初中數學競賽定理大全+圓+二次函數奧數題+分類競賽試題集

初中數學競賽定理大全+初中數學競賽輔導（圓）

+二次函數奧數題+分類競賽試題集

歐拉（Euler）線:

同一三角形的垂心、重心、外心三點共線，這條直線稱為三角

形的歐拉線;

且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半。

外心重心重心垂心

2.00厘米4.00厘米

九點圓：

任意三角形三邊的中點，三高的垂足及三頂點與垂心間線段的中點，共九個

點共圓，這個圓稱為三角形的九點圓;

其圓心為三角形外心與垂心所連線段的中點，其半徑等于三角形外接圓半徑

的一半。

OA=1.07厘米

OB=1.07厘米

0Kl=2.43厘米

BD=4.87厘米

費爾馬點：

已知P為銳角4ABC內一點，當NAPB=NBPC=NCPA=120°時,

PA+PB+PC的值最小，這個點P稱為4ABC的費爾馬點。

BP+CP+APBE+CE+AE

1090厘米11.51厘米

BE=3.45厘米

ZBPC=120°CE=5.00厘米

APA=72?！鉇E=3.06厘米

ZAPB=120°BP=4.93厘米

CP=3.63厘米

AP=2.33厘米

海倫(Heron)公式:

海倫(Heron)公式：

1

在△ABC中，邊8C、CA.AB的長分別為a、b,c,若p=,(a+b+c),

則△ABC的面積S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)

k

AB=4.00厘米/

BC=6.Q9厘米/

1CA=5Q0厘米/

—■(AB+BC+CA)=7.54厘米BDC

厘米

p=7.54AD=3.27厘米

1c

~Jp(p-AB)(p-BC)-(p-CA)=9.94厘米《?BUAD=994厘米

塞瓦(Ceva)定理：

在AABC中，過^ABC的頂點作相交于一點P的直線,分別

交邊BC、CA、AB與點D、E、F,貝U(BD/DC)?(CE/EA)?(AF/FB)=1；其逆亦真。

A

EAJ(FB^100

4.10厘米

3.79厘米

2.73厘米

BDQ曰=2.80厘米

AF=3.41厘米

FB=3.60厘米

密格爾(Miquel)點:

若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點,

構成四個三角形，它們是^ABF、AAED.ABCE.ADCF,

則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點。

葛爾剛（Gergonne）點:

△ABC的內切圓分別切邊AB、BC、CA于點D、E、F,

則AE、BF、CD三線共點，這個點稱為葛爾剛點。

西摩松(Simson)線:

已知P為AABC外接圓周上任意一點，PD_L.BGPE±ACPF±AB,D、

E、F為垂足，

則D、E、F三點共線，這條直線叫做西摩松線。

黃金分割：

把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較大的線段(AC)是原線段(AB)

與較小線段(BC)的比例中項，這樣的分割稱為黃金分割。

AC2=14.0厘米

C

CBAB=14.0厘米

AB

帕普斯(Pappus)定理：

已知點Ai、A2、A3在直線11上，已知點Bi、B2、B3在直線12上，

且AiB2與A2B1交于點X,A1B3與A3B1交于點Y,A2B3于A3

B2交于

點Z,則X、Y、Z三點共線。

笛沙格(Desargues)定理：

已知在△ABC與△ABC'中，AA'、BB'、CC'三線相交于點0,

BC與B'C'、CA與CA'、AB與A'B'分別相交于點X、Y、Z,則X、Y、

Z三點共線；其逆亦真

摩萊(Morlev)三角形:

在已知aABC三內角的三等分線中，分別與BC、CA、AB相鄰的每兩

線相交于點D、E、F,則ADEF是正三角形,

這個正三角形稱為摩萊三角形。

DE=1.24厘米

EF=1.24厘米

FD=1.24厘米

帕斯卡（Paskal）定理：

已知圓內接六邊形ABCDEF的邊AB、DE延長線交于點G,邊BC、EF

延長線交于點H,邊CD、FA延長線交于點K,則H、G、K三點共線。

托勒密（Ptolemy）定理：

在圓內接四邊形中,AB?CD+AD?BC=AC?BD

（任意四邊形都可！哇哈哈）

斯圖爾特（Stewart）定理：

設P為△ABC邊BC上一點，且BP：PC=n：m,則

m?(AB2)+n?(AC2)=m?(BP2)+n?(PC2)+(m+n)(AP2)

