高一數(shù)學2022-2023學年第二學期期末模擬卷（含答案）

2022-2023學年高一下學期期末模擬試卷

（時間：120分鐘，分值：150分，范,圍：必修二）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知復數(shù)Zl與z=4-2i在復平面內對應的點關于實軸對稱，則2=（）

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l÷3i

2.已知向量2］滿足IZl=Ijll=2,Z+I=（2j∑,l）,≡∣3α+6∣=（）

A.2√2B.√i^5C.3√2D.5

3.已知口袋內有一些大小相同的紅球、白球和黃球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率

為0.4,摸出的球是紅球或黃球的概率為0.9,則摸出的球是黃球或白球的概率為（）

A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6

4.某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如下：9189909294879396則這組數(shù)據的中

位數(shù)和平均數(shù)分別是（）

A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92

5.有一個沙漏如圖所示，由圓柱與圓錐組合而成，上下對稱，沙漏中沙子完全流下剛好填滿下半部分的

圓柱部分，已知沙漏總高度為IOCm,圓柱部分高度為2cm,則初始狀態(tài)的沙子高度〃為（）

A.3cmB.3.5cmC.4cmD.4.5cm

6.在角AβyC所對的邊分別為。也C,/Z=60。，且“BC的面積為石，若b+c=6,則。=()

A.2√6B.5C.√30D.2√7

7.平面α過正方體48Cz）-小氏。。的頂點4ɑ//平面C8/。/,αfl平面/8CO=加，α∏平面/88/=〃,

則〃八〃所成角的正弦值為（)

A百B6D.1

C.—

2233

第1頁共7頁

8.如圖1,直角梯形/8CZ）中，AB//DC,ZDCB=90?DC=BC=-AB=2,取48中點E,將A8CE沿EC

2

翻折（如圖2）,記四面體8-ECO的外接球為球O（O為球心）.P是球。上一動點，當直線4。與直線IP

所成角最大時，四面體P-XEC體積的最大值為（）

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.甲、乙兩位射擊愛好者，各射擊10次，甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,乙

的環(huán)數(shù)小到大排列為2,5,6,6,7,7,7,8.9,10.則（）

A.甲的環(huán)數(shù)的70%分位數(shù)是7B.甲的平均環(huán)數(shù)比乙的平均環(huán)數(shù)小

C.這20個數(shù)據的平均值為6.6D.若甲的方差為2.25,乙的方差為4.41,則這20個數(shù)據的方差為4.34

10.已知Z，3，工是平面上三個非零向量，下列說法正確的是（）

A.一定存在實數(shù)X,夕使得Z=x5+,成立

B.若7月=H那么一定有α?l（5-C）

c.若R二）那么+B-2∑∣

D.若〉??2）=0B”,那么?,"一定相互平行

11.如圖，在棱長為2的正方體力8CD-//8/G。中，￡尸、G、M、N均為所在棱的中點，動點尸在正方體表

面運動，則下列結論正確的有（）

B.異面直線EEGN所成角的余弦值為:

A.當點P為BC中點時，平面PE產_1平面GMN

√5

C.點E、尺G、〃、N在同一個球面上D.若4A=/和i+而-2MlX，則尸點軌跡長度為

2

第2頁共7頁

12.4支足球隊進行單循環(huán)比賽（任兩支球隊恰進行一場比賽），任兩支球隊之間勝率都是g.單循環(huán)比賽

結束，以獲勝的場次數(shù)作為該隊的成績，成績按從大到小排名次順序，成績相同則名次相同.下列結論中

正確的是（）

A.恰有四支球隊并列第一名為不可能事件

B.有可能出現(xiàn)恰有三支球隊并列第一名

c?恰有兩支球隊并列第一名的概率為!

D.只有一支球隊名列第一名的概率為1

2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.

2兀）,B=[in仁+S1）.則（鼠B）Sin（O+聿）

13.已知CoS2θ-Tj

14.eΛ□∕mlg2+lg5,log43,（?∣）一,tanl>,從這四個數(shù)中任取一個數(shù)5，使函數(shù)/（x）=/+2〃a+1有

兩不相等的實數(shù)根的概率為.

