廣東省廣州市增城2021-2022學年高考仿真模擬數學試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.命題存在實數X。，對任意實數X,使得sin（x+x（,）=-sinx恒成立；q：Va>0,f\x）=In---為奇函數,

a-x

則下列命題是真命題的是（）

A.pzqB.（「P）v（->q）c.p八Jq）D.（^p）Aq

2.已知定義在上的函數/（x）滿足/（3x）=3/（x）,且當14x43時，〃元）=1一卜一2|,則方程

/（x）="2019）的最小實根的值為（）

A.168B.249C.411D.561

22

3.已知雙曲線C:=-5=l（q>（）,b>0）的左，右焦點分別為6、居，過耳的直線/交雙曲線的右支于點P,以雙曲

a"b

線的實軸為直徑的圓與直線/相切，切點為H,若山目=3閨"I，則雙曲線C的離心率為（）

姮B.V5C.2#>D.V13

,丁

4.已知全集。=1<,集合A={x|y=lg(l-x)})

A.(1,-Hx))B.(0,1)C.(0,+oo)D.[l,+oo)

5.用數學歸納法證明則當-=-上：時，左端應在-=-的基礎上加上（）

2+2+3+“?+匚；=二^一一-

A-+1B?(匚+/)；

0?(二’+，)+(二’+2)+…+(二+廳D*(二+。'+(::+7)；

6.用電腦每次可以從區(qū)間（0,3）內自動生成一個實數，且每次生成每個實數都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個

實數，則這3個實數都小于1的概率為（）

7.2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀式在天安門廣場隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我

國的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國的日新月異.今年的閱兵方陣有一個很搶眼，他們就是院?？蒲蟹疥?他們

是由軍事科學院、國防大學、國防科技大學聯合組建.若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學校，學歷分別有學士、

碩士、博士學位.現知道：①甲不是軍事科學院的；②來自軍事科學院的不是博士；③乙不是軍事科學院的；④乙不是

博士學位；⑤國防科技大學的是研究生.則丙是來自哪個院校的，學位是什么（）

A.國防大學，研究生B.國防大學，博士

C.軍事科學院，學士D.國防科技大學，研究生

8.已知平面向量2g滿足,且則￡,石所夾的銳角為（）

兀兀萬

A.-B.-C.-D.0

643

22

9.已知雙曲線C：烏一谷=1（。>0/>0）的左、右焦點分別為￡,鳥，過匕的直線/與雙曲線C的左支交于4、

B兩點.若|4.=恒閭,血鳥=120,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=+^-xB.y=+^-xC.y=±（>^—D.>=±（V^—1）X

10.框圖與程序是解決數學問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數學模型之后，可以制作框圖，編寫程

序，得到解決，例如，為了計算一組數據的方差，設計了如圖所示的程序框圖，其中輸入百=15,々=16,￡=18,

%=20,x5=22,x6=24,x7=25,則圖中空白框中應填入（）

SS

A.i>6,S=-B.i..6S=-C.i>6,S=7SD.i..6,S=7S

77

11.已知等比數列｛4｝滿足。2=1，4=16,等差數列也｝中優(yōu)=%，S”為數列也｝的前〃項和，則$9=(

A.36B.72C.-36D.±36

12.已知4卜#,0),B(>/3,0),P為圓/+>2=1上的動點，麗=耳，過點「作與AP垂直的直線/交直線QB

于點M，若點M的橫坐標為x，則國的取值范圍是()

A.|x|>lB.|x|>lC.|%|>2D.|x|>V2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在長方體ABC。-48GA中，AB=\,AD=2,M=1,￡為BC的中點，則點A到平面的距離是

?百

x=-8+——t尤=3s?

14.在直角坐標系xOy中，直線/的參數方程為，'

a為參數)，曲線c的參數方程為r(s為

ty-2Gs

v=-

參數).

(1)求直線/和曲線C的普通方程；

(2)設P為曲線。上的動點，求點P到直線/距離的最小值及此時P點的坐標.

15.在AABC中，已知福.而+2麗?配=3畫?麗，貝！IcosC的最小值是

16.甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有兩人獲獎.在比賽結果揭曉之前，四人的猜測如下表，其中，W”表示猜

測某人獲獎，“x”表示猜測某人未獲獎，而“?！眲t表示對某人是否獲獎未發(fā)表意見.已知四個人中有且只有兩個人的猜測

是正確的，那么兩名獲獎者是.

甲獲獎乙獲獎丙獲獎丁獲獎

甲的猜測4XXq

乙的猜測XOO弋

丙的猜測X4Xq

丁的猜測OO4X

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知拋物線€':）2=2〃彳（〃>0）的焦點為產，點P（2,〃）（〃>0）在拋物線C上，|尸尸卜3,直線/過點

F,且與拋物線。交于A,B兩點.