PCAB2+BPAC2=310,87厘米

PCBP2+BPPC2+(BP+PCj-AP2=310.87厘米

BP=3.69厘米

PC=4.35厘米

AB=4.57厘米

AC=7.72厘米

AP=4.75厘米

梅內勞斯定理：

在^ABC中，若在BC、CA'AB或其延長線上被同一條直線

截于點X、Y、Z，則(BX/XC)?(CY/YA)?(AZ/ZB)=1

阿波羅尼斯(Apollonius)圓

一動點p與兩定點A、B的距離之比等于定比m:n，則點p的軌跡，是以定比m:n內分和外

分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓，這個圓被稱為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓

布拉美古塔(Brahmagiipta)定理：

在圓內接四邊形ABCD中，AC-1-BD,自對角線的交點p向一邊作垂線，其延長線必平分對

邊。

廣勾股定理：

在任一三角形中,

(1)銳角對邊的平方，等于兩夾邊之平方和，減去某夾邊和另一夾邊在此邊上的影射乘積的

兩倍.

(2)鈍角對邊的平方，等于兩夾邊的平方和，加上某夾邊與另一夾邊在此邊延長上的影射垂

積的兩倍.

加法原理:

做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有Ml種不同的方法，在第二類辦法中有M2

種不同的方法，……，在第N類辦法中有M(N)種不同的方法，那么完成這件事情共有

M1+M2+...+M(N)種不同的方法。

比如說：從北京到上海有3種方法可以直接到達上海，

1：火車ki

2：飛機k2

3：輪船k3,那么從北京-上海的方法N=ki+k2+k3

乘法原理:

做一件事，完成它需要分成n個步驟，

做第一步有ml種不同的方法，

做第二步有m2不同的方法，...，做第n步有m,n不同的方法.那么完成這件事共有N=ml*m2-mS-mn

種不同的方法.

正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一個三角形中是恒量，是此三角形外接圓的直徑)

這一定理對于任意三角形ABC,都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R為三角形外接圓半徑)

余弦定理：

對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的兩倍積，

若三邊為a,b,c三角為A,B,C,則滿足性質：

a2=b2+c2-2bc?CosA

b2=a2+c2~2ac?CosB

c2=a2+b2-2ab?CosC

CosC=(a2+b2-c2)/2ab

CosB=(a2+c2-b2)/2ac

CosA=(c2+b2~a2)/2bc

解析幾何中的基本公式

1、兩點間距離：若A(X|,y),B(X2，y2)，則.目=_2了+(當—必產

2、平行線間距離：若I1：Ax+By+G=O,12:Ax+By+C2=0

,Icy

則：d=.=

JA2+B2

注意點：x,y對應項系數應相等。

3、點到直線的距離：P(xo,yJ,1:Ax+By+C=0

AX+By

則P至心的距離為：d=l；°

7A2+B2

4、直線與圓錐曲線相交的弦長公式：v丫=kx+b

[F(x,y)=0

消y：ax2+bx+c=0,務必注意△>().

若I與曲線交于A(X1,y]),B(x2,y2)

22

則：|A^=7(1+^)(X2-X,)

5、若人區(qū),必),8。2，%)，P(X，y)。P在直線AB上，且P分有向線段AB所成的比為九,

工二3+“

'2

,特別地：入=1時，P為AB中點且，

2

變形后：入=二二或九=匕二

6、若直線11的斜率為ki，直線12的斜率為k2，則11到12的角為a,aw(0,7i)

適用范圍：％,k2都存在且,tana=￡^

1+

若li與L的夾角為0,則tane=20e(O,-]

l+Z/22~

注意：(1)11到12的角，指從h按逆時針方向旋轉到b所成的角，范圍(0,兀)

11到L的夾角：指限L相交所成的銳角或直角。

(2)132時,夾角、到角=工。

2

(3)當11與12中有一條不存在斜率時，畫圖，求到角或夾角。

7、(1)傾斜角a,ae(0,7i)；

(2)W/夾角。，0e[O,兀];