15.A∕8C中，N/8C的角平分線8。交/C于。點，若Bn=I且N/8C=7，則S“始面積的最小值為

16.如圖，直三棱柱48C-45C中，ACLBC,AC=2#,BC=4,棱柱的側棱足夠長，點尸在棱88'上,

點Cl在CC上，且LPG,則當AZPG的面積取最小值時，三棱錐尸-48C的外接球的體積為

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四、解答題：本題共6小題，共計70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)某線上零售產品公司為了解產品銷售情況，隨機抽取50名線上銷售員，分別統(tǒng)計了他們2022

年12月的銷售額(單位：萬元)，并將數(shù)據按照[12,14),[14,16)...[22,24]分成6組，制成了如圖所

示的頻率分布直方圖.

(1)根據頻率分布直方圖，估計該公司銷售員月銷售額的平均數(shù)是多少(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中間

值代表)？

(2)該公司為了挖掘銷售員的工作潛力，擬對銷售員實行沖刺目標管理，即根據已有統(tǒng)計數(shù)據，于月初確定

一個具體的銷售額沖刺目標，月底給予完成這個沖刺目標的銷售員額外的獎勵.若該公司希望恰有20%的銷

售人員能夠獲得額外獎勵，你為該公司制定的月銷售額沖刺目標值應該是多少？并說明理由.

S4

2

OS.0

Q

18.(12分)近年來，我國科技成果斐然，北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)已開通多年，北斗三號全球衛(wèi)星導

航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，共30顆衛(wèi)星組

成.北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)全球范圍定位優(yōu)于Iom,實測的導航定位精度都是2~3m,全球服務可用

性99%,亞太地區(qū)性能更優(yōu).現(xiàn)從地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星中任選兩顆進行信號分析.

(1)求恰好選擇了地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星各一顆的概率；

(2)求至少選擇了一顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的概率.

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19.（12分）如圖，在四棱錐尸-Z8CZ）中，底面力8。是梯形，ABHCD,ABLAD,AB=AD=2CD=2,

△/尸。為等邊三角形，E為棱尸B的中點.

（1）證明：CE〃平面P4D；

⑵當P8=2√Σ時，求證：平面產力。J_平面H8CD,并求點E與到平面PC。的距離.

20.(12分)己知“8C的內角/,B,C的對邊分別為α,b,c,且αcsin8=/-(ɑ-e》.

L.2

(1)求SinB;(2)求r?的最小值.

a+c

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3

21.（12分）在銳角4/8C中，設角4,B,C的對邊分別為。，b,c,且α=4,cosJ=-.

（1）若c=4,求4/8C的面積；（2）求fSh—3c的值；（3）求—/8+—NC-/8YC的取值范圍.

COSC

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22.(12分)如圖，斜三棱柱Z8C-48G中，AC=BC,。為NB的中點，A為4瓦的中點，平面N8C_L

平面/58圈.

(1)求證：直線4。//平面Bq。；

(2)設直線力4與直線BR的交點為點E,若三角形/8C是等邊三角形且邊長為2,側棱14=立，且異面

2

直線BG與互相垂直，求異面直線4。與BG所成角；

(3)若NB=2,4C=BC=√Σ,tanZ4Z8=也，在三棱柱/8。-4與弓內放置兩個半徑相等的球，使這兩個球

相切，且每個球都與三棱柱的三個側面及一個底面相切.求三棱柱∕8C-4AG的高.

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2022-2023學年高一下學期期末模擬試卷

(時間：120分鐘，分值：150分，范,圍：必修二)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知復數(shù)Zl與z=4-2i在復平面內對應的點關于實軸對稱，則2=()

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

【答案】D

【分析】根據復數(shù)對應點的對稱關系得4=4+2i,應用復數(shù)除法化簡目標式即得結果.

【詳解】由z=4-2i對應點為(4,-2點則Zl對應點為(4,2),故z∣=4+2i,

所以eL=必2=2(2+i)(l+i)=[+3i故選：D

1-11-12

2.已知向量滿足∣G∣=1,?∣=2,G+]=(2√Σ,1),K∣J∣3α+?∣=()

A.2√2B.√15C.3√2D.5

【答案】D

【分析】根據模長的坐標運算可得∣Z+?=3,分析可得￡[同向，進而可求結果.

