滬科版八年級下第18章 勾股定理18.1 勾股定理“十校聯(lián)賽”一等獎

18．1勾股定理

——數(shù)形結(jié)合之美如圖，受臺風影響，一棵樹在離地面5米處斷裂，樹的頂部落在離樹的底部12米處，這棵樹折斷前有多高？（不解答）y=0

創(chuàng)設(shè)問題情境5米12米

如圖是一個行距、列距都是1的方格網(wǎng)，觀察圖中用彩色畫出的三個正方形，誰能告訴我這三個正方形的面積S1、S2、S3之間有怎樣的關(guān)系？用它們的邊長表示，能得到怎樣的式子？

觀察與思考：S2S1S3abc（圖中每個小方格代表一個單位面積）ACBS1+S2=S3即：a2+b2=c2S2S1S3（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖18-2S1+S2=S3，即：a2+b2=c2圖18-3ABCabcACBS2S1S3觀察左邊圖18-2、圖18-3完成下表：圖形S1S2S3關(guān)系圖18-2圖18-3991891625

觀察上表，你還能得到剛才的結(jié)論嗎？S1+S2=S3S1+S2=S3abcS1=a2S2=b2S3=c2ABCabcS1S2S3S1+S2=S3其中，關(guān)系：猜想規(guī)律：a2+b2=c2故：

直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方．

文字表述：

對于上述結(jié)論，要使人信服，必須加以證明．如何證明上述結(jié)論呢？問題情境已知：

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b．求證：

圖1a

ABCcb證明：取4個與Rt△ABC全等的直角三角形，把它們拼成邊長為（a+b）的正方形．

證明a、b、c之間的關(guān)系：a2+b2=c2aaaabbbbcccc

證明a、b、c之間的關(guān)系：a2+b2=c2

證明a、b、c之間的關(guān)系：a2+b2=c2aaaabbbbccccHGEFA1B1C1D1用面積法證明∴a2+b2+2ab

＝c2+2ab∴a2+b2=c2

證明a、b、c之間的關(guān)系：a2+b2=c2S正方形EFGH=4S直角三角形+S正方形A1B1C1D1∵S正方形EFGH=(a+b)2=a2+b2+2abaaaabbbbccccHGEFA1B1C1D1從圖中可見，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c．因為∠B1A1E+∠A1B1E=90°，而∠A1B1E=∠D1A1H，因此∠B1A1E+∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°．同理：∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°，所以四邊形A1B1C1D1是邊長為c的正方形．

勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么：

即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．a(chǎn)bc師生共識：勾股小知識

早在三千多年前，周朝數(shù)學家商高就提出“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，所以在我國人們就把這個定理叫作“商高定理”．

商高定理就是勾股定理哦！勾股

在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”．我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．因此，我們稱上述結(jié)論為勾股定理．畢達哥拉斯定理：

畢達哥拉斯

在國外，尤其在西方這個重要定理被稱為“畢達哥拉斯定理”或“百牛定理”．

相傳這個定理是公元前500多年時古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯首先發(fā)現(xiàn)的．他發(fā)現(xiàn)這個定理后異常高興，命令他的學生宰了一百頭牛來慶祝這個偉大的發(fā)現(xiàn)，因此又叫做“百牛定理”．

勾股定理的作用就是知道直角三角形中任意兩邊就可以求出第三邊．勾股定理的作用：比一比看看誰算得快！例：求下列直角三角形中未知邊的長．運用勾股定理解題時，方程思想是常用的思想方法之一．方法小結(jié)：3x5810x125x做一做=4=6=13勾股數(shù)

1．常見勾股數(shù)有：3、4、5;5、12、13;7、24、25……

2．如果a，b，c是一組勾股數(shù)，則ka、kb、kc（k為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)，如：6、8、10；9、12、15……

3．一組勾股數(shù)中必有一個數(shù)是5的倍數(shù)

勾股小知識例：如圖，受臺風影響，一棵樹在離地面5米處斷裂，樹的頂部落在離樹的底部12米處，這棵樹折斷前有多高？y=0應用知識回歸生活(x－5)米解：

設(shè)這棵樹折斷前有x米，即：解這個方程，得：故：．

結(jié)合題意，不符合實際意義，應舍去，

答：這棵樹折斷前有18米．5米12米如圖，根據(jù)勾股定理得：

迎接挑戰(zhàn)

1．已知直角三角形的兩直角邊邊長分別為5，12，你能求第三邊的長嗎？

迎接挑戰(zhàn)

2．已知直角三角形的兩條邊長分別為5，12，求第三邊的長．解：設(shè)第三邊的長為x．（1）當x為斜邊時，有（2）當x為直角邊時，有當?shù)谌叢淮_定是什么邊時，要應用分類思想來解決．方法小結(jié):1．談談這節(jié)課的收獲．課堂小結(jié)：2．

運用“勾股定理”應注意什么問題？思考題ABCD如圖，一圓柱體高為8厘米，底面圓的周長為12厘米，一只螞蟻從下底面的A點出發(fā)，沿著圓柱的曲面爬到與A相對的上底面C點處，問