高二數(shù)學(xué)下冊（必修三）導(dǎo)數(shù) 單元測試卷及答案解析

高二數(shù)學(xué)下冊（必修三）導(dǎo)數(shù)單元測試卷及答案解析

一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.5（分）函數(shù)f（%）在％=4處的切線方程為、=3*+5,則/'（4）+f'（4）=（）

A.10B.20C.30D.40

2.（5分）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)八%）=/+。%2+（。一2）》的導(dǎo)函數(shù)是「'。），且/'（%）是偶函

數(shù)，則曲線y=f（x）在原點處的切線方程為（）

A.y=—2xB.y=3x

C.y=—3xD.y=—4x

3.（5分）若函數(shù)/'（%）=/+]nx的圖像在處的切線與直線2x+6y—5=0垂直，貝Ua

的值為（）

A.1B.2或工C,2D.1或工

42

4.（5分）已知函數(shù)/（x）={&ln（x+1）,-%2+-,%>-,且關(guān)于％的方程f（%）—kx=

444

0恰有2個實數(shù)解，則實數(shù)Z的取值范圍是（）

A.[1身B.生+8）

C.卜D./ln[,l]u]],+8）

5.（5分）曲線y=：%3在％=1處切線的傾斜角為（）

A.1B.--C.-D.—

444

6.（5分）若曲線/（%）=——4x在點/處的切線平行于K軸，則點4的坐標(biāo)為（）

A.（-1,2）B.（1,-3）C.（1,0）D.（1,5）

7.（5分）曲線f（x）=蜻也%在％=1處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）

A.-B.-C.eD.2e

42

8.（5分）曲線f（x）=/+3x在點火1,4）處的切線斜率為（）

A.2B.5C.6D.11

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）下列命題中是真命題有0

A,若f'(x0)=0,則的是函數(shù)f(x)的極值點

B.函數(shù)y=f(%)的切線與函數(shù)可以有兩個公共點

C.函數(shù)y=f(%)在％=1處的切線方程為2%—y=0,則f(1)=2

D.若函數(shù)f(%)的導(dǎo)數(shù),(》)<1,且f(l)=2,則不等式f(%)>x+l的解集是(一8,1)

10.(5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)圖象在這兩點處的切線互相垂直，則

稱函數(shù)y=f(%)具有“7性質(zhì)”.則下列函數(shù)中具有"T性質(zhì)”的是()

A.y=萬%B.y=cosx+1C.y=1D.y=In210g2%

11.(5分)已知函數(shù)f(x)=x+/圖象上的一條切線與g(%)=%的圖象交于點M,與直線％=0

交于點N,則下列結(jié)論不正確的有()

A.函數(shù)f(%)的最小值為2夜

B.函數(shù)的值域為(一8,-2遮］

C.|MN|2的最小值為16—8企

D.函數(shù)f(x)圖象上任一點的切線傾斜角的所在范圍為［0,：］

2.、

/(x)=-xi-x3+ax-\

12.(5分)已知曲線.3上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點的橫坐

標(biāo)都大于零，則實數(shù)a可能的取值()

A.-B.3C.-D.-

632

13.(5分)設(shè)函數(shù)則下列選項中正確的是()

A.f(x)為奇函數(shù)

B.函數(shù)y=f(x)—1有兩個零點

C.函數(shù)y=f(x)+f(2x)的圖象關(guān)于點(0,2)對稱

D.過原點與函數(shù)f(x)相切的直線有且只有一條

三、填空題(本大題共5小題，共25分)

14.(5分)已知傾斜角為45°的直線2與曲線y=lnx-：+l相切，則直線2的方程是

15.(5分)已知曲線C：y=%3-3x2+2x,直線，過(0,0)與曲線C相切，則直線2的方程是

1一2",%》0

16.(5分)函數(shù)/(%)=乜▽24.2vv/n，函數(shù)g(%)=ZQ-2),若方程f(x)=g(x)恰有三個

鼻人I乙X,人U

實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為

17.(5分)函數(shù)7'conV5m,則函數(shù)/?(%)在％=2處切線的斜率為_____.

