初中數(shù)學(xué)易錯題4

4.2直線、射線、線段

一.選擇題（共5小題）

1.下列說法中不正確的是（）

①過兩點有且只有一條直線

②連接兩點的線段叫兩點的距離

③兩點之間線段最短

④點B在線段AC上，如果AB=BC,則點B是線段AC的中點

A.①B.②C.③D.@

【分析】依據(jù)直線的性質(zhì)、兩點間的距離、線段的性質(zhì)以及中點的定義進(jìn)行判斷

即可.

【解答】解：①過兩點有且只有一條直線，正確；

②連接兩點的線段的長度叫兩點間的距離，錯誤

③兩點之間線段最短，正確；

④點B在線段AC上，如果AB=BC,則點B是線段AC的中點，正確；

故選：B.

【點評】本題主要考查了直線的性質(zhì)、兩點間的距離、線段的性質(zhì)以及中點的定

義，平面上任意兩點間都有一定距離，它指的是連接這兩點的線段的長度，

注意強調(diào)最后的兩個字"長度

2.下列說法錯誤的是（）

A.倒數(shù)等于本身的數(shù)只有±1

B.兩點之間的所有連線中，線段最短

C.-匹x2yz的系數(shù)是一匹，次數(shù)是4

33

D.角的兩邊越長，角就越大

【分析】依據(jù)倒數(shù)、線段的性質(zhì)、單項式的概念以及角的概念進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A.倒數(shù)等于本身的數(shù)只有±1,正確；

B.兩點之間的所有連線中，線段最短，正確，

c.-2Lx2yz的系數(shù)是一三，次數(shù)是4,正確；

33

D.角的兩邊越長，角度不變，而不是角就越大，錯誤；

故選：D.

【點評】本題主要考查了據(jù)倒數(shù)、線段的性質(zhì)、單項式的概念以及角的概念，解

題時注意：正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相

反數(shù)不同.單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，一個單項式中所有字母

的指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù).

3.已知點C在線段AB上，下列各式中：

（DAC=1AB；②AC=CB；③AB=2AC；④AC+CB=AB,能說明點C是線段AB中點的

2

有（）

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

【分析】如果線段上有一點，把線段分成相等的兩條線段，這個點叫做這條線段

的中點，依據(jù)線段中點的概念進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：?.?點C在線段AB上，

二當(dāng)①AC=」\B或②AC=CB或③AB=2AC時，點C是線段AB中點；

2

當(dāng)④AC+CB=AB時，點C不一定是線段AB中點；

故選：C.

【點評】本題主要考查了兩點間的距離，如果線段上有一點，把線段分成相等的

兩條線段，這個點叫做這條線段的中點.

4.如圖所示，某工廠有三個住宅區(qū)，A,B,C各區(qū)分別住有職工30人，15人，

10人，且這三點在一條大道上（A,B,C三點在同一直線上），已知AB=300

米，BC=600米.為了方便職工上下班，該廠的接送車打算在此路段只設(shè)一個

?？奎c，為使所有的人步行到?？奎c的路程之和最小，那么該?？奎c的位置

應(yīng)設(shè)在（）

~ABC~

A.點AB.點BC.AB之間D.BC之間

【分析】此題為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，由題意設(shè)一個停靠點，為使所有的人步行到停

靠點的路程之和最小，肯定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點間線段

最短定理.

【解答】解：①以點A為停靠點，則所有人的路程的和=15X300+10X900=13500

(米)，

②以點B為?？奎c，則所有人的路程的和=30X300+10X600=15000(米)，

③以點C為?？奎c，則所有人的路程的和=30X900+15X600=36000(米)，

④當(dāng)在AB之間?？繒r，設(shè)?？奎c到A的距離是m,則(0<m<100),則所有人

的路程的和是：30m+15(300-m)+10(900-m)=13500+5m>13500,

⑤當(dāng)在BC之間?？繒r，設(shè)停靠點到B的距離為n,則(0<n<200),則總路程

為30(300+n)+15n+10(600-n)=15000+35n>13500.