【詳解】因為R+q=J(2jΣ)2+ι2=3,即R++B∣+B∣,

則Zl同向，所以|3工+昨3口+同=5.故選：D.

3.已知口袋內有一些大小相同的紅球、白球和黃球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率

為0.4,摸出的球是紅球或黃球的概率為0.9,則摸出的球是黃球或白球的概率為()

A.0.7B.0.5C.0.3D.0.6

【答案】A

【分析】設摸出紅球的概率為尸(4)，摸出黃球的概率是尸(8),摸出白球的概率為P(C),求出P(8)、P(C)

的值，相加即可求解.

【詳解】設摸出紅球的概率為P(N),摸出黃球的概率是尸(8),摸出白球的概率為尸(C),

所以尸(N)+P(C)=0.4,尸(N)+P(B)=0.9,且P(N)+尸(B)+P(C)=1,

所以P(C)=?-P(A)-P(B)=0.1,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.6,

所以P(5)+P(C)=0.7故選:A.

4.某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如下：9189909294879396則這組數(shù)據的中

位數(shù)和平均數(shù)分別是()

A.91.5和91.5B.91.5和92

C.91和91.5D.92和92

【答案】A

【分析】將數(shù)據按照從小到大的順序排列，根據中位數(shù)和平均數(shù)的求法直接求解即可.

【詳解】將數(shù)據按照從小到大的順序排列為：87,89,90,91,92,93,94,96,

則該組數(shù)據的中位數(shù)為9學1+絲92=91.5,

2

IZ-JPzsi87+89+90÷91÷92÷93÷94÷96,,

平ττ7均數(shù)5r為-----------------------------=91.5.故選：A.

8

5.有一個沙漏如圖所示，由圓柱與圓錐組合而成，上下對稱，沙漏中沙子完全流下剛好填滿下半部分的

圓柱部分，已知沙漏總高度為IOCm,圓柱部分高度為2cm,則初始狀態(tài)的沙子高度〃為()

A.3cmB.3.5CmC.4cmD.4.5cm

【答案】C

【分析】先根據題意求得圓錐高度飽，再利用體積相等求得初始狀態(tài)圓柱部分沙子的高度〃'，由此得解.

【詳解】如圖，設初始狀態(tài)圓柱部分沙子的高度為“，沙漏下半部分的圓柱高度為九，圓錐高度為外,上、

則Λ1=2cm,又沙漏總高度為IOCm,則為=T(Io-2%)=3cm,

所以工兀/也+πr2?〃'=加？?九，即L兀，,X3+πr??人'=Tir,X2,解得∕/=1,

33

所以初始狀態(tài)的沙子高度為%+l=4cm.故選：C.

6.在"SC中，角48,C所對的邊分別為仇c,44=60。，且“8C的面積為√J,若b+c=6,則”()

A.2√6B.5C.√30D.2√7

【答案】A

【分析】根據三角形面積可推出岳=4,利用余弦定理即可求得答案.

【詳解】由于44=60。,%(BC=*sin/=gc,故有手加=5解得bc=4,

又b+c=6,則α=√?2+c2-IbccosA=4(b+c)2-3bc=-736-12=2后,故選：A.

7.平面ɑ過正方體4BCZ‰4∕8∕GO∕的頂點4ɑ//平面C5√)/,αΓl平面∕8C0=w,α(^∣平面“⑶?/=〃，

則機、〃所成角的正弦值為()

A.BB.也C.@D.?

2233

【答案】A

【分析】利用正方體的性質，找到一個符合題設的平面ɑ即可知機，〃所成角的大小，進而求其正弦值.

【詳解】由題意，若平面a為平面/石。，滿足a〃平面C8/。/,如下圖示，

因為8月〃。。，且BBI=D2,所以BBQ。為平行四邊形，

所以BD〃BQi，AAU平面C8/。/,8。CZ平面C8√λ,所以8。//平面C8/。/,

同理可證84〃平面C8√λ,義BDnBA?=B,又8。,84U平面/田。，

所以平面AtBD//平面CBlD∣,即a//平面CB1D1.

因為a∩平面488=8。，aΓ∣平面力8為4=84,

則〃?，〃分別為8。,84,又三角形48。為等邊三角形，

所以w,〃所成角為W，故其正弦值為且.故選：A.