(3)直線I與平面a的夾角p,pe[O,^];

(4)li與b的夾角為。，0G[O,-],其中Il〃l2時夾角。=0;

(5)二面角。，ae(0,7i]；

(6)<到<的角到0e(0,兀)

8、直線的傾斜角a與斜率k的關系

a)每一條直線都有傾斜角a,但不一定有斜率。

b)若直線存在斜率k,而傾斜角為a,

9、直線11與直線12的的平行與垂直

(1)若11，12均存在斜率且不重合:①I1//I20ki=k2

②IIL2=kik2=~1

I:

(2)若A[X+5]y+G=。，I2：A2x+B2y-vC1=0

若Ai、A?、Bi、B2都不為零

①ii//i2=a=^^G；

A2B2C2

②I1J_I2=A1A2+B1B2=O；

③11與12相交OaH之

&B2

④li與I2重合。2=旦=邑；

A2B2C2

注意：若A2或B2中含有字母，應注意討論字母=0與*0的情況。

10、直線方程的五種形式

名稱方程注意點

斜截式：y=kx+b應分①斜率不存在

②斜率存在

點斜式：y-y0=k(x-xo)(1)斜率不存在：X=XQ

(2)斜率存在時為y-乂=

兩點式：上二江=二五

>2一M々一七

截距式：匹+上=1其中I交X軸于(a,0),交y軸于(0,3當直線I在

ab

坐標軸上，截距相等時應分：

(1)截距=0設丫=1?

(2)截距=。。0設2+?=1

aa

即x+y二〃

一般式：Ax+By+C=0(其中A、B不同時為零)

11、直線Ax+By+C=0與圓(x—〃)2+(y-h)2=r2的位置關系有三種

\Aci+Bb-\-Cl

右d=--,J>r<=>相離<=>A<0

J=r<=>木目切=△=0

J<r<=>相交<=>A>0

13、圓錐曲線定義、標準方程及性質

(一)橢圓

定義I：若Fl，F2是兩定點，P為動點，且忸制+|尸閭=勿>閨閭"為常數）則P點的軌跡

是橢圓。

定義II：若Fi為定點，I為定直線，動點P到Fi的距離與到定直線I的距離之比為常數e（0<e<l）,

則P點的軌跡是橢圓。

標準方程：—y+=1（a>b>0）

ab~

定義域：{A|-a<x<a}{A|—Z?<y<b]

長軸長二2a，短軸長=2b

焦距：2c

a2

準線方程：九=±——

c

22

焦半徑：戶用=e（x+J）,\PF2\=e（---x）,

（注意涉及焦半徑①用點P坐標表示，②第一定

\PF\=2a-\PF^,a-c<\PFt\<a+c^

義。）

注意：（1）圖中線段的幾何特征：周=[4閭=,一c,同聞=|4用=。+。

也用=|4因=）/+〃等等。頂點與準線距離、焦點

與準線距離分別與a,6,c有關。

（2）APF心中經常利用余弦定理、三角形面積公式將有關線段|p用、歸用、2C,有關角/我建工

結合起來，建立歸制+|P用、|P制?等關系

\PF2\

Y—/7COSA

（3）橢圓上的點有時常用到三角換元：.：

j=osin0

（4）注意題目中橢圓的焦點在x軸上還是在y軸上，請補充當焦點在y軸上時，其相應的性質。

二、雙曲線

（一）定義：I若Fi，F2是兩定點，歸-儼周=2“<忻用為常數），則動點P的軌跡是雙

曲線。

II若動點P到定點F與定直線I的距離之比是常數e（e>l）,則動點P的軌跡是雙曲

線。

（二）圖形：

三)性質

2222

方程：二一4=13>0力>0)、一二=1(。>0,。>0)

abab

定義域：{^x>d^bc<a};值域為R;