該?？奎c的位置應(yīng)設(shè)在點A；

故選：A.

【點評】考查了比較線段的長短，此題為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，考查知識點為兩點之

間線段最短.

5.如果點B在線段AC上，那么下列表達(dá)式中：①AB=L\C,②AB=BC,③AC=2AB,

2

④AB+BC=AC,能表示B是線段AC的中點的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，觀察圖形，一一分析選項，排除錯誤答案.

［解答］ABC

解：如圖，若B是線段AC的中點，

則AB」AC,AB=BC,AC=2AB,

2

而AB+BC=AC,B可是線段AC上的任意一點，

二表示B是線段AC的中點的有①②③3個.

故選：C.

【點評】利用中點性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下

靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性，同時，靈活運用線段的

和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點.

二.填空題（共3小題）

6.如圖，已知直線I上兩點A、B（點A在點B左邊），且AB=10cm,在直線I

上增加兩點C、D（點C在點D左邊），作線段AD點中點M、作線段BC點中

點N；若線段MN=3cm,則線段CD=

cm.AB1

【分析】分兩種情況討論，當(dāng)點M在點N左側(cè)，當(dāng)點M在點N右側(cè)，即可解答.

【解答】解：如圖，把直線I放到數(shù)軸上，讓點A和原點重合，則點A對應(yīng)的數(shù)

為。，點B對應(yīng)的數(shù)為10,點C對應(yīng)的數(shù)為X,點D對應(yīng)的數(shù)為y,

?.?線段AD的中點為M、線段BC的中點為N,

.?.點M對應(yīng)的數(shù)為工，點N對應(yīng)的數(shù)為小包，

22

（1）如圖1,當(dāng)點M在點N左側(cè)時，MN=?m2=3,化簡得：x-y=-4,由

22

點C在點D左邊可得：CD=y-x=4.

（2）如圖1,當(dāng)點M在點N右側(cè)時，MN=XW±坦=3=3,化簡得：y-x=16,由

22

點C在點D左邊可得：CD=y

力-

x=16圖1

A、NBM

.—-----------

故答案為：16或4

【點評】本題考查了兩點間的距離，解決本題的關(guān)鍵是分類討論.

7.如圖線段AB=6,如果在直線AB上取一點C,使AB：BC=3：2,再分別取線

段AB、BC的中點M、N,那么MN=.

AB

【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，先畫圖來確定C、M、N三點的位置，然后根據(jù)

這三點的位置來確定MN的長.

【解答】解：如圖，當(dāng)點C在線段AB上時,

C

-A~Myi

?.?線段AB、BC的中點分別是M、N,

，BM=XAB,BN=1BC,

22

又YAB=6,AB：BC=3：2,

：.BC=4,

；.MN=BM-BN=3-2=1；

當(dāng)點C在線段AB的延長線上時，

My

-A'~C

?.?線段AB、BC的中點分別是M、N,

，BM=XAB,BN=1BC,

22

又?.,AB=6,AB：BC=3：2,

：.BC=4,

；.MN=BM-BN=3+2=5；

故答案為：5或1.

【點評】本題主要考查了兩點間的距離，平面上任意兩點間都有一定距離，它指

的是連接這兩點的線段的長度.

8.觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字：像這樣，十條直線相交，最多

兩條直線相交，三條直線相交,四條會相交

有個交點.最多有1個交點最多有3個交點最多有6個交點

【分析】要使的交點最多，必須交點不重合；由此可知：設(shè)原有n條直線，最多

有m個交點，此時增加一條直線，交點個數(shù)最多增加n個.故可猜想，n條

直線相交，最多有1+2+3+...+(n-1)=右(n-l)個交點.

【解答】解：將n=10代入同匕-].）得：m=45.

【點評】本題考查直線的相交情況，要細(xì)心，查找是要不重不漏；同時要借助規(guī)

律，細(xì)心分析.

三.解答題（共11小題）

9.如圖，在數(shù)軸上點A,點B,點C表示的數(shù)分別為-2,1,6.