32

8.如圖1,直角梯形/8C。中，AB//DC,^DCB=90,DC=BC=-AB=2,取48中點E,將小CE沿EC

2

翻折（如圖2）,記四面體B-ECD的外接球為球O（O為球心）J是球O上一動點，當直線/0與直線HP

所成角最大時，四面體尸-/EC體積的最大值為（）

?4√5n4√5r4√10n4√10

A?---------o.---------Lz?-----------?-----------

515515

【答案】D

【分析】首先得到球心。在EC的中點，然后當/P與球。相切時直線NO與直線/尸所成角的最大，過P作

PHL40垂足為H,當平面4。E時四面體尸-4EC體積取得最大值，即可求出答案.

【詳解】由題意可知，A8E,A8CE均為等腰直角三角形，所以四面體8-E8的外接球的球心。在EC的

中點，

因為P是球。上的動點，若直線/。與直線/P所成角的最大，則/P與球。相切，NNPO=901此時，^PAO

最大，

因為OP=LEC=JΞ,AO而,所以sin/P?IO='?，

25

過P作/WJ.Z。垂足為H,則P在以，為圓心，PH為半徑的圓上運動.

所以當PH_L平面ADE時四面體尸-XEC的體積取得最大值.

因為/尸=20，所以=2&'好=名叵，

55

所以/的='"?SQ='X"^X'X2X2=M^,故選：D.

f^ade335215

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.甲、乙兩位射擊愛好者，各射擊10次，甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,乙

的環(huán)數(shù)小到大排列為2,5,6,6,7,7,7,8.9,10.則()

A.甲的環(huán)數(shù)的70%分位數(shù)是7

B.甲的平均環(huán)數(shù)比乙的平均環(huán)數(shù)小

C.這20個數(shù)據的平均值為6.6

D.若甲的方差為2.25,乙的方差為4.41,則這20個數(shù)據的方差為4.34

【答案】BC

【分析】根據百分位數(shù)的定義可求解A選項；根據平均數(shù)的公式可求解B、C選項；根據方差的公式可求

解D選項.

【詳解】對于A,≡W×70%=7,所以甲的環(huán)數(shù)的7。％分位數(shù)是亍=7.5,故A錯誤:

a~r-4÷5÷5÷6÷6+7÷7+8÷8÷9

對于B,Λ?=---------------------------------------=6.5

2+5+6÷6+7÷7+7÷8+9+10=6,7

10

所以晶C無，故B正確；

對于C,這20個數(shù)據的平均值文=竺星竺生M=6.6,故C正確;

對于D,這20個數(shù)據的方差為一=5卜0χ[2.25+(6.5-6.6)[+10χ[4.41+(6.7-6.6)2]}=3.34,故D錯誤.

故選：BC.

10.已知￡,B，工是平面上三個非零向量，下列說法正確的是()

A.一定存在實數(shù)X,歹使得α=法+yc成立

B.若Z?B=D,那么一定有-C)

c.若(U)M5二),那么B-N=B+124

D.若7(%)=0斗/那么kft,"一定相互平行

【答案】BC

【分析】根據平面向量基本定理，結合平面向量數(shù)量積的運算性質逐一判斷即可.

【詳解】只有當B,Z不是共線向量時，一定存在實數(shù)％,y使得Z=茄+五成立，因此選項A不正確；

由Q?B=Q?C=>Q?B-Q?C=Ona?9-c卜OnQ_L[-c),因此選項B正確；

莊l(a-c)-c)=>(α-c)?(B-C)=O=>4?B-Q?c-c?B+c-=0,

?a-bI-∣(7+6-2c∣=(a-b^一［("0)+(=-2?a?b-a?c-c?b-}-c)=0,

所以選項C正確;

當7B=∏=o時，顯然屋(小4=,Z)?成立，但是￡,h,"不一定互相平行,

故選：BC

11.如圖，在棱長為2的正方體Z8CD-4歷。D中，G、M、N均為所在棱的中點，動點P在正方體表

面運動，則下列結論正確的有()

A.當點P為BC中點時，平面PEF_L平面GMN

B.異面直線EEGN所成角的余弦值為:

C.點E、F、G、M、N在同一個球面上

D.若乖=/書+麗-2f麗，則尸點軌跡長度為日

【答案】ACD

【分析】根據正方體圖形特征證明面面垂直判斷A選項，根據異面直線所成角判斷B選項，根據五點共圓

判斷C選項，根據軌跡求出長度判斷D選項.

