安徽省示范中學(xué)培優(yōu)聯(lián)盟2024屆數(shù)學(xué)高一下期末考試試題含解析

安徽省示范中學(xué)培優(yōu)聯(lián)盟2024屆數(shù)學(xué)高一下期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．過(guò)點(diǎn)斜率為－3的直線的一般式方程為（）A． B．C． D．2．在中，已知，，則為（）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形C．銳角非等邊三角形 D．鈍角三角形3．已知向量，且，則（）A．2 B． C． D．4．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于()A．－3 B．5 C．33 D．－315．在ΔABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A=π3，B=π4，A．23 B．2 C．3 D．6．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．7．在中，分別為角的對(duì)邊，若的面積為，則的值為（）A． B． C． D．8．已知是第三象限的角，若，則A． B． C． D．9．某市家庭煤氣的使用量和煤氣費(fèi)(元)滿足關(guān)系，已知某家庭今年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表：月份用氣量煤氣費(fèi)一月份元二月份元三月份元若四月份該家庭使用了的煤氣，則其煤氣費(fèi)為（）元A． B． C． D．10．如圖，函數(shù)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P，Q，R滿足，，M為QR的中點(diǎn)，，則A的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則______.12．設(shè)為正偶數(shù)，，則____________.13．已知兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為_________.14．若，且，則的最小值為_______.15．已知向量，的夾角為°，，，則______．16．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)椋?）求函數(shù)的最小正周期，并求出其單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求關(guān)于的方程的解集．18．已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式:(2)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.19．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）若，求正整數(shù)的值.20．用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給圖中3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，求3個(gè)矩形顏色都不同的概率．21．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l交C于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，軸，垂足為H．連結(jié)QH并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)R．（i）設(shè)O到直線QH的距離為d．求d的取值范圍;（ii）求面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

由點(diǎn)和斜率求出點(diǎn)斜式方程，化為一般式方程即可．【題目詳解】解：過(guò)點(diǎn)斜率為的直線方程為，化為一般式方程為；故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了由點(diǎn)以及斜率求點(diǎn)斜式方程的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

已知第一個(gè)等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式及內(nèi)角和定理表示，根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，得到A＝B，第二個(gè)等式左邊前兩個(gè)因式利用積化和差公式變形，右邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將A+B＝C，A﹣B＝0代入計(jì)算求出cosC的值為0，進(jìn)而確定出C為直角，即可確定出三角形形狀．【題目詳解】將已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinAcosB＝sinC，∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，∵A與B都為△ABC的內(nèi)角，∴A﹣B＝0，即A＝B，已知第二個(gè)等式變形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，﹣[cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣cosC，∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣cosC，即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），∴C＝90°，則△ABC為等腰直角三角形．故選A．【題目點(diǎn)撥】此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．3、B【解題分析】

根據(jù)向量平行得到，再利用和差公式計(jì)算得到答案.【題目詳解】向量，且，則..故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量平行求參數(shù)，和差公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.4、C【解題分析】

由等比數(shù)列的求和公式結(jié)合條件求出公比，再利用等比數(shù)列求和公式可求出.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（公比顯然不為1），則，得，因此，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列基本量計(jì)算，利用等比數(shù)列求和公式求出其公比，是解本題的關(guān)鍵，一般在求解等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，有如下兩種方法：（1）基本量法：利用首項(xiàng)和公比列方程組解出這兩個(gè)基本量，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算；（2）性質(zhì)法：利用等比數(shù)列下標(biāo)有關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，能起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用．5、A【解題分析】

利用正弦定理asinA=【題目詳解】在ΔABC中，由正弦定理得asinA=故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類型，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。6、D【解題分析】

利用夾角公式計(jì)算出兩個(gè)向量夾角的余弦值，進(jìn)而求得兩個(gè)向量的夾角.【題目詳解】設(shè)兩個(gè)向量的夾角為，則，故.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查兩個(gè)向量夾角的計(jì)算，考查向量數(shù)量積和模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】試題分析：由已知條件及三角形面積計(jì)算公式得由余弦定理得考點(diǎn)：考查三角形面積計(jì)算公式及余弦定理．8、D【解題分析】

