高三數(shù)學(xué)-2018不等式問題的題型與方法

PAGE第10講不等式不等式這部分知識，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，對數(shù)學(xué)各部分知識融會貫通，起到了很好的促進(jìn)作用．在解決問題時，要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明．不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學(xué)數(shù)學(xué)之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。一、知識整合1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化．在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一．通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法．方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互變用．3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法，可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰．4．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點．比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)．5．證明不等式的方法多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強．在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч?，為溝通?lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到欲證的目的．6．不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數(shù)的最值時，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個條件．利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：1.審題，2.建立不等式模型，3.解數(shù)學(xué)問題，4.作答。7．通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識．二、方法技巧1.解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解，。2.解含參數(shù)不等式時，要特別注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運用。3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調(diào)整放縮的度。4．根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。三、例題分析b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．分析：讀懂并能揭示問題中的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點？解：依題可知，本題等價于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)(2)當(dāng)1≤y≤3時，所以當(dāng)y=1時，=4．簡評：題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認(rèn)清集合元素的本質(zhì)屬性，然后結(jié)合條件，揭示其數(shù)學(xué)實質(zhì)．即求集合M中的元素滿足關(guān)系式又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，①所以3≤3f(-1)≤6．②①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．簡評：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯解：2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以5≤f(-2)≤11．(2)對這類問題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會迅速提高．例6．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=x，均不相交.試證明對一切都有.分析：因為x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．證明：由題意知，a≠0．設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則又二次方程ax2+bx+c=±x無實根，故Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．簡評：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題時，如果針對題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．例7．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？解：設(shè)2001年末的汽車保有量為，以后每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛。由題意得精品推薦強力推薦值得擁有精品推薦強力推薦值得擁有精品推薦強力推薦值得擁有精品