【詳解】取中點0,連接尸。,尸。，在棱長為2的正方體/18CD-∕∕8∕GD∕中，氏氏G、W、N均為所在棱

的中點，

易知GV，尸0,?.?/70//。。,.?.尸0_1平面/8。）,GM在面/88內，

???GMLFQ,尸。U平面尸。尸，P0u平面尸。尸，PQCFQ=Q,

GM_L平面PQF,PPU面PQF,.-.GMLPF,

連接84，/344是正方形,GNL48,

?.?E4∣1平面期4用,GNU平面而以4，.?.GNJ?4尸,

E4∣u平面PE4f,48U平面尸修5,A,B^FAy=A1,

.-.GN1平面PFA?B,PFU平面PF&B,:.GNLPF,

綜上，GNU平面GΛ√7V,GΛ∕u平面GMTV,又GMCGN=G,

所以尸產J.平面G?W,尸尸U平面尸所,故平面PEFJ.平面GMV,故A正確；

取44中點7,連接ET,尸T,ETHGN,

.?./花尸是異面直線EF,GN所成的角，

又EF=FT=ET=a,則/TEF=-,cosZTEF=-,故B錯誤；

記正方體的中心為點O,則IoEl=IoFI=IoGl=?OM?=IoM=√2,

故點E,F,G,/,N在以。為球心，以0為半徑的球面上，故C正確；

?/AiP=tAiA+A[M-2tAxB^E是4力的中點，

/.47-4M=2tA^E-2z4X,故加=2/反反

.?.p點軌跡是過點M與8E平行的線段MP',且ICPI=g,

.?.?MP'?=~-,故D正確.故選：ACD.

12.4支足球隊進行單循環(huán)比賽（任兩支球隊恰進行一場比賽），任兩支球隊之間勝率都是g.單循環(huán)比賽

結束，以獲勝的場次數(shù)作為該隊的成績，成績按從大到小排名次順序，成績相同則名次相同.下列結論中

正確的是（）

A.恰有四支球隊并列第一名為不可能事件B.有可能出現(xiàn)恰有三支球隊并列第一名

C.恰有兩支球隊并列第一名的概率為:D.只有一支球隊名列第一名的概率為:

【答案】ABD

【分析】4支足球隊進行單循環(huán)比賽總的比賽共有C：=6場比賽，比賽的所有結果共有2'=64種；

選項A,這6場比賽中不滿足4支球隊得分相同的的情況；

選項B,舉特例說明即可；

選項C,在6場比賽中，從中選2支球隊并列第一名有C：=6種可能，再分類計數(shù)相互獲勝的可能數(shù)，最

后由古典概型計算概率；

選項D,只有一支球隊名列第一名，則該球隊應贏了其他三支球隊，由古典概型問題計算即可.

【詳解】4支足球隊進行單循環(huán)比賽總的比賽共有C”6場比賽，比賽的所有結果共有26=64種；

選項4這6場比賽中若4支球隊優(yōu)先各贏一場，則還有2場必然有2支或1支隊伍獲勝，那么所得分值

不可能都一樣，故是不可能事件，正確；

選項8,其中(α,b),(b,c),(c,(4,6)6場比賽中，依次獲勝的可以是瓦c,0,c,6,此時3隊

都獲得2分，并列第一名，正確；

選項C,在伍1),僅，0，(。,"),(44),(。,。),(4,36場比賽中，從中選2支球隊并列第一名有仁=6種可能，

若選中α,b,其中第一類。贏6,有q,b,c,d,α力和α也",c,α力兩種情況，同理第二類6贏α,也有兩種，故

恰有兩支球隊并列第一名的概率為6x詈4==a，錯誤；

648

選項。，從4支球隊中選一支為第一名有4種可能：這一支球隊比賽的3場應都贏，則另外3場的可能有

Q1

23=8種，故只有一支球隊名列第一名的概率為三x4=：,正確.

642

故選：ABD

【點睛】本題考查利用計數(shù)原理解決實際問題的概率問題，還考查了事件成立與否的判定，屬于較難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.