根據(jù)是第三象限的角得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得的值.【題目詳解】因?yàn)槭堑谌笙薜慕?，所以，因?yàn)?，所以解得：，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦函數(shù)在第三象限的符號(hào)及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即已知值，求的值.9、C【解題分析】由題意得：C=4，將（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：∴A=5，B=，故x=20時(shí)：f（20）=4+（20﹣5）=11.5.故選：C．點(diǎn)睛：這是函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題型，根據(jù)題目中的條件和已知點(diǎn)得到分段函數(shù)的未知量的值，首先得到函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)題意讓求自變量為20時(shí)的函數(shù)值，求出即可。實(shí)際應(yīng)用題型，一般是先根據(jù)題意構(gòu)建模型，列出表達(dá)式，根據(jù)條件求解問(wèn)題即可。10、D【解題分析】

用周期表示出點(diǎn)坐標(biāo)，從而又可得點(diǎn)坐標(biāo)，再求出點(diǎn)坐標(biāo)后利用求得，得．【題目詳解】記函數(shù)的周期，則，因?yàn)?，∴，是中點(diǎn)，則，∴，解得，∴，由得，∵，∴，，，∴，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查求三角函數(shù)的解析式，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

首先求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，計(jì)算圓心到直線的距離，再計(jì)算弦長(zhǎng)即可.【題目詳解】圓，，圓心，半徑.圓心到直線的距離..故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，熟練掌握弦長(zhǎng)公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.12、【解題分析】

得出的表達(dá)式，然后可計(jì)算出的表達(dá)式.【題目詳解】，，因此，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查項(xiàng)的變化，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

求出直線的斜率和線段的中點(diǎn)，利用兩直線垂直時(shí)斜率之積為可得出線段的垂直平分線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出中垂線的方程．【題目詳解】線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，其方程為，即.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查線段垂直平分線方程的求解，有如下兩種方法求解：（1）求出中垂線的斜率和線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式得出中垂線所在直線方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，利用動(dòng)點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等列式求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，即可作為中垂線所在直線的方程．14、【解題分析】

將變換為，展開利用均值不等式得到答案.【題目詳解】若，且，則時(shí)等號(hào)成立.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了均值不等式，“1”的代換是解題的關(guān)鍵.15、1【解題分析】

把向量，的夾角為60°，且，，代入平面向量的數(shù)量積公式，即可得到答案．【題目詳解】由向量，的夾角為°，且，，則.故答案為1【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，直接考查公式本身的直接應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得解.詳解：由，得.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解題分析】

（1）利用兩角差的余弦公式、二倍角降冪公式以及輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，由周期公式可得出函數(shù)的最小正周期，由，解出的范圍得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由，得出，解出該方程可得出結(jié)果.【題目詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為，由，得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）令，得，或，解得或，因此，關(guān)于的方程的解集為.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)基本性質(zhì)的求解，解題時(shí)要將三角函數(shù)解析式利用三角恒等變換思想進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再利用相應(yīng)公式或圖象進(jìn)行求解，考查分析問(wèn)題和運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18、(1)(2)，【解題分析】

(1)利用累加法得到答案.(2)計(jì)算，利用裂項(xiàng)求和得到前項(xiàng)和.【題目詳解】(1)由題意可知左右累加得.(2).【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列的累加法，裂項(xiàng)求和法，是數(shù)列的常考題型.19、（1）（2）41【解題分析】

（1）根據(jù)通項(xiàng)公式先求出公差，再求即可；（2）先表示出，求出的具體值，根據(jù)求即可【題目詳解】（1）由，，可得，則（2），，則，解得【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的用法，屬于基礎(chǔ)題20、【解題分析】試題分析：可畫出樹枝圖，得到基本事件的總數(shù)，再利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解事件的概率.試題解析：所有可能的基本事件共有27個(gè)，如圖所示．記“3個(gè)矩形顏色都不同”為事件A，由圖，可知事件A的基本事件有2×3＝6(個(gè))，故P(A)＝＝.21、(1)；(2)（i）（ii）面積最大值為，直線的方程為.【解題分析】

（1）根據(jù)題意列出方程求解即可（2）聯(lián)立直線與圓的方程，得出P、Q、H三點(diǎn)坐標(biāo)，表示出QH直線方程，采用點(diǎn)到直線距離公式求解；利用圓的幾何關(guān)系，表示出三角形的底和高，再結(jié)合函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行求解【題目詳解】（1）由及兩點(diǎn)距離公式，有，化簡(jiǎn)整理得，．所以