浙江省杭州七縣區(qū)2024屆數(shù)學高一第二學期期末綜合測試試題含解析

浙江省杭州七縣區(qū)2024屆數(shù)學高一第二學期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，⊥底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（）A． B． C． D．2．四棱錐中，平面，底面是正方形，且，則直線與平面所成角為（）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．4．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（）345.156.1264.04187.51218.01A． B． C． D．5．已知M為z軸上一點，且點M到點與點的距離相等，則點M的坐標為（）A． B． C． D．6．在中，，，成等差數(shù)列，，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形7．設，,則的值可表示為（）A． B． C． D．8．某校有高一學生人，高二學生人，高三學生人，現(xiàn)教育局督導組欲用分層抽樣的方法抽取名學生進行問卷調查，則下列判斷正確的是（）A．高一學生被抽到的可能性最大 B．高二學生被抽到的可能性最大C．高三學生被抽到的可能性最大 D．每位學生被抽到的可能性相等9．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)且公比不等于的等比數(shù)列.對于函數(shù)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則稱函數(shù)為“保比差數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：①；②；③；④，則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號為（）A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④10．函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一條對稱軸方程是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量、滿足，，且，則與的夾角為________.12．若滿足約束條件，的最小值為，則________．13．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積S＝_____．14．某幾何體是由一個正方體去掉一個三棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積是___15．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．16．我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設數(shù)列的首項，為常數(shù)，且（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，請說明理由；（2）是數(shù)列的前項的和，若是遞增數(shù)列，求的取值范圍.18．已知．（1）求的值：（2）求的值．19．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點．（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．20．已知從甲地到乙地的公路里程約為240（單位：km）.某汽車每小時耗油量Q（單位：L）與速度x（單位：）（）的關系近似符合以下兩種函數(shù)模型中的一種（假定速度大小恒定）：①，②，經(jīng)多次檢驗得到以下一組數(shù)據(jù)：x04060120Q020（1）你認為哪一個是符合實際的函數(shù)模型，請說明理由；（2）從甲地到乙地，這輛車應以多少速度行駛才能使總耗油量最少？21．已知圓心在軸的正半軸上，且半徑為2的圓被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設動直線與圓交于兩點，則在軸正半軸上是否存在定點，使得直線與直線關于軸對稱？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

過的中心M作直線,則上任意點到的距離相等，過線段中點作平面，則面上的點到的距離相等，平面與的交點即為球心O，半徑，故選D.考點：求解三棱錐外接球問題.點評：此題的關鍵是找到球心的位置（球心到4個頂點距離相等）.2、A【解題分析】

連接交于點，連接，證明平面，進而可得到即是直線與平面所成角，根據(jù)題中數(shù)據(jù)即可求出結果.【題目詳解】連接交于點，因為平面，底面是正方形，所以，，因此平面；故平面；連接，則即是直線與平面所成角，又因，所以，.所以，所以.故選A【題目點撥】本題主要考查線面角的求法，在幾何體中作出線面角，即可求解，屬于?？碱}型.3、B【解題分析】

∵，∴.∴，即，∴,，故選B.【考點定位】向量的坐標運算4、A【解題分析】

由表中的數(shù)據(jù)分析得：自變量基本上是等速增加，相應的函數(shù)值增加的速度越來越快，結合基本初等函數(shù)的單調性，即可得出答案.【題目詳解】對于A：函數(shù)在是單調遞增，且函數(shù)值增加速度越來越快，將自變量代入，相應的函數(shù)值，比較接近，符合題意，所以正確；對于B：函數(shù)值隨著自變量增加是等速的，不合題意；對于C：函數(shù)值隨著自變量的增加比線性函數(shù)還緩慢，不合題意；選項D：函數(shù)值隨著自變量增加反而減少，不合題意.故選:A.【題目點撥】本題考查函數(shù)模型的選擇和應用問題，解題的關鍵是掌握各種基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖像與性質，屬于基礎題.5、C【解題分析】

根據(jù)題意先設，再根據(jù)空間兩點間的距離公式，得到，再由點M到點與點的距離相等建立方程求解.【題目詳解】設根據(jù)空間兩點間的距離公式得因為點M到點與點的距離相等所以解得所以故選：C【題目點撥】本題主要考查了空間兩點間的距離公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.6、B【解題分析】

根據(jù)等差中項以及余弦定理即可．【題目詳解】因為，，成等差數(shù)列，得為直角三角形為等腰直角三角形，所以選擇B【題目點撥】本題主要考查了等差中項和余弦定理，若為等差數(shù)列，則，屬于基礎題．7、A【解題分析】

由，可得到，然后根據(jù)反余弦函數(shù)的圖象與性質即可得到答案.【題目詳解】因為，所以，則.故選：A【題目點撥】本題主要考查反余弦函數(shù)的運用，熟練掌握反余弦函數(shù)的概念及性質是解決本題的關鍵.8、D【解題分析】

