河北省石家莊市石家莊二中實驗學校2023-2024學年高二上學期1月月考數(shù)學試題

石家莊二中實驗學校2022級高二1月月考數(shù)學試卷（時間：120分鐘，滿分150分）一、單選題：本題共8小蹦．每小題5分，共40分1.已知兩條直線和互相平行，則a等于（）A.1或 B.或3 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，列出方程，求解并驗證即可得解.【詳解】由直線和平行，得，解得或，當時，直線與重合，不符合題意，當時，直線與平行，符合題意，所以.故選：D2.雙曲線的實軸長是()A.2 B. C.4 D.4【答案】C【解析】【詳解】試題分析：雙曲線方程變形為，所以，實軸長為考點：雙曲線方程及性質3.直線與圓相交于兩點，則的最小值為（）A.6 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出直線經(jīng)過的定點，再由弦長公式可分析出當時，最小，更多優(yōu)質資源可進入/從而可求得結果.【詳解】因為可化為，令，解得，所以直線恒過定點，該點在圓內(nèi)，因為，所以要求的最小值，即求圓心到直線的最大距離，顯然當時，最大，最小，又因為圓，所以圓心，，則，故此時.故選：D.4.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間坐標系，利用空間向量法求解線面角，從而求解.【詳解】由題意知平面，且四邊形為正方形，所以以為坐標原點，分別以，，為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系.設，則，，，從而，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，設直線與平面所成的角為，則，故C項正確.故選：C.5.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓和雙曲線的定義及可以列出關于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值【詳解】設橢圓長軸長為，雙曲線實軸長為，，，（），則，解之得又則則，則則，則（當且僅當時等號成立）則的最小值為故選：B6.已知圓和兩點，，若圓上至少存在一點，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，圓與圓的位置關系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含，利用圓心距和兩圓半徑之間的關系即可求得.【詳解】圓的圓心，半徑為，因為圓上至少存在一點，使得，則，所以圓與圓的位置關系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含，所以可得，又因為，所以，即.即實數(shù)的取值范圍是.故選：B.7.已知圓與坐標軸的交點為，點P為橢圓上一點，若，則點P到軸的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，不妨設，得到點恰為橢圓的左右焦點，得出，得到，結合橢圓的定義，得到點在以為焦點的橢圓上，求得點的軌跡方程為，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由圓與坐標軸的交點為，不妨設，又由橢圓，可得，則，所以恰為橢圓的左右焦點，可得，因為，可得，所以，所以點在以為焦點的橢圓上，且，可得，則，所以點為橢圓，聯(lián)立方程組，解得，可得，所以點到軸的距離為.故選：B.8.十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎，著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作；再將剩下的兩個區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.設第次操作去掉的區(qū)間長度為，數(shù)列滿足：，則數(shù)列中的取值最大的項為（）A.第3項 B.第4項 C.第5項 D.第6項【答案】C【解析】【分析】由已知可得，則，然后由，得，而為正整數(shù)，從而可求得答案.【詳解】由題可知，由此可知，所以，因為，令，解得（舍），由此可知時時，故的取值最大，故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在遞增的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，則下列說法正確的是（）A.q＝1 B.數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列C.S8＝510 D.數(shù)列{lgan}是公差為2的等差數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】先根據(jù)題干條件判斷并計算得到q和a1的值，可得到等比數(shù)列{an}的通項公式和前n項和公式，對選項進行逐個判斷即可得到正確選項．【詳解】由題意，根據(jù)等比中項的性質，可得a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，故a2＞0，a3＞0．