實軸長=2〃，虛軸長=2b

焦距：2c

a2

準線方程：x=±~

22

焦半徑：|P￡|=e(x+?)，\PF2\=e(^--x),歸國-歸閭|=2a；

注意：(1)圖中線段的幾何特征:\AF\=\BF^=c-a,\AF2\=\BFt\=a+c

2222

頂點到準線的距離：a-—^a+—；焦點到準線的距離：J或c+J倆準線間的距離

CCCC

_2a2

=v

(2)若雙曲線方程為=漸近線方程：4-4=0=>y^x

abab~a

22

若漸近線方程為>=±?》=>±±2=0=雙曲線可設為「-二=九

aaba21r

2222

若雙曲線與二-與"=1有公共漸近線，可設為4=九

ab~ab~

(九>0,焦點在X軸上，X<0,焦點在y軸上)

（3）特別地當。=匕時o離心率e=V^o兩漸近線互相垂直，分別為y=±x,此時雙曲線為

等軸雙曲線，可設為/一y2=九；

（4）注意△/小△中結合定義歸4Hp司|=2。與余弦定理cosN￡PG，將有關線段|P片、

|P國、忻尸2|和角結合起來。

二、拋物線

（-）定義：到定點F與定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線。

即：到定點F的距離與到定直線I的距離之比是常數e（e=l）o

（二）圖形：

（三）性質：方程：y2=2px,（p>0）,p——焦參數；

焦點：（-^,0）,通徑|Aq=2p；

準線：x=—3；

2

焦半徑：|CF|=X。+g過焦點弦長|C￡）|=X]+y+X2+y=X1+X2+p

注意：（1）幾何特征：焦點到頂點的距離=]；焦點到準線的距離=〃；通徑長=2p

頂點是焦點向準線所作垂線段中點。

2

（2）拋物線V=2px上的動點可設為P（工,％）或P（2p/,2/”）或P（x。,y.洪中貨=2px。

2P

平面幾何基礎知識教程（圓）

一、幾個重要定義

外心：三角形三邊中垂線恰好交于一點，此點稱為外心

內心：三角形三內角平分線恰好交于一點，此點稱為內心

垂心：三角形三邊上的高所在直線恰好交于一點，此點稱為垂心

凸四邊形：四邊形的所有對角線都在四邊形ABCD內部的四邊形稱為凸四邊形

折四邊形：有一雙對邊相交的四邊形叫做折四邊形（如下圖）

（折四邊形）

二、圓內重要定理：

1.四點共圓

定義：若四邊形ABCD的四點同時共于一圓上，則稱A,B,C,D四點共圓

基本性質：若凸四邊形ABCD是圓內接四邊形，則其對角互補

證明：略

判定方法：

1.定義法:若存在一點0使OA=OB=OC=OD，則A,B,C,D四點共圓

2.定理1:若凸四邊形ABCD的對角互補，則此凸四邊形ABCD有一外接圓

證明：略

特別地，當凸四邊形ABCD中有一雙對角都是90度時，此四邊形有一外接圓

3.視角定理：若折四邊形ABCD中,ZADB=ZACB，則A,B,C,D四點共圓

證明：如上圖，連CD,AB,設AC與BD交于點P

因為4ADB=/ACB,所以

△CPB-ADPA

所以有生

PDPA

再注意到NCPD=NBPA

因此ACPD-ABPA

因此NPCD=NPBA

由此NBCD+NBAD=ZBCA+NPCD+NBAD=

NBDA+NPBA+NBAD=180（AABD的內角和）

因此A,B,C,D四點共圓

特別地,當ZA￡）B=ZXCB=90時，四邊開鄉(xiāng)ABCD有一外接圓

2.圓黑定理：

圓幕定理是圓的相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長定理的統(tǒng)一形式。

相交弦定理：P是圓內任一點，過P作圓的兩弦AB,CD,則PA?/>8=PC?PD

證明：

SAC,BD,則NC4B=NC￡>8（等弧對等圓周角）

而NAPC=NDPB（對頂角相等）

SlttAAPC-ADPB

即匕因此PA?PB=PC?P?