根據(jù)分層抽樣是等可能的選出正確答案.【題目詳解】由于分層抽樣是等可能的，所以每位學生被抽到的可能性相等，故選D.【題目點撥】本小題主要考查隨機抽樣的公平性，考查分層抽樣的知識，屬于基礎題.9、C【解題分析】

①，為“保比差數(shù)列函數(shù)”；②，為“保比差數(shù)列函數(shù)”；③不是定值，不是“保比差數(shù)列函數(shù)”；④，是“保比差數(shù)列函數(shù)”，故選C.考點：等差數(shù)列的判定及對數(shù)運算公式點評：數(shù)列，若有是定值常數(shù)，則是等差數(shù)列10、B【解題分析】

根據(jù)最小正周期為求解與解析式,再求解的對稱軸判斷即可.【題目詳解】因為最小正周期為,故.故,對稱軸方程為,解得.當時,.故選：B【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)最小正周期的應用以及對稱軸的計算.屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

直接應用數(shù)量積的運算，求出與的夾角．【題目詳解】設向量、的夾角為；∵，∴，∵，∴.故答案為：．【題目點撥】本題考查向量的夾角計算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎題.12、4【解題分析】

由約束條件得到可行域，取最小值時在軸截距最小，通過直線平移可知過時，取最小值；求出點坐標，代入構造出方程求得結果.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：取最小值時，即在軸截距最小平移直線可知，當過點時，在軸截距最小由得：，解得：本題正確結果：【題目點撥】本題考查現(xiàn)行規(guī)劃中根據(jù)最值求解參數(shù)的問題，關鍵是能夠明確最值取得的點，屬于?？碱}型.13、【解題分析】

用余弦定理求出邊的值，再用面積公式求面積即可．【題目詳解】解：據(jù)題設條件由余弦定理得，即，即解得，故的面積，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎題．14、6【解題分析】

先作出幾何體圖形，再根據(jù)幾何體的體積等于正方體的體積減去三棱柱的體積計算.【題目詳解】幾何體如圖所示：去掉的三棱柱的高為2，底面面積是正方體底面積的，所以三棱柱的體積：所以幾何體的體積：【題目點撥】本題考查三視圖與幾何體的體積.關鍵是作出幾何體的圖形，方法：先作出正方體的圖形，再根據(jù)三視圖“切”去多余部分.15、【解題分析】由三視圖知該幾何體是一個半圓錐挖掉一個三棱錐后剩余的部分，如圖所示，所以其體積為.點睛：求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心，本題就是第三種方法.16、1．98.【解題分析】

本題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題．【題目詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為，其中高鐵個數(shù)為11+21+11=41，所以該站所有高鐵平均正點率約為．【題目點撥】本題考點為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng)．側重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）是公比為的等比數(shù)列，理由見解析；（2）【解題分析】

（1）由，當時，，即可得出結論．（2）由（1）可得：，可得，，可得，，即可得出．【題目詳解】（1），則時，，時，為等比數(shù)列，公比為．（2）由（1）可得：，只需，（）當為奇數(shù)時，恒成立，又單減，∴當為偶數(shù)時，恒成立，又單增，∴．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的定義通項公式與求和公式及其單調性，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）【解題分析】

(1)利用平方關系、誘導公式以及誘導公式即可求解;(2)利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式化簡即可求值.【題目詳解】（1）因為且所以；（2）．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡與求值，關鍵是利用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系以及輔助角公式來求解，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）連接交于點，則為的中點，由中位線的性質得出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；（2）取的中點，連接，由中位線的性質得到，且，可得出平面，于此得出直線與平面所成的角為，然后在中計算即可.【題目詳解】（1）連接，交于點，連接，由底面是菱形，知是的中點，又是的中點，∴.又∵平面，平面,∴平面；（2）取中點，連接，∵分別為的中點，∴，∵平面，∴平面，∴直線與平面所成角為，∵，，∴.【題目點撥】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的計算，在計算直線與平面所成角時，要注意過點作平面的垂線，構造出直線與平面所成的角，再選擇合適的直角三角形求解，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題．20、（1）選擇模型①，見解析；（2）80.【解題分析】

（1）由題意可知所選函數(shù)模型應為單調遞增函數(shù)，即可判斷選擇；（2）將，代入函數(shù)型①，可得出的值，進而可得出總耗油量關于速度的函數(shù)關系式，進而得解.【題目詳解】（1）選擇模型①理由：由題意可知所選函數(shù)模型應為單調遞增函數(shù)，而函數(shù)模型②為一個單調遞減函數(shù)，故選擇模型①.（2）將，代入函數(shù)型①，可得：，則，總耗油量：，當時，W有最小值30.甲地到乙地，這輛車以80km/h的速度行駛才能使總耗油量最少.【題目點撥】本題考查函數(shù)模型的實際應用，考查邏輯思維能力，考查實際應用能力，屬于?？碱}.21、（1）（2）當點為時，直線與直線關于軸對稱，詳見解析【解題分析】

（1）設圓的方程為，由垂徑定理求得弦長，再由弦長為可求得，