根據(jù)根與系數(shù)的關系，可知a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的兩個根．解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．故必有公比q＞0，∴a10．∵等比數(shù)列{an}遞增數(shù)列，∴q＞1．∴a2＝4，a3＝8滿足題意．∴q＝2，a12．故選項A不正確．a(chǎn)n＝a1?qn﹣1＝2n．∵Sn2n+1﹣2．∴Sn+2＝2n+1＝4?2n﹣1．∴數(shù)列{Sn+2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．故選項B正確．S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故選項C正確．∵lgan＝lg2n＝n．∴數(shù)列{lgan}是公差為1的等差數(shù)列．故選項D不正確．故選：BC【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式、求和公式和性質，考查了學生概念理解，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.10.下列命題中，不正確的選項有（）A.若成等比數(shù)列，則為的等比中項，且B.為等比數(shù)列是的充要條件C.兩個等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)的數(shù)列、、仍為等比數(shù)列D.若是等比數(shù)列，是的前n項和，則，…成等比數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】選項A，等比數(shù)列中的項可以為負數(shù)，舉出反例即可；選項B，判斷必要性時，舉出反例，通項為零的常數(shù)列，判斷即可；選項C，分別設等比數(shù)列的公比為，的公比為，接著分析它們積、商、倒數(shù)數(shù)列的首項和公比即可；選項D，舉出反例，等比數(shù)列為……，判斷，…是不是等比數(shù)列即可.【詳解】對于選項A，若，成等比數(shù)列，為的等比中項，但，A錯誤；對于選項B，充分性：若為等比數(shù)列，可得，得，滿足充分性；必要性：若數(shù)列是通項為零的常數(shù)數(shù)列，滿足，不滿足為等比數(shù)列，不滿足必要性；B錯誤；對于選項C，兩個等比數(shù)列（公比為）與（公比為），它們的積數(shù)列是以為首項為公比的等比數(shù)列，它們的商數(shù)列是以為首項為公比的等比數(shù)列，倒數(shù)數(shù)列是以為首項為公比的等比數(shù)列；C正確；對于選項D，若等比數(shù)列為……，顯然，……，…不成等比數(shù)列，D錯誤；故選：ABD.11.設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足，，，則下列選項正確的是（）A. B.C.是數(shù)列中的最大項 D.【答案】ACD【解析】【分析】分析出，可得出數(shù)列為正項遞減數(shù)列，結合題意分析出正項數(shù)列前項都大于，而從第項起都小于，進而可判斷出各選項的正誤.【詳解】由可得與異號，或，又，且，可得與同號，即，且一個大于，一個小于，若，則，不符合題意；若，則，為遞減數(shù)列，滿足，故A正確；對于B選項，由于，數(shù)列為正項遞減數(shù)列，，所以，，故B選項錯誤；對于C選項，由上可知，正項數(shù)列前項都大于，而從第項起都小于，所以，是數(shù)列中的最大值，故C選項正確；對于D選項，，D選項正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：在等比數(shù)列的公比的取值不確定時，首先分析的符號，進一步確定的取值范圍，解本題的關鍵就是結合已知條件分析出，并結合等比數(shù)列的單調(diào)性來進行推導.12.圓冪定理是平面幾何中關于圓的一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定理，經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條弦被這點所分成的兩線段長的積相等，已知圓的半徑為5，點P是圓O內(nèi)的一定點，且，過點P引兩條弦AC，BD，則下列說法正確的是（）A.為定值B.的取值范圍為C.當時，如圖以O為原點，OP為x軸，則AB中點M的軌跡方程為D.當時，四邊形ABCD面積的最大值為40【答案】ABC【解析】【分析】利用數(shù)量積的定義結合圓冪定理判斷A，利用數(shù)量積的運算律判斷B，利用幾何法求得軌跡方程判斷C，利用弦心距和基本不等式求解最值判斷D.【詳解】對于A，設圓O與x軸正負半軸的交點分別為E、F，則，故A正確；對于B，取BD的中點為G，連接OG，則，又，所以的取值范圍為，故B正確；對于C，設，，當時，，所以，則，整理可得：，即AB中點M的軌跡方程為，故C正確；對于D，記分別為O到AC，BD的距離，，故D錯誤；故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知兩異面直線和的方向向量分別為和，若，則與所成角為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)異面直線和的方向向量分別為和，且，結合求解.