（1）求拋物線。的方程及點P的坐標；

（2）求中.而的最大值.

18.（12分）在平面直角坐標系xOy中，以。為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為

..X——2+

0=2sine+2acose（a>0）；直線/的參數方程為二（，為參數）.直線/與曲線C分別交于M,N兩點.

y-y/2t

（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線/的普通方程；

（2）若點尸的極坐標為（2,左），+求”的值.

19.（12分）已知函數/（x）=e*（?r+l）,awR.

（1）求曲線y=/（x）在點例（。,/（0））處的切線方程；

（2）求函數“X）的單調區(qū)間；

（3）判斷函數/（X）的零點個數.

20.（12分）如圖，四棱錐P—ABC。中，底面為直角梯形，AB//CD,ZBAD=90°,AB=2CD=4,PA1CD,

在銳角△R4O中，E是邊尸。上一點，且AD=PD=3ED=3O-

（2）當21的長為何值時，AC與平面PC。所成的角為30。？

21.（12分）某生物研究小組準備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律，據統計該地區(qū)靖蜓有A,B兩種，且這兩種的個

體數量大致相等，記A種蜻蜓和8種蜻蜓的翼長（單位：〃?〃?）分別為隨機變量X,丫，其中X服從正態(tài)分布N（45,25）,

丫服從正態(tài)分布N（55,25）.

（I）從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間［45,55］的概率;

（D）記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機變量Z,若用正態(tài)分布而）來近似描述Z的分布，請你根據（I）中的結果,

求參數以0和4的值（精確到0.1）;

（m）在（H）的條件下，從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉3只，記這3只中翼長在區(qū)間［42.2,57.8］的個數為皿，求印的

分布列及數學期望（分布列寫出計算表達式即可）.

注:若X~，貝（JP（〃-0.64bWX4〃+0.64b）a0.4773,尸。4X4〃+。）“0.6827,

尸（〃-2〃4X4〃+2cr）=0.9546.

22

22.（10分）已知橢圓C：二+與=1（4＞。＞0）的長半軸長為正，點（l,e）（e為橢圓C的離心率）在橢圓c上.

a"b~

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，P為直線x=2上任一點，過點P橢圓。上點處的切線為Q4,PB,切點分別A,B,直線與直

線Q4,PB分別交于"，N兩點，點M,N的縱坐標分別為旭，〃，求加〃的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

分別判斷命題”和9的真假性，然后根據含有邏輯聯結詞命題的真假性判斷出正確選項.

【詳解】

對于命題2，由于sin（x+〃）=-sinx,所以命題2為真命題.對于命題4,由于?！?,由（士?＞。解得一。〈尤＜。,

且/(-x)=ln匕=ln土]=_]n史W=-/(x),所以/(x)是奇函數，故9為真命題.所以八夕為真命題.

a+x\a-xJa-x

(「/Ovjq)、pA.(「q)、(「p)Aq都是假命題.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查誘導公式，考查函數的奇偶性，考查含有邏輯聯結詞命題真假性的判斷，屬于基礎題.

2.C

【解析】

先確定解析式求出/(2019)的函數值，然后判斷出方程/(x)="2019)的最小實根的范圍結合此時的

f(x)=x-35,通過計算即可得到答案.

【詳解】

當xNl時，/(3x)=3/(x),所以/(乃=3嗎)=32/仔)=...=3"/號),故當

3"W3"+i時，/口，3],所以/(x)=3"(l,>2)=.3二廣"j；；，而

J|DX~~J,X</J

2()19

2019e[36,37],所以『(2019)=36(1--2)=37-2109=168.又當1W時,

/(%)的極大值為1,所以當時，/(x)的極大值為3"，設方程/。)=168

的最小實根為f,168G[34,35],貝!ke(35,"H_),即fe(243,468),此時/(x)=x—3$

2

令/(無)=x—35=168,得￡=243+168=411,所以最小實根為411.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數與方程的根的最小值問題，涉及函數極大值、函數解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是

一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.

3.A

【解析】

在APG居中，由余弦定理，得至！J|P居再利用IP耳1-1刊"=2a即可建立。，上c的方程.

【詳解】

由已知，|J耳。2—OH，=J。？_/=力,在八尸片耳中，由余弦定理，得

2

|PF21=《PF；+大號-2?耳.丹巴?COS/Pg=J4c2+9/7-2X2CX3/?X-=

府萬，又歸耳|=3|孫|=3①\PFt\-\PF2\=2a,所以3b-小行=2a，

故選：A.

【點睛】

本題考查雙曲線離心率的計算問題，處理雙曲線離心率問題的關鍵是建立a/,。三者間的關系，本題是一道中檔題.

4.D

【解析】

根據函數定義域的求解方法可分別求得集合A,B,由補集和交集定義可求得結果.