ABC

-3-2-10123456;*

（1）線段AB的長度為個單位長度，線段AC的長度為個單位長

度.

（2）點P是數(shù)軸上的一個動點，從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿

數(shù)軸的正方向運動，運動時間為t秒（0WtW8）.用含t的代數(shù)式表示：線段

BP的長為個單位長度，點P在數(shù)軸上表示的數(shù)為；

（3）點M,點N都是數(shù)軸上的動點，點M從點A出發(fā)以每秒4個單位長度的

速度運動，點N從點C出發(fā)以每秒3個單位長度的速度運動.設(shè)點M,N同

時出發(fā)，運動時間為X秒.點M,N相向運動，當(dāng)點M,N兩點間的距離為

13個單位長度時，求x的值，并直接寫出此時點M在數(shù)軸上表示的數(shù).

【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式可求線段AB的長度，線段AC的長度；

（2）先根據(jù)路程=速度義時間求出點P運動的路程，再分點P在點B的左邊和右

邊兩種情況求解；

（3）根據(jù)等量關(guān)系點M、N兩點間的距離為13個單位長度列出方程求解即可.

【解答】解：（1）線段AB的長度為1-（-2）=3個單位長度，線段AC的長度

為6-（-2）=8個單位長度；

（2）線段BP的長為：點P在點B的左邊為3-3點P在點B的右邊為t-3,

點P在數(shù)軸上表示的數(shù)為-2+t；

(3)依題意有:

4x+3x-8=13,

解得x=3.

此時點M在數(shù)軸上表示的數(shù)是-2+4X3=10.

故答案為：(1)3；8；(2)(3-t)或(t-3)；-2+t.

【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，根據(jù)題目給出的條件，找出合

適的等量關(guān)系列出方程，再求解.

10.已知線段AB=6,在直線AB上取一點P,恰好使AP=2PB,點Q為PB的中點,

求線段AQ的長.

【分析】根據(jù)中點的定義可得PQ=QB,根據(jù)AP=2PB,求出PB=17\B,然后求出

3

PQ的長度，即可求出AQ的長度.

【解答】解：如圖1所示，?；AP=2PB,AB=6,

.,.PB=1AB=J-X6=2,AP=2AB=2X6=4；

3333

???點Q為PB的中點，

.?.PQ=QB=1PB=1X2=1;

22

，AQ=AP+PQ=4+1=5.

????????

ApQBAB0P

圖1圖2

如圖2所示，VAP=2PB,AB=6,

；.AB=BP=6,

?.?點Q為PB的中點，

，BQ=3,

，AQ=AB+BQ=6+3=9.

故AQ的長度為5或9.

【點評】本題考查了兩點間的距離：兩點的連線段的長叫兩點間的距離，解題時

注意分類思想的運用.

11.如圖，點E、B、C、F在同一線段上，且AD=6cm,AC=BD=4cm,點E、F分

別是線段AB、CD的中點，求線段EF的長.

AEBCFD

IiiiII

【分析】依據(jù)AD=6cm,AC=BD=4cm,即可得出AB=AD-BD=6-4=2,CD=AD-

AC=6-4=2,再根據(jù)點E、F分別是線段AB、CD的中點，即可得到AE=1AB=1,

2

DF=1CD=1,進(jìn)而得出線段EF的長.

2

【解答】解:因為AD=6,AC=BD=4,

所以AB=AD-BD=6-4=2,CD=AD-AC=6-4=2,

因為點E、F分別是線段AB、CD的中點，

所以AE=L\B=LX2=LDF=1CD=J_X2=I,

2222

因為EF=AD-AE-DF,

所以EF=6-1-1=4（cm）.

【點評】本題考查兩點間的距離，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需

要的條件，利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行解答.

12.已知：點C在直線AB上.

（1）若AB=2,AC=3,求BC的長；

（2）若點C在射線AB上，且BC=2AB,取AC的中點D,已知線段BD的長為1.5,

求線段AB的長.（要求：在備用圖上補全圖形）

????