【詳解】因為，又,所以異面直線與所成角為60°.故答案為：【點睛】本題主要考查異面直線所成的角的向量求法，屬于基礎題.14.設等差數(shù)列、的前項和分別為、，若對任意的，都有，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質即可求解.【詳解】，由于，故答案為：15.設，過定點A的直線和過定點B的直線交于點P，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】結合題意，先算出定點的坐標，然后根據(jù)斜率關系找到兩直線垂直，得到，最后利用三角恒等變換算出的最大值即可.【詳解】因為直線可化為，所以該直線過定點，因為直線可化為，所以該直線過定點，又因為對任意，，所以直線與直線垂直，又因為直線與直線相交于點,所以.記,則，所以其中，當且僅當時，有最大值為.故答案為：.16.已知橢圓，過原點作兩條互相垂直的射線交橢圓于、兩點，則弦長的取值范圍為_____________．【答案】【解析】【分析】對直線、的斜率是否同時存在進行分類討論，當直線、分別與兩坐標軸重合時，直接求出的值；當直線、的斜率都存在時，設直線，求出關于的表達式，利用二次函數(shù)的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】當直線、分別與兩坐標軸重合時，；當直線、斜率都存在時，設直線，聯(lián)立，可得，所以，，同理可得，所以，，因為，則，令，令，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又因為，，則，此時，，則.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.四、解答題，本題共6小題共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知一次函數(shù)的圖象過點和．數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出，再代入，然后升次作差即可得到為等比數(shù)列，求出其通項即可；（2）利用裂項求和法即可得到.【小問1詳解】設，，則，解得，所以．故，當時，，又，故作差得，所以，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故．【小問2詳解】由（1）得，故18.已知動點與兩個定點，的距離的比是2.（1）求動點的軌跡的方程；（2）直線過點，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接利用條件求出點的軌跡方程，所求方程表示一個圓；（2）直線的斜率分存在與不存在兩種情況，當直線的斜率不存在時，檢驗不滿足條件；當直線的斜率存在時，用點斜式設出直線的方程，根據(jù)弦長和點到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進而求出直線的方程.【小問1詳解】設點，動點與兩個定點，的距離的比是，，即，則，化簡得，所以動點的軌跡的方程為；小問2詳解】由（1）可知點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長為，圓心到直線的距離，①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡得，解得或，此時直線的方程為或.綜上，直線的方程是或.19.已知數(shù)列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接由的關系結合等比數(shù)列的定義即可得解.（2）直接用錯位相減法求和即可，進一步即可得證.【小問1詳解】由題意得，得，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以的通項公式為.【小問2詳解】由題意得，，兩式相減，得，所以，因為，所以.20.如圖，過拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點F的直線交C于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，且x1x2＝－4．（1）求拋物線C的標準方程；（2）R，Q是C上的兩動點，R，Q的縱坐標之和為1，R，Q的垂直平分線交y軸于點T，求的面積的最小值．【答案】（1）x2＝4y（2）3【解析】【分析】(1)由已知設出直線MN的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系，解得，則拋物線方程可求；(2)設R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t）根據(jù)垂直平分線|TR|＝|TQ|，R，Q的縱坐標之和為1，求得，然后根據(jù)求得有關k的函數(shù)表達式，此時即可求出的面積的最小值.【小問1詳解】由題意，設直線MN方程為，由得x2－2pkx－p2＝0，由題意知x1，x2是方程兩根，所以x1x2＝－p2＝－4，所以，拋物線的標準方程為x2＝4y．【小問2詳解】設R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t），因為點T在RQ的垂直平分線上，所以|TR|＝|TQ|，得．因為，，所以，即，所以－4＝y(tǒng)3＋y4－2t．又因為y3＋y4＝1