~PD~~PB

（切）割線定理：P是圓外任意一點，過P任作圓的兩割（切）線PAB,PCD,則

PA?PB=PC?PD

證明方法與相交弦定理完全一樣，可仿前。

特別地，當C,D兩點重合成為一點U時，割線PCD變成為切線PC

而由割線定理，2?尸3=小?9=尸。2,此時割線定理成為切割線定理

而當B,A兩點亦重合為一點A'時，由切割線定理PC"2=Q4=%亡

因此有PC'=PA',此時切割線定理成為切線長定理

現考慮割線與切線同時存在的情況，即切割線定理的情況:

如圖，PCD是圓的割線，PE是圓的切線

設圓心為0,連P0,0E,則由切割線定理有：

尸。?尸。=莊2而注意到黃色△是RTA,由勾股定理有；

pe=p(f-oe,結合切割線定理，我們得到

PC?PD=PE^=PO—OE2,這個結果表明，如果圓心。與p是確定的，那么

PC與PD之積也是唯一確定的。

以上是P在圓外的討論

現在再重新考慮P在圓內的情形，如下圖，PCD是圓內的現,PAB是以P為中點的弦

則由相交弦定理有小?依=群2（因為P是弓劾B中點）=PC?PD

連OP,0A,由垂徑定理，AOPA是RTA由勾股定理有

PA2=0^-01^,結合相交弦定理，便得到

L2

A4?尸8=92（因為p是弓劭B中點）=PC?PD=OA-OP

這個結果同樣表明，當。與P是固定的時候PC與PD之積是定值

以上是P在圓內的討論

當P在圓上時，過P任作一弦交圓于A（即弦AP）,此時

PCP-Q42=0也是定值

綜上，我們可以把相交弦定理，切割線定理，割線定理，切線長定理統(tǒng)一起來，得到圓幕定理。

圓幕定理：P是圓。所在平面上任意一點（可以在圓內，圓上，圓外），過點P任作一直線交圓0于

A,B兩點（A,B兩點可以重合，也可以之一和P重合），圓。半徑為r

則我們有：PA?PB=\PO1-r\

由上面我們可以看到，當P點在圓內的時候，尸O2—/<0,此時圓幕定理為相交弦定理

當P在圓上的時候，「"產二。

當P在圓外的時候，PO"~r>0此時圓幕定理為切割線定理，割線定理，或切線長定理

以下有很重要的概念和定理：根軸

先來定義幕的概念：從一點A作一圓周上的任一割線，從A起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱為

點對于這圓周的幕

對于已知兩圓有等幕的點的軌跡，是一條垂直于連心線的直線。

根軸的定義：兩圓等幕點的軌跡是一條直線，這條直線稱為兩圓的根軸

性質1若兩圓相交，其根軸就是公共弦所在直線

由于兩圓交點對于兩圓的幕都是0,所以它們位于根軸上，而根軸是直線，所以根軸是兩交點的連線

性質2若兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點的公切線（即性質1的極限情況）

性質3若三圓兩兩不同心，則其兩兩的根軸交于一點，或互相平行

所交的這點稱為根心

證明：若三圓心共線，則兩兩圓的根軸均垂直于連心線，因此此時兩兩的根軸互相平行

若三圓心不共線，則必成一三角形，因此兩兩的根軸必垂直于兩兩的連心線。如圖，設CD與EF交于

點。，連A0交圓分02圓03于B',B"，則

OA?OB'=OE?OF=OC?OD=OA?OB”其中前兩式是點。對圓02的幕，后二式是點0對圓03的幕，

中間是圓0對圓01的幕進行轉化

由此B，與B”重合，事實上它們就是點B（圓02與圓03的非A的交點），由此兩兩的根軸共點

圓幕定理是對于圓適用的定理，今使用圓幕定理對圓內接四邊形判定方法的補充:

圓內接四邊形判定方法

4.相交弦定理逆定理：如果四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點P,且滿足

PA?PC=PB?PD，則四邊形ABCD有一外接圓

5.切割線定理逆定理：如果凸四邊形ABCD一雙對邊AB與DC交于點P

且滿足=，則四邊形ABCD有一外接圓

這樣我們就補充了兩種判定方法

例（射影定理）：RTMBC中，BC是斜邊，AD是斜邊上的高

則

(1)AL>2=BD*CD

(2)Afi2=BD?BC

(3)AC2=CD?BC

證明：

如圖，延長AD至A',使AD=DA',連A'B,A'C

則AABCmAA'BC,因此NR4C+Na4'C=180

因此ABGA，四點共圓

(1)由相交弦定理有：

AD?DA'=AD2=BD*CD

A

⑵⑶同理，現證(3)