13.已知COS(26己=3《+5")，B=卜in(g+Sl)則伍/)sin(e+]=.

【答案】I

【分析】利用向量的數(shù)量積公式結合二倍角的正弦、余弦公式求解即可.

【詳解】S^cos∣20-yU2cosp-^∣-l=2cos2

N6+卦1=2Sina+^1=T

6

3

(f,tanl

14.已知me〈lg2+lg5,lo&3,|從這四個數(shù)中任取一個數(shù)加，使函數(shù)/(x)=χ2+2,nx+1有兩不

相等的實數(shù)根的概率為.

【答案】?

2

【分析】由對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的單調性結合概率公式求解即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=χ2+2mx+l有兩不相等的實數(shù)根，則4機2-4>0，解得/“<-1或/>1.

Ig2+lg5=lglθ=l,0=log4l<log43<log44=l,(L)'>6)=].

ITTrIr

因為一<1<—，所以tan1〉tan—=1.

424

21

即從這四個數(shù)中任取一個數(shù)加，使函數(shù)Ax)=/+2〃a+1有兩不相等的實數(shù)根的概率為尸=A=K

故答案為：?-

2TT

15.春BC中，//8C的角平分線BO交/C于。點，BD=IS-ZABC=-,則S面積的最小值為

【答案】√3

【分析】由S"Bc=S.?,+Kc?w>,結合三角形面積公式證明∕8+8C=N8?8C,根據基本不等式證明

AB?BC≥4,由此求出S“BC面積的最小值.

【詳解】因為N/8C=m，8。為N/8C的角平分線，

所以N∕8D=NCBD=巴，又BD=I,

3

故由三角形面積公式可得SIBI)=-ABBD-SinΛABD=-AB,

S=-BC-BDsinZCBD=-BC,

△rCsBoD24

S,=-ABBC-sinAABC=-ABBC，

δabbcc24

又SAABC=S.A8D+S?CBD,

所以月8+8C=N8?8C,

由基本不等式可得AB+BC≥2y∕ABBC，當且僅當/8=8C時等號成立,

所以N8?8C≥4,

所以SmBC=*ABBC≥道,當且僅當/8=BC=2時等號成立，

所以SMBC面積的最小值為石.故答案為：√3?

【點睛】知識點點睛：本題主要考查三角形面積公式和基本不等式，具有一定的綜合性，問題解決的關鍵

在于結合圖形建立等量關系，結合三角形面積公式確定邊的關系，屬于較難題.

16.如圖，直三棱柱45C-H"U中，ACLBC,AC=2?BC=4,棱柱的側棱足夠長，點P在棱88'上,

點G在CC'上，且P/?LPG,則當△4尸G的面積取最小值時，三棱錐尸-/8C的外接球的體積為

【答案】20√L5π

【分析】取/P的中點。，連接CO,O8,證得/C_L平面BCCR，得到再證得尸4，平面/CP,

22

得到PClPC,設PB=x,CG=h,求得C產=16+/,ClP=16+(A-x),得到∕j-χ=g,得到

S"∕=gJ(36+χ2)(i6+/)，結合基本不等式，求得P8=2指時，A/PG的面積取最小值，進而得到。

為三棱錐尸-NBC的外接球的球心，求得球的半徑，利用球的體積公式，即可求解.

【詳解】如圖所示，取XP的中點為O,連接C0,08,

因為三棱柱ABC-A'B'C'為直棱柱，所以CC11平面ABC,

因為/Cu平面力8C,所以CCJXC,

又因為C8L4C且CC∣c8C=C,。6，8。匚平面8。。'8'，所以ZCL平面8CC%'，

因為WU平面5CC%',所以NCLCF,

又因為PZLPG且ZCCPZ=N,4C,P4u平面4CP,所以PGJ■平面尸，

因為CPU平面4CP,所以尸GJ_PC,

22

設尸8=x,CC1=A,在直角APCB中，CP=16+X,同理C尸=16+(〃-x)-,

所以r=32+/+(/LX)2,整理得到〃一X=T，

又由SMCr=936+4√16+0-x)2=^36+X2)(16+1∣?