18.(5分)某物體作直線運動，其位移S與時間t的運動規(guī)律為S=t+2乃(t的單位為秒，S的

單位為米)，則它在第4秒末的瞬時速度應(yīng)該為米/秒.

四、解答題(本大題共5小題，共60分)

19.(12分)已知函數(shù)f(%)=/+%—16.

(1)求曲線y=/(%)在點(2,—6)處的切線方程；

(2)直線Z為曲線y=f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線/的方程及切點坐標(biāo).

20.(12分)在拋物線C：y=a/(a>0)上取兩點i4(mi，zii),B0n2，n2)，且機2-機i=4,過

點48分別作拋物線C的切線，兩切線交于點P(l,-3).

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)直線［交拋物線C于M,N兩點，記直線OM,ON(其中。為坐標(biāo)原點)的斜率分別為

k°M，k°N,且k()M,koN=—2,若AOMN的面積為2百，求直線2的方程.

21.(12分)已知函數(shù)/'(%)=(久+a)lnx,g(x)=/.已知曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線

與直線2x—y=0平行.

(1)求a的值；

(2)證明:方程/(無)=g(%)在(1,2)內(nèi)有且只有一個實根.

22.(12分)設(shè)/'(%)=ae》+去+b(a>0)

(/)設(shè)曲線y=f。)在點(2,f(2))的切線方程為y=|x；求a,b的值.

(H)求/(%)在［0,+8)上的最小值.

23.(12分)已知曲線y=g%3+%

(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；

(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程；

(3)求斜率為4的曲線的切線方程.

參考答案與解析

1.【答案】B；

【解析】解：?.,函數(shù)f(%)在％=4處的切線方程為y=3x+5,

???/z(4)=3,又f(4)=3x4+5=17,

f(4)+/(4)=17+3=20.

故選：B.

由已知可得(4),在切線方程中取x=4求得f(4),則答案可求.

此題主要考查對數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A:

【解析】

此題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的奇偶性，直線的點斜式方程，屬于基礎(chǔ)題.

求導(dǎo)函數(shù)7''(%),由7''(%)是偶函數(shù)求出a的值，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.

解：由/'(%)=/+&/+(a-2)%,得，/z(x)=3x2+2ax+(a-2),

又f'(%)是偶函數(shù)，.?.2a=0,即a=0,

二U(%)=3x2—2,

曲線y=/(%)在原點處的切線斜率為一2,

曲線y=f(%)在原點處的切線方程為y=-2x,

故選4

3.【答案】D；

【解析】解：函數(shù)f(x)=x2+Inx的導(dǎo)數(shù)為/''(%)=2x+3

在(a,f(a))處的切線的斜率為2a+，

由切線與直線2x+6y-5=0垂直，

可得—g(2a+》=-1，

解得a=1或

故選：0.

求得f。)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，再由兩直線垂直的條件，解方程可得

所求值.

此題主要考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，以及兩直線垂直的條件，考查方程思想和運算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C；

【解析】

此題主要考查了方程的根與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系應(yīng)用及學(xué)生的作圖能力，同時考查了導(dǎo)數(shù)

的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題.

方程f(x)=kx恰有兩個不同實數(shù)根，等價于y=/(%)與丁=kx有2個交點，又k表示直線丫=

kx的斜率，求出k的取值范圍.

解：畫出函數(shù)f(%)圖象,

可求得函數(shù)f(%)=ln(x4-1)(-1<x<?圖象在點。(0,0)處的切線方程為y=x,

過點。(0,0)且與函數(shù)/1(%)=/+[(%>圖象相切的直線方程也為y=x,

即得直線y=%為函數(shù)f(x)圖象的切線，且有兩個切點，切點為。(0,0)和46彳)，

關(guān)于X的方程f(%)-kx=0恰有2個實數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)直線y=kx函數(shù)/"(久)圖象有兩個公共點，

由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)/COB時符合題意，又3=1,/COB=^r^=41n|,則求得

4

41n-<fc<1.

4

故選c.