作RTAADB的外接圓，則RTAADB的外接圓圓心為E

其中E是AB的中點

則EA_LAC,因此AC是圓ABD的切線

由切割線定理有

CA2=CD?CB

例2:垂心

△ABC中，三邊所在的高的所在的直線交于一點

證明：

設BE與CF交于H,連AH延長交BC于D

即證AD_LBC

因為NBEC=NBFC=90,因此8,F,E,C四點共圓

同理A,F,H,E四點共圓

所以NBHD=180-ZAHF-NBHF=180-Z4EF-NEHC

=180-ZB-ZA=ZC

因此H,D,E,C四點共圓

由此NH￡>C=90

3.定理

之前1,2的重要定理都是討論關于點共圓的情況。那么反過來，圓共點的情況又如何？

從最簡單的開始了解，在本文之后討論圓共點問題中，甚至其他類型的問題，"駟”定理都給予莫大

的便利，我們將要不止一次地用到它。

先看一個事實:

如圖,MBC中，AD,BE,CF分別是三邊上的高，則分別以AEF,BDF,CDE作圓

這三個圓共于一點，而且可以通過觀察，這個點就是垂心剛好是AD,BE,CF的交點

在介紹九駟“定理之后，我們將會給這題與垂心一個闡釋

%駟"定理：MBC中，X,Y,Z分別是直線AB,BC,AC上的點，則

O4XZ,QBXY,OCTZ共于一點O

這樣的點0稱為X,Y,Z對于AABC的"駟”點

證明：

如圖，設0Axz與。BXY交于0,連0X,OY,0Z

即問題轉化為證。,Z,匕C四點共圓

因為A,X,0,Z與B,X,Y,0為兩組四點圓

則ZAZO=180-ZAXO=BXO=180-ZBYO=ZOKC

即NOZC+NOYC=18()

因此。,Z,匕C四點共圓

事實上這個證明隱含著對一般證圓共點的方法

在發(fā)掘"駟”定理的證明方法時可以得到一種更一般的證題方法

注意這個證明只在X,Y,Z在AB,BC,AC邊上時可以

當在直線AB,BC,AC上時需要改一下，這里略去了。

現在回到之前關于垂心的問題。為什么D,E,F關于AABC的鬼駟或點就是AABC的垂心

證明：

如圖，AD,BE,CF是A4BC的三條高，垂心為H,則

A,E,F,H

B,D,F,H

C,D,E,H

共三組四點共圓

由此可見。AEF,QBDF,QCDE共于一點”