ABAB

（售用圖）

【分析】（1）分C在A的左邊，C在A的右邊兩種情況進(jìn)行討論即可求解；

（2）根據(jù)題意畫出草圖，根據(jù)線段中點的性質(zhì)計算即可.

【解答】解：（1）若C在A的左邊，則

BC=AB+AC=5；

若C在A的右邊，則

BC=AC-AB=1.

故BC的長為5或1；

（2）如圖所示：

?.?點C在射線AB上，且BC=2AB,D是AC的中點,

.?.AD=1AB,

2

，BD=XAB,

2

?.?線段BD的長為1.5,

二線段AB的長為3.

【點評】本題考查的是兩點間的距離的計算，注意數(shù)形結(jié)合思想在求兩點間的距

離中的應(yīng)用.

13.如圖，已知AC=16cm,AB=1BC,點C是BD的中點，求AD的長.

3

I1IL

ABCD

【分析】根據(jù)已知條件求出AB和BC的長，根據(jù)線段中點求出CD,即可依據(jù)

AD=AB+BC+CD,求出AD的長.

【解答】解:VAC=16cm,AB=1BC,

3

AB=A_AC=4cm,BC=16cm-4cm=12cm,

4

?點C是BD的中點，

CD=BC=12cm,

AD=AB+BC+CD=4cm+12cm+12cm=28cm.

【點評】本題考查了求兩點之間的距離和線段的中點，能求出AB、BC的長是解

此題的關(guān)鍵.

14.【新知理解】

如圖①，點C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC,若其中有一條線

段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的"5點”.

(1)線段的中點這條線段的"5點"；(填"是"或"不是").

(2)若AB=12cm,點C是線段AB的巧點，則AC=cm；

【解決問題】

(3)如圖②，已知AB=12cm.動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B

勻速移動：點Q從點B出發(fā)，以lcm/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、

Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，運動停止，設(shè)移動的時間為t(s).當(dāng)

t為何值時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點？

說明理由

（圖①）

（圖②）

【分析】（1）根據(jù)"5點”的定義即可求解；

（2）分點C在中點的左邊，點C在中點，點C在中點的右邊，進(jìn)行討論求解即

可；

（3）分①由題意可知A不可能為P、Q兩點的巧點，此情況排除；②當(dāng)P為A、

Q的巧點時；③當(dāng)Q為A、P的巧點時；進(jìn)行討論求解即可.

【解答】解：（1）???線段的長是線段中線長度的2倍，

線段的中點是這條線段的“巧點"；

（2）."8=125,點C是線段AB的巧點，

.?.AC=12xL=4cm或AC=12xUcm或AC=12xZ=8cm；

323

（3）t秒后，AP=2t,AQ=12-t（0WtW6）

①由題意可知A不可能為P、Q兩點的巧點，此情況排除.

②當(dāng)P為A、Q的巧點時，

I.AP=L\Q,即2t■（12-tA解得

3OI

n.AP=1AQ,即2tM（12-tA解得1：以會；

2Nb

in.AP=2AQ,即2t解得t=3s；

3o

③當(dāng)Q為A、P的巧點時,

I.AQ=1T\P,即（12-t）=2tx"解得

3

n.AQ=1T\P,即（12-t）=2tX]，解得t=6s；

2

m.AQ=_^AP,即（12-t）=2tx],解得t=-^s

3

故答案為：是；4或6或8.

【點評】考查了兩點間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的

意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解.

15.如圖，M為線段AB的中點，點C在線段AB上，且AC=4cm,N為AC的中

點，MN=3cm,求線段CM和線段AB的長.

?，1I，

ANCMB

【分析】根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得MA與AB的關(guān)系，NC與AC的關(guān)系，根據(jù)

線段的和差關(guān)系可得答案.

【解答】解：:N為AC中點

.*.AN=CN=1AC=1X4=2(cm)

22

VMN=3cm

，CM=MN-CN=3-2=1(cm)

AM=MN+AN=3+2=5(cm)

?.,M為AB中點

/.AB=2AM=2X5=10(cm)

【點評】本題考查了兩點間的距離，解決問題的關(guān)鍵是利用線段中點的性質(zhì)，以

及線段的和差.