5.【答案】C；

【解析】解：?.?y=-x3,

??.y/=2X,

設(shè)曲線y=1%3在％=1處切線的傾斜角為a,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率k=y'|x=i=#=l=tana,

a=：,即傾斜角為；.

44

故選C.

欲求在％=1處的切線傾斜角，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知k=y'|-1，再結(jié)合正切函數(shù)的值

求出角a的值即可.

該題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用正切函數(shù)的性質(zhì)可求傾斜角，本題屬于容易題.

6.【答案】B；

【解析】解：f(x)=x4-4x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=4x3-4,

設(shè)切點為A(m,n),則n=m4—4m,

可得切線的斜率為k=4m3—4=0,

解得m=1,71=—3.即4(1,—3).

故選：B.

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點/(科力，代入函數(shù)式，求得切線的斜率，令它為0,解得m,n,

進而得到切點4的坐標(biāo).

該題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切點和正確求導(dǎo)是解答該

題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B；

【解析】

此題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題，先求出曲線f(x)=exinX在

x=1處的切線方程，再其求與坐標(biāo)軸的交點即可求得三角形面積；

解：/，(%)=ex\nx+y,則/'⑴=e,/(I)=0,

.,.曲線/(%)=e"lnx在x=1處的切線方程為y=e(x—1),

令％=0,得y=—e,令y=0,得x=1,

???切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S=jxex1=*

故選B.

8.【答案】B；

【解析】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'(%)=2x+3,

所以函數(shù)在A(l,4)處的切線斜率k=f'(1)=2+3=5.

故選：B.

求曲線在點處得切線的斜率，就是求曲線在該點處得導(dǎo)數(shù)值.

該題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指函數(shù)y=f(%)在點與處的導(dǎo)數(shù)是曲線y=

f(x)在點PQo，yo)處的切線的斜率.它把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與曲線的切線聯(lián)系在一起，使導(dǎo)數(shù)成為

函數(shù)知識與解析幾何知識交匯的一個重要載體.

9.【答案】BCD；

【解析】

此題主要考查極值的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求解

不等式，屬于中檔題.

由題意結(jié)合知識點，逐個選項分析即可.

解：選項A,若f(%0)=0,&不一定是函數(shù)f(%)的極值點，例如函數(shù)/

f'(0)=0,但％=0不是極值點，故錯誤；

選項B,函數(shù)y=f(%)的切線與函數(shù)可以有兩個公共點，例如函數(shù)f(x)=/一3%,在％=1處

的切線為y=-2與函數(shù)還有一個公共點為(一2,-2),故正確；

選項C,因為函數(shù)y=f(%)在％=1處的切線方程為2%-y=0,所以/(1)=2,故正確.

選項0,令g(x)=f(x)-x-1,

因為函數(shù)。(%)的導(dǎo)數(shù)f(%)<1,則g(%)=/(%)-1<0,

所以函數(shù)g(x)=/(x)-x-1在R上單調(diào)遞減，又g(l)=/(I)-2=0,

由不等式/'(%)>%+1得g(x)>0=g(l),得x1,

所以不等式f的解集是(一8,1),故正確.

故選BCD.

10.【答案】AB；

【解析】解：由題意，可知若函數(shù)y=/(%)具有“T性質(zhì)”，則存在兩點，

使得函數(shù)在這兩點處的導(dǎo)數(shù)值的乘積為一1,

對于人+'=詈，滿足條件；

對于B,(cosx+1)7=—sinx,滿足條件；

對于C,(點"=一,<0恒成立，負數(shù)乘以負數(shù)不可能得到一1,不滿足條件；

對于D,(In210g2%)'=也2.*=；>0恒成立，正數(shù)乘以正數(shù)不可能得到—1,不滿足條件.

故選：AB.

分別求出四個選項中函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，看是否滿足存在兩點，使得函數(shù)在這兩點處的導(dǎo)數(shù)值的

乘積為一1即可.

此題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)

函數(shù)，是中檔題.

1L【答案】ABD；

【解析】

此題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算和幾何意義以及基本不等式求最值，屬于中檔題.