而H就是垂心

有了"駟”定理，我們可以對垂心有一個新的看法

HD是QBDF與OCQE的根軸

對HE,司理

而ZA￡>8=ZAOC=90

因此0BDF與0CDE的連心線平行于BC（中位線定理）

因此HD垂直于BC

HE,HF同理

因此垂心可以被認為是這三圓的根軸的交點（根軸性質3）

用同樣的方法可以對內心，外心以同樣的解釋：

由此可見，共點圓與三角形的特殊點有很大的關系，上述3種只是最簡單的最容易發(fā)現的

提起外心就會聯(lián)想到外接圓，這里不得不提一個常用定理：正弦定理

正弦定理：AABC中，外接圓半徑R,則

BCACAB

=2R

sinAsinBsinC

證明：

作直徑AOD,連BD

則NABO=90,ZADB=NACB

因此在RrAABD中

其余同理

ABAB“八c八

-----------==AD=2R

sinZADBsinC

想到三角函數里面的函數名，那么自然會想到余弦定理

余弦定理：

△zXAU中AB=c,AO=b,BO=a

a?=Z？2+—2Z7ccosA

Z?2—+,2—2accosA

o'=Z?2+a?—2az7cosU

C

D

B

證明：

作8C邊上的高AD

CD=AC*cosC=bcosC

BD=BC-CD=a-hcosC

因此A"-BD2=AC2-CD2

即c?-(a-6cosc)2=b2-(Z?cosC)2

c2-a2-b2cos2C+2abcosC=b2-Z?2cos2C

Wc2=a2+b2-2abcosC

其余同理

接著便就是著名的費馬點，它也與共點圓有關系

費馬點，即AABC內一點，使其到三頂點距離之和最小的點

當AABC任一內角都＜120時，費馬點存在于內部，當△有一內角＞=120時費馬點與此角頂點重合

設AABC中任一內角均＜120,則費馬點F可以通過如下方法作出來：

分別以AB,AC,BC向外作正△,連接對著的頂點，則得

事實上，點F是這3個正△的外接圓所共的點

而FA+FB+FC其實就是頂點到對著的正△頂點的連線的長

而且之后將會有一種方法計算FA+FB+FC的長度

而這將會在之后進行討論

S加5M定理是常用而且著名的定理，多用于證明點共線，其逆定理也成立

Sim*"定理：P是AABC外接圓上一點，過點P作PD垂直BC,PE垂直于AB,同理PF

則D,E,F是共線的三點

直線DEF稱為點P關于AABC的Simson線

引理（完全四邊形的以"聞?定理）:四條直線兩兩交于A,B,C,D,E,F六點

則OABEQBCEQCDEQDAE共點

先從AA8尸對瓦C,。三點運用密克定理，則086￡。8F,064石共點

△D4E對3,C,尸三點運用密克定理，則043尸,0成萬0。尸共點

因此OABF,?BCE,?CDF,QOAE共點

其中所共的點叫做完全四邊形的九磔應■點

證明：這里運用九儂〃定理作為證明

設PZ座直BC,PE垂直A8,延長。E交CA于尸

則問題等價于證明P尸垂直AC

連PF

四邊形AFCD8E是完全四邊形

所以由完全四邊形的Miquel定理（引理）

QABC,?BDE,?AEF,Q（；￡>/='共點

注意至（l/PE8=NPDB

所以P,B,D,E四點共圓

所以。48c與。8OE交于點P和B

因此完全四邊形FACDBE的Miquel點非P則B

而A,E,B是同一直線上三點

因此A,E,F,B不可能共圓

因此P是完全四邊形FACDBE的Miquel點

由此P,E,F,A四點共圓

則NPFA=90

今逆定理證略

從這個證明我們看到"儂〃定理的威力不僅在于圓共點，而且對于共點圓也同樣適用

在有了S加初:定理之后，我們可以運用S加初:定理來給予完全四邊形的"駟“定理一個新的證明（即

前面的引理）

證明：

設0BCE與0C。尸非C的一個交點為M,過M作MP垂直BE,MQ垂直EC,

其余同理。因為M在Q3CE上，由S加so〃定理，PQR是共線的三點

同理對ACDF運用Simson定理，有QRS也是共線的三點

因此P,Q,R,S四點共線

而注意到尸,Q,S是點M對A4DE三邊的垂直且共線

欲Simson定理逆定理，得A,M,D,E四點共圓

同理A,B,F,M四點共圓

因此0BCE,OCDF,QADE,QABF共點于仞

由這個證明，我們可以知道完全四邊形的九磔4?定理和S加5?！岸ɡ硎堑葍r的

能夠運用S加定理證明的必也可用完全四邊形的密克定理證明，反之亦然

這樣，S加50/t定理便與密克定理產生了莫大的關聯(lián)

例.如圖/為母^(：外接圓上一點，作PAU3C交圓周于A',作的，直線AC交圓周于夕，C'同理。

求證：A4'||38||CC

證明：設PA'交BC于D,PB，交AC于E,F同理，則由S加*n定理知，DEF三點共線

由圖形看來，題斷三條互相平行的線均與S,加wm線平行，因此可以試證

連PB

而注意到P,B,D,F四點共圓，因此NEDB=NFDB=NPBA=NPAA

因此AA，與Stffwon線平行。其余同理

事實上，S加50"定理可以作推廣，成為。祖加定理

。祖加定理通過AABC外接圓上的一點P,引與三邊BC,CAAB分別成同向等角EPZPDB=ZPEC=ZPFB)

的直線PD,PE,PF與三邊或其所在直線的交點分別為D,E,F則D,E,F是共線的三點

可以仿照前面的證明

（這里的證明也可以運用四點共圓的判定定理與性質，再證4DE尸=180）

證明留給讀者，作為習題

5.仿叼定理

本文主要介紹一些平面幾何圓中較為重要和常用的定理，而凝血叼定理是一個十分重要的定理，及其

也有重要的推廣

分。白叼定理：若四邊形ABCD是圓內接四邊形，貝ljAB?8+AO?8C=AC-8D

證明：

如圖，設OABCD外接圓半徑為R,連AC,過點。作ZL4BC各邊的垂線

分交AB于C',AC于B',8c于A',則由Simson定理，A'B'C'是共線的三點

因此C'8'+B'A'=C'A'