=2J2θ8+4,d+*6?T208+2^2然“*=2C,

當且僅當X=2幾時等號成立，即必=2#時，A/PG的面積取最小值，

因為NC，平面5CC%'，CPU平面BCC’8'，所以4CJ.CP,所以CU=OP=OC,

又因為AP/8為直角三角形，故OP=OB,所以。為三棱錐尸-48C的外接球的球心,

設外接球的半徑為R,可得外接球的直徑為2R=后Μ=2√B.

所以外接球的體積為-=gπ*=g兀χ(√fi)'=20而π.

四、解答題：本題共.6小題，共計70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)某線上零售產品公司為了解產品銷售情況，隨機抽取50名線上銷售員，分別統(tǒng)計了他們2022

年12月的銷售額(單位：萬元)，并將數(shù)據按照[12,14),[14,16)...[22,24]分成6組，制成了如圖所

示的頻率分布直方圖.

0.124

0.

0.1Q0

(1)根據頻率分布直方圖，估計該公司銷售員月銷售額的平均數(shù)是多少(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中間

值代表)？

(2)該公司為了挖掘銷售員的工作潛力，擬對銷售員實行沖刺目標管理，即根據已有統(tǒng)計數(shù)據，于月初確定

一個具體的銷售額沖刺目標，月底給予完成這個沖刺目標的銷售員額外的獎勵.若該公司希望恰有20%的銷

售人員能夠獲得額外獎勵，你為該公司制定的月銷售額沖刺目標值應該是多少？并說明理由.

【答案】(1)18.32(萬元)(2)20.8萬元，理由見解析

【分析】(1)根據概率和為1算出〃的值，再根據頻率分布直方圖即可計算結果；

(2)根據頻率分布直方圖即可求解.

【詳解】(1)根據頻率分布直方圖可得：(0.03+α+0.12+0.14+0.1+0.04)×2=1,解得α=0.07,

.?.該公司銷售員月銷售額的平均數(shù)為：

x=13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2=18.32(萬元)；

(2)設該公司制定的月銷售額沖刺目標值應該是X,

則根據頻率分布直方圖可得:(22-χ)×0.1+0.08=0.2,解得x=20.8,

該公司制定的月銷售額沖刺目標值應該是20.8萬元.

18.(12分)近年來，我國科技成果斐然，北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)已開通多年，北斗三號全球衛(wèi)星導

航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，共30顆衛(wèi)星組

成.北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)全球范圍定位優(yōu)于Iom,實測的導航定位精度都是2~3m,全球服務可用

性99%,亞太地區(qū)性能更優(yōu).現(xiàn)從地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星中任選兩顆進行信號分析.

(1)求恰好選擇了地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星各一顆的概率；

(2)求至少選擇了一顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的概率.

34

【答案】⑴W(2)-

【分析】(1)首先分別給地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星編號，列舉所有可能的情況，以及滿

足條件的方法種數(shù)，利用古典概型，即可求解；

(2)根據(1)列舉的結果，利用古典概型，即可求解.

【詳解】(1)記地球靜止軌道衛(wèi)星為：1,2,3,記傾斜地球同步軌道衛(wèi)星為0,6,c,則所有的選擇為：

(1,2),(1,3)CLC)[2,9(2,@(2,?(2?(3,0(3/(3,(α,Z>),(a,c),(?c)

記恰好選擇了地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星各一顆為事件A,則A包含

(IM),(11),(LC),(2M),(2/),(2,CM3,α),(3力),(3,c),所以P(R)=?∣;

(2)記至少選擇一顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星為事件B,

則B包含(1㈤,(l,9,(l,c),(2,αM2,6),(2,c(3,α),(3,6),(3,c),(α,6),(α,c),(b,c).

174

所以P(B)=Ji=丁

19.(12分)如圖，在四棱錐P-48C0中，底面ZBC。是梯形，ABHCD,ABVAD,AB=AD=2CD=2,

△/PD為等邊三角形，E為棱PS的中點.

P

（1）證明：CE//平面P4D；

⑵當P8=2√Σ時，求證：平面尸/。，平面/88,并求點E與到平面PCO的距離.

【答案】（1）證明見解析：（2）證明見解析，距離為正

2

【分析】（1）利用線面平行判定定理即可證得CE〃平面4。；

（2）利用面面垂直判定定理即可證得平面尸ND，平面/88；利用三棱錐等體積法即可求得點E與到平

面PC。的距離.