由題意和導(dǎo)數(shù)的運算結(jié)合基本不等式，逐個選項驗證正誤即可.

解：已知/(%)=%+4，當(dāng)％>0時，/(%)=x+>2V2,當(dāng)％<0時，=%+

-2V2,故選項A、B不正確；

設(shè)直線嶼函數(shù)f(x)的圖象相切于點(均等)，函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為U(%)=1—胃=寧,

則直線2的方程為y—殛x土0底=過xo*(%-%o),即y=x。x-o,x+型xo,直線/與g(x)=%的交點為

”(2沏,2%0),與x=0的交點為N(0,2)，

XQ

所以|MN|2=4密+(2%0--)2=8就+指一8a>16-8V2,當(dāng)且僅當(dāng)胞=1時取等號，

%0%。

故選項C正確；

f'(%)=1—￥=與箸《1,可知切線斜率可為負值，即傾斜角可以為鈍角，故選項。不正

確.

故選ABD.

12.【答案】AC；

【解析】

此題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和二次方程的實根的分布，考查運算能力，屬于中檔題.

求出導(dǎo)數(shù)，由題意可得27-2x+a=3有兩個不相等的正根，由此列出不等式組即可得到a

的取值范圍，進而可得a的可能取值.

解：/(%)=|%3—%2+ax—1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x2—2x+a,

由題意可得2——2x+a=3有兩個不相等的正根，

A=28-8a>07

則｛a-3)0,解得3<a<5，

2

故選：AC.

13.【答案】BCD；

【解析】解：函數(shù)f(x)=上詈1的定義域為｛x|%HO｝,

八一x)+f(%)=l—號+1—第1=2。0,所以f(%)不為奇函數(shù)，故A錯誤；

由f(%)=1，可得￥=0,解得％=±1,故y=f(%)-1有兩個零點，故B正確；

由f(T)+f(-2x)+/(x)+f(2x)=[/?(-%)+/(%)]+[/(-2x)+/(2x)]=2+2=4,

則函數(shù)y=f(x)+f(2x)的圖象關(guān)于點(0,2)對稱，故C正確;

當(dāng)%>。時，/-(%)=1-/■'(為二一等，

設(shè)過原點與/'(%)相切的切點為(zn,幾)，則切線的方程為y-n=(%-m),

即y—]+詈=(久一m),代入(0,0),可得l+7n=21nm,

設(shè)g(7n)=21rnn—1—zn,g7(m)=-1,當(dāng)0Cm<2時，g(7n)遞增，TH>2時，g(7n)遞

減，

則g(zn)的最大值為g(2)=21n2-3<0,所以%>0時，不存在過原點的切線；

當(dāng)％<0時，/(%)=1-J^,//(X)=

設(shè)過原點與f(x)相切的切點為(s,t)(s<0),則切線的方程為y-t=也號」(％-s),

即y-1+四三=蛆善二—s),代入(0,0),可得1+s=2In(-s),

設(shè)g(s)=21n(-s)-1-s,gz(m)=|-1<0,所以g(s)遞減，

則g(s)只有一個零點，所以久<0時，只存在一條過原點的切線.

綜上可得存在一條過原點的切線，故0正確.

故選：BCD.

由函數(shù)的奇偶性和零點、對稱性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得結(jié)論.

此題主要考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔

題.

14.【答案】x-y+ln2-2=0；

【解析】

由直線的傾斜角求得直線的斜率，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)值為1求解切點坐標(biāo)，再由

直線方程的點斜式得答案.

此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵,

是基礎(chǔ)題.

解：直線的傾斜角為45°,則直線的斜率為tan45°=1,

由y=lnx-2+],得y，=%+三，

JXXX2

由y=1+號=1,解得％=—1(舍去)或x=2.

???切點坐標(biāo)為(2,ln2),則直線/的方程為y-ln2=1x(x-2),

即x—y+ln2-2=0.

故答案為：x-y+ln2—2=0.

15.【答案】y=-%或y=或y=2x；

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合直線關(guān)系即可得到結(jié)論.