由A,C',B',D四點共圓，且NC'AD=NOB'C',因此A。是OAC'B'。的直徑

由正弦定理有

C'B'=ADsinZC'DB'=ADtiinZC'AB'

sinZBAC=—,所以=國匕生

2R2R

同理8'心空?A』AC?BD

2R

因此皇CD?ABAC^BD

-----------------1------------------

2R2R

即AO?BC=CO?AB+AC?8O

至此，我們重新把求費馬點至三頂點距離的長度和的問題提出，運用碗的定理解決：

如圖,設AB=c,AC=b,BC=a由NAFC=12。NAB'C=60，有A,F,B',C四點共圓

對。AFCB'運用Pfo/emy定理有

FA?B'C+FC?AB'=AC?FB'

因為A4C8,是等邊△,因此

FA+FC=FB'

所以FA+FB+FC=BB'

同理FA+FB+FC=/VT=CC'

今考察XBCB',由余弦定理

BB'2=a2+b2-2abcos(60+C)

=a2+h2-2aZ?[cos60cosC-sin60sinC]

=a2+b2-ab[cosC-招sinC]

而A4BC中,sinC=2sA48c

ab

cosC=°"——匕代入上式有

2ab

辿嶼

labab

=a2+b2-(/+：―/)+2屈LABC

=礦+；+c?+2出SLABC

因此FA+FB+FC=F*：+L+2相SAA8C

其中S△ABC=qp(p-a)(p-b)(p-c),p-"+

(這里我們用到著名的求積公式：SAAB。=血不訴二研茄(其中.=巴等與，證略).

至此，本文平面幾何圓的基礎知識已經全部介紹完畢，這里將以著名的C伽亞定理結束(只做了解)

這是與圓幕定理的應用有關的定理之一

C/iapp仿定理:設R是AABC的外接圓半徑，r■是內切圓半徑,d是這兩圓的圓心距，則

d?=N—2Rr

證明：

連AI并延長交AABC外接圓于P,并作直徑POQ,連BQ

設內切圓與AB的切點為D，連ID,IB

則在AADI與AQBP中，NDAI=NBQP

ZADI=ZQBP=90

因此AADI-AQBP

有券=箓即四?BP=DI?PQ=2Rr

△IBP中，4BP=；(NA+NB)

NBIP=ZIAB+NIBA=；(N4+NB)

因此BP=IP,由此

AI?BP=AI?IP=2Rr,再由圓幕定理

AI?IP=R2-OI2=R--d2=2Rr

&)d2=R2-2Rr

事實上C&印丘定理對旁心也有相應的公式，不過是等號右邊的符號-變+

但對本文不提及旁心，因此略去

習題:

第一部分（四點共圓的應用）

1.如圖,在AABC中,AB=AC.任意延長CA至！]P,再延長AB至1]Q使AP=BQ.求證：MBC的外心0與

A.BQ四點共圓.（1994年全國初中數學聯(lián)合競賽二試第1題）

2.如圖，在AA3C中，A8=AC,。是底邊8C上一點，E是線段上一點，且2NC￡O=NA.

求證：80=20（1992年全國初中數學聯(lián)合競賽二試第2題）

3.如圖，設AB.CD為。0的兩直徑過B作PB垂直于AB,并與CD延長線相交于點P,過P作直線與。0

分別交于E,F兩點，連結AE,AF分別與CD交于G,H求證:0G=0H.（2002年我愛數學初中生夏令營一

試第2題）.

第二部分（圓幕定理的應用）

4.如圖，等邊三角形ABC中，邊AB與相切于點H,邊BC,CA與交于點D,E,F；G。已知

AG=2,GF=6,FC=1.貝ijDE=.（第33屆美國中學生數學邀請賽試題改編）

5.如圖，O0和。0'都經過點A和B,PQ切。0于