．19、（1）；（2）．【解題分析】

（1）利用二倍角和輔助角公式可將函數(shù)整理為，利用求得結(jié)果；（2）由，結(jié)合的范圍可求得；利用兩角和差正弦公式和二倍角公式化簡已知等式，可求得；分別在和兩種情況下求解出各邊長，從而求得三角形面積.【題目詳解】（1）的最小正周期：（2）由得：，即：，，解得：，由得：即：若，即時，則：若，則由正弦定理可得：由余弦定理得：解得：綜上所述，的面積為：【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期、三角形面積的求解，涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、兩角和差正弦公式、二倍角公式、輔助角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生對于三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形知識的掌握.20、（1）；（2）偶函數(shù)，理由見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零可求得和的定義域，取交集可得定義域；（2）整理可得，驗證得，得到函數(shù)為偶函數(shù).【題目詳解】（1）令得：定義域為令得：定義域為的定義域為（2）由題意得：，為定義在上的偶函數(shù)【題目點撥】本題考查函數(shù)定義域的求解、奇偶性的判斷；求解函數(shù)定義域的關(guān)鍵是明確對數(shù)函數(shù)要求真數(shù)必須大于零，且需保證構(gòu)成函數(shù)的每個部分都有意義.21、（1）；（2）θ＝時，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為．【解題分析】

（1）根據(jù)余弦定理