這道題主要考查函數(shù)的切線的求解，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵.注意要進

行分類討論.

解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為/'(%)=3%2-6x+2,

設(shè)切點為(見瓦)，

則k=f(a)=3a2—6a+2,b=a3-3a2+2a,

則切線的方程y—b=(3a2—6a+2)(%—a),

即y=(3a2—6a+2)x—2a3+9a2—4a,

??,直線/過點(0,0),

???-2a3+9a2-4a=0,

即2a3—9a2+4a=0,

則—4)(2a-1)=0,

解得a=0或a=4或a=

當(dāng)a=1時，對應(yīng)的直線方程為y=—%,

當(dāng)。=:時，對應(yīng)的直線方程為y=—[%,

當(dāng)a=0時，對應(yīng)的直線方程為y=2x,

故答案為：y=-％或y=或y=2x

16.【答案】(0,4?28)

【解析】

此題主要考查函數(shù)的零點與方程的根之間的關(guān)系，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解切線方程，考查數(shù)形結(jié)合

以及計算能力，是難題.

1—2x,x>0

畫f(x)=乜"24.v/n，的圖象，結(jié)合直線g(x)=%(%—2)過定點(2,0),函數(shù)9(%)的圖象

與+2x,%<0的圖象相切時，函數(shù)f(x),g(x)的圖象恰有兩個交點.設(shè)切點為

P(%o，yo)，由!□(%)=%+2,%<0,求出切線的斜率，利用函數(shù)的圖象的交點個數(shù)與函數(shù)的

零點個數(shù)，推出k的范圍即可.

因為直線g(%)=k(x-2)過定點(2,0),

由圖象可知，當(dāng)函數(shù)g。)的圖象與/+2x,x<0的圖象相切時,

函數(shù)f(x),g(x)的圖象恰有兩個交點.

下面利用導(dǎo)數(shù)法求該切線的斜率.

設(shè)切點為P(xo，yo)，由￡口(%)=%+2,x<0,

z

則k=f(x0)=%o+2=2“；+：°’

解得%0=2+2百(舍去)或%o=2-2V3,則k=4一2^3,

要使方程f(x)=g(%)恰有三個實數(shù)解，

則函數(shù)f(x),g(x)的圖象恰有三個交點，

結(jié)合圖象可的實數(shù)k的取值范圍為(0,4-2百)，

故答案為(0,4-2b).

17.【答案】|；

【解析】解：由/(%)=辰不I,得f'(x)=2(4x+1)」,

所以函數(shù)f(%)在％=2處切線的斜率k=/(2)=李

故答案為：

對f(x)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到f。)在％=2處的切線斜率.

此題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.

18.【答案】|；

【解析】解：S=t+2\ft,

「?s'=1+t，

???它在4秒末的瞬時速度為1+專=小

故答案為：

物理中的瞬時速度常用導(dǎo)數(shù)來求，故求出S的導(dǎo)數(shù)，代入4求值.

該題考查變化的快慢與變化率，解答本題關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的物理意義，由此轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)數(shù)的

問題.

19.【答案】解：(1)v/z(x)=(x34-%-16)z=3x2+1,

???在點(2,—6)處的切線的斜率/c=f'(2)=3X22+1=13,

???切線的方程為y=13x—32.

(2)設(shè)切點為(出,yo),則直線/的斜率為f'(與)=3以+1,

二直線I的方程為y=(3%o+1)(%-%o)+XQ+x0-16.

又直線］過點(0,0)，二0=(3%o+1)(-%0)+XQ+%0-16,

3

整理，得以=-8,x0=-2,y0=(-2)+(—2)—16=—26,直線/的斜率k=3X

(-2)2+1=13,

.??直線/的方程為y=13x,切點坐標(biāo)為(-2,-26).；

【解析】

(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出函數(shù)在(2,—6)處的導(dǎo)數(shù)即斜率，易求切線方程.

(2)設(shè)切點為(%o，y。)，則直線，的斜率為f'(%o)=3瞪+1,從而求得直線/的方程，有條件直

線1過原點可求解切點坐標(biāo)，進而可得直線1的方程.