16.如圖，點A、M、B、N、C在同一直線上順次排列，點M是線段AB的中點,

點N是線段MC的中點，點N在點B的右邊.

/A?B節(jié)C

(1)填空：圖中共有線段條；

(2)若AB=6,MC=7,求線段BN的長；

(3)若AB=a,MC=7,將線段BN的長用含a的代數(shù)式表示出來.

【分析】(1)根據(jù)線段的定義按規(guī)律確定線段的條數(shù)：1+2+3+4；

(2)先根據(jù)線段中點的定義得：BM和NC的長，由線段的和差可得BN的長；

(3)同理可得BN的長.

【解答】解:(1)圖中共有線段1+2+3+4=10條;

故答案為：10；

(2)?..AB=6,點M是線段AB的中點，

2

?..MC=7,點N是線段MC的中點，

.*.NC=1MC=3.5,BC=MC-BM=7-3=4,

2

，BN=BC-NC=4-3.5=0.5；

（3）；AB=a，點M是線段AB的中點，

/.BM=lAB=la,

22

?.?MC=7,點N是線段MC的中點，

Z.NC=J-MC=3.5,BC=MC-BM=7-la,

22

BN=BC-NC=7-la-3.5=3.5-la.

22

【點評】本題考查了兩點間的距離，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵，根據(jù)線段中點的性質(zhì)，

線段的和差，可得出答案.

17.（1）觀察思考：如圖，線段AB上有兩個點C、D,請分別寫出以點A、B、C、

D為端點的線段，并計算圖中共有多少條線段；

（2）模型構(gòu)建：如果線段上有m個點（包括線段的兩個端點），則該線段上共

有多少條線段？請說明你結(jié)論的正確性；

（3）拓展應(yīng)用：某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握1次手問好,

那么共握多少次手？

請將這個問題轉(zhuǎn)化為上述模型，并直接應(yīng)用上述模型的結(jié)論解決問題.

I■■■

ACDB

【分析】（1）從左向右依次固定一個端點A,C,D找出線段，最后求和即可；

（2）根據(jù)數(shù)線段的特點列出式子化簡即可；

（3）將實際問題轉(zhuǎn)化成（2）的模型，借助（2）的結(jié)論即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）???以點A為左端點向右的線段有：線段AB、AC、AD,

以點C為左端點向右的線段有線段CD、CB,

以點D為左端點的線段有線段DB,

共有3+2+1=6條線段；

（2）設(shè)線段上有m個點，該線段上共有線段x條,

貝ijx=(m-1)+(m-2)+(m-3)+...+3+2+1,

.,/到序升F歹有x=l+2+3+...+(m-3)+(m-2)+(m-1),

/.2x=mm+m+...+m=m(m-1),

/.x=—m(m-1)；

2

(3)把45位同學(xué)看作直線上的45個點，每兩位同學(xué)之間的一握手看作為一條

線段，

直線上45個點所構(gòu)成的線段條數(shù)就等于握手的次數(shù)，

因此一共要進(jìn)行工X45X(45-1)=990次握手.

2

【點評】此題主要考查了線段的計數(shù)問題，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目

容易數(shù)重或遺漏，要特別注意.

18.如圖，已知點O在線段AB上，點C、D分別是AO、BO的中點

(1)AO=CO；B0=DO；

(2)若C0=3cm,D0=2cm,求線段AB的長度；

(3)若線段AB=10,小明很輕松地求得CD=5.他在反思過程中突發(fā)奇想：若點

。在線段AB的延長線上，原有的結(jié)論"CD=5"是否仍然成立呢？請幫小明畫出

圖形分析，并說明理由.

AC0~DB

【分析】(1)根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得答案；

(2)根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得AO,B0的長，根據(jù)線段的和差，可得答案；

(3)。是AB延長線上的一點，由C、D分別是線段AO,B0的中點可得出CO,

DO分別是AO,B0的一半，因此，CO,