【詳解】（1）取線段4的中點尸,連接即、FD,

貝IJEF為JAB的中位線,.?.E/〃1/8,M=LNB

22

由題知C?！↙Z民CO=L/8,

22

.?.EFHCD,EF=CD,；.四邊形CEFD為平行四邊形.

.?.CE//DF

又：。尸U平面尸∕D,CE（Z平面P4。，

C￡7/平面尸力。

（2）在AP/8中，VAB=PA=2,PB=2√2,ΛABlPA.

又；4BL4D,4DcP4=4,4。,尸/u平面尸4。

AB1平面PAD,ABU平面ABCD,

.?.平面PAD1平面NBCD,

IE為PB的中點,

.?.E到平面PCD的距離等于點B到平面Pa）的距離的一半.

?.?AB1平面PAD,.?.CD1平面PAD：.CDlPD.

?,?SaPCD=1x2=LSttBCD=5X1x2=1

取/。中點0,連接尸。，又AP/。為等邊三角形，

則Po>O,PO=√L

：平面4O_L平面/8C。，PO工平面/8CD,

設點B到平面PCD的距離為h.

由^P-BCD=VB-PCD'^∣×1×√3=∣×1?A,解得∕l=G

.?.點E到平面PCD的距離為B

2

20.(12分)已知AJ8C的內角N,B,C的對邊分別為α,b,c,且“csinB=〃-(ɑ-e)?.

b2

(1)求SinB;(2)求的最小值.

a+c

42

【答案】(I)Sin8=1(2)《

【分析】(1)由題意和余弦定理可得cos8=l-[sin8,結合sit√B+cos2B=I計算即可求解；

2

Q6A2

(2)由(1)可得CoSB=3,則〃=。2+才一？。。，代入FJ,結合基本不等式計算即可求解.

55a+c

【詳解】(1)由余弦定理知b?=a?+H-2αccos5,

所以αcsin8=b2-(a-c)2=-2accosB+2ac,

由QCWO,得sin8+2cosB=2,即COSB=I-?sinB,

又因為siι√B+cos2B=l,所以$出28+(1-；§抽8)2=1,

即Ssin?5—4sin3=0,在BC中,SinB>0,

4

所以sin8=1.

41143

(2)由(1)知SinB=—,則cosB=T—sinB=I----X—=—,

52255

^b2=a2+c2--ac,

5

22e6

,2a+c—ac久-ac?

所lζr以mJ,=__,,5=?,g&≥>ι=2,

a2+c2a2+c15a2+c22ac5

當且僅當。=C時等號成立.

2

所以義A二的最小值為2

a+c5

3

21.(12分)在銳角448C中，設角4,B,C的對邊分別為α,b,c,且α=4,cosA=~.

(1)若c=4,求4/8C的面積；

(2)求生Ul的值；

COSC

⑶求AB+AC-ABAC的取值范圍.

【答案】(l)^(2)20(3)[-4,2√13-9)

【分析】(1)利用余弦定理和面積公式進行求解：(2)由正弦定理和三角恒等變換求解；(3)解法一：設

BC中點為D,推導出M+就-標?就=-卜?！?2卜。卜4,在三角形NOO中，利用余弦定理，正弦定

理和函數(shù)單調性求出ND的取值范圍，從而求出/8+/C-/8ZC的取值范圍；解法二：由余弦定理和數(shù)

量積運算法則求出I方+就卜石?K=~bc,換元后利用三角恒等變換得到6ce(15,20],求

出答案.

【詳解】(1)由余弦定理cos4="十'?-a?=2=3=/,=竺

Ibc855

411244192

結合Sin4=—可知，4ABC的面積S=—ftcsinA=-×—×4×-=——

5225525

4

(2)因為α=4,sinJ=-,所以一a:=5,

5sm4

由正弦定理6=5SinB,c=5sinC

c."5b-3c25sinβ-15sinC

所以一一①

由于SinB=Sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC=—cosC+-sinC,

-Hi-?z-?-u-5b-3c(20cosC÷15sinC)-15sinC“

帶入①式可rλ知：-----??------------------------L------------=20

cosCcosC

(3)解法1：

設BC中點為。，則/3+4。=24。=249

,)=(而+町加-叫___