此題主要考查直線的點斜式方程，屬基礎(chǔ)題型，較為簡單.

20.【答案】解：(1)由丫=a%2(a>0)得y'=2ax(a>0),

則曲線在點A處的切線斜率為2ami，

曲線在點A處的切線方程為y-am^=2amx(x-mx),

曲線在點A處的切線過點P(l,—3),

故am/_2am1—3=0①，

22

同理可得曲線y=ax(a>0)在點B處的切線方程為y—am2=2am2(x-m2),

???ami2_2ami-3=0②，

①一②得根1+機2=2,

m2—mx=4,

m2—m1=4,

--m1=—l,m2=3,

將加1=一1代入①，可得a=l,

故拋物線方程為/=y;

(2)由題意知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=kx+b,與拋物線C的交點為

22

M(X1,X1),/V(X2,X2),

聯(lián)立得#%2-kx-b=0,

(=y

%i+x2=k,x1.x2=-b,

??^OM-k°N==-2，

Xlx2

可得b=2,

???直線2經(jīng)過點(0,2),

=

SA=|x|OP|xI%1—x2l2-73,

???|xj_-x2\=2V3,

k2=4,

:.k=+2,

經(jīng)檢驗k=±2,b=2符合題意，

二直線［的方程為y=2x+2或y=2x—2.；

【解析】

此題主要考查了直線與拋物線涉及到利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、拋物線的幾何性質(zhì)、直線

方程的求法等知識，綜合性較強.

(1)利用導(dǎo)數(shù)，可以求出曲線在點4B處的切線斜率為2ami，2am2,從而求出切線方程，得

到關(guān)于7711,7712的關(guān)系式，可以求出血的值，從而求出切線方程；

(2)設(shè)直線[的方程為y=kx+b,與拋物線C的交點為M(XI，%I2),N(%2，%22),聯(lián)立得

『/心；"，得+%2==—仇求出b=2,根據(jù)題意列方程求出k的值，從而求出

直線方程.

21.【答案】(本題滿分為12分)

解：(1)/'(%)=]nx+E+1，

由題意知，曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為2,

則f(1)=2,

所以a+l=2,解得a=l.…(4分)

y2

(2)令￡7(%)=f(%)—g(%)=(x+l)lnx-萬，xG(1,2),

則0(1)=VO,￡7(2)=31n2-^>0,

所以h(1)h(2)<0,

所以函數(shù)h(x)在(1,2)內(nèi)一定有零點，…(8分)

可得O'(%)=Inx+--2x~^f=Inx+i+1-~(X~^+1>1-->0,

'，x(e*)zxexe

.,.h(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)h(x)在(1,2)內(nèi)有且只有一個零點，

即方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)有且只有一個實根.…(12分)；

【解析】

(1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得％=1處切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程即

可得到所求值.

(2)令￡7(x)=f(%)—g(x)=(%+l)lnK—竟xe(1,2),由。⑴二一*。，0(2)=31n2-

3>0,可得函數(shù)0(%)在(1,2)內(nèi)一定有零點，進而證明O'(%)>0,可得0(%)在(1,2)上單調(diào)

遞增，即可得證.

此題主要考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，考查函數(shù)的

零點判定定理，正確求導(dǎo)是解答該題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

22.【答案】解：(I)由題意得，/(%)=。1+*+依則

aex

f⑵=3'

因為在點(2,f(2))的切線方程為y=3,所以

,廣⑵=|

2

ae+2z+b=3

即ae，解得《,,,(6分)

2

ae——ae2=-2

(II)設(shè)t=e”(tNl),則原函數(shù)化為：y=at+—at+b,

所以y/=0一吃=喘二，

Jat2at2

令y'=0,解得t=±-a,

(1)當(dāng)a》l時，則y'>0在［1,+8)上成立,

所以函數(shù)丫=at+5+b在［1,+8)上是增函數(shù)，

則當(dāng)t=l(x=0)時，函數(shù)f(x)取到最小值是a+2