【詳解】

<A={x|l-x>0}=(-oo,l),B=(0,+oo),/.^,A=[l,+oo),

故選：D.

【點睛】

本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數定義域的求解，屬于基礎題.

5.C

【解析】

首先分析題目求用數學歸納法證明1+1+3+…一時，當n=k+l時左端應在n=k的基礎上加上的式子，可以分別

」+—

使得n=k,和n=k+l代入等式，然后把n=k+l時等式的左端減去n=k時等式的左端，即可得到答案.

【詳解】

當n=k時，等式左端=1+1+…+端,

當n=k+l時，等式左端=1+1+…+k】+ki+l+H+l+…+(k+1)*,增加了項(k,+l)+(k'+l)+(k'+3)+...+(k+1)1.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查數學歸納法，屬于中檔題./

6.C

【解析】

由幾何概型的概率計算，知每次生成一個實數小于1的概率為工，結合獨立事件發(fā)生的概率計算即可.

3

【詳解】

1/1y1

???每次生成一個實數小于1的概率為；..?.這3個實數都小于1的概率為-=—.

327

故選：C.

【點睛】

本題考查獨立事件同時發(fā)生的概率，考查學生基本的計算能力，是一道容易題.

7.C

【解析】

根據①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學位.

【詳解】

由題意①甲不是軍事科學院的，③乙不是軍事科學院的；

則丙來自軍事科學院；

由②來自軍事科學院的不是博士，則丙不是博士；

由⑤國防科技大學的是研究生，可知丙不是研究生，

故丙為學士.

綜上可知，丙來自軍事科學院，學位是學士.

故選：C.

【點睛】

本題考查了合情推理的簡單應用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎題.

8.B

【解析】

根據題意可得（0彳-5>5=0,利用向量的數量積即可求解夾角.

【詳解】

因為（缶一缶一B）Z=o

即

aba-b

而cos

\a\-\h\而二E

所以1石夾角為g

4

故選：B

【點睛】

本題考查了向量數量積求夾角，需掌握向量數量積的定義求法，屬于基礎題.

9.D

【解析】

設|伍|=〃7,利用余弦定理，結合雙曲線的定義進行求解即可.

【詳解】

設IA用=I=m,.?.忸近|=+1AK『一21?|AKI?cos120"=&,由雙曲線的定義可知：|從用=加一2a,

因此忸用=2a,再由雙曲線的定義可知：忸周-忸制=2anm=￥。，在三角形A￡6中，由余弦定理可知：

巧用2=\AFf+|整「—2|Af；HA￡|.cosl20。=c?=（5-26）/=/+從=（5-2^）a2

=從=（4一2且）/=><=（4—26）=2=G_I,因此雙曲線的漸近線方程為：

aa

y=±（6-1卜.

故選：D

【點睛】

本題考查了雙曲線的定義的應用，考查了余弦定理的應用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數學運算能力.

10.A

【解析】

依題意問題是5=|[（%]-20『+（々—20）2+…+（七一20）1，然后按直到型驗證即可.

【詳解】

根據題意為了計算7個數的方差，即輸出的S=：「（不一20）2+（々—20『+―+（/_20）2

q

觀察程序框圖可知，應填入i>6,S=-,

7

故選：A.

【點睛】

本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉化與化歸思想，屬于基礎題.

11.A

【解析】

根據小是生與4的等比中項，可求得知，再利用等差數列求和公式即可得到S9.

【詳解】

等比數列｛q｝滿足4=1，4=16,所以=±4,又％=生以2〉0,所以%=4,由等差數列的性質

可得Sg=94=9%=36.

故選：A

【點睛】

本題主要考查的是等比數列的性質，考查等差數列的求和公式，考查學生的計算能力，是中檔題.

12.A

【解析】

由題意得卜忸。|=即可得點M的軌跡為以A,B為左、右焦點，0=1的雙曲線，根據雙曲線的

性質即可得解.

【詳解】

如圖，連接OP,AM,

由題意得||M8HM=忸0|=2\0P\=2,

二點M的軌跡為以A,B為左、右焦點，。=1的雙曲線，

|x|>1.

故選:A.

【點睛】

本題考查了雙曲線定義的應用，考查了轉化化歸思想，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.男

3

【解析】

利用等體積法求解點到平面的距離

【詳解】

由題在長方體中，〃一叱=；xgx2xlxl=g,

12

AiD=y/5,DE=y/2,EAt=ylAtA+AE=73,

所以A。？=DE、\E2,所以。E，A,E,

S"DE=gx血xb=當

設點A到平面\DE的距離為h

V=—xx/z=—，解得力

AAA"DE3233

故答案為：顯

3

【點睛】

此題考查求點到平面的距離，通過在三棱錐中利用等體積法求解，關鍵在于合理變換三棱錐的頂點.

14.(1)x-Gy+8=O,y2=4x；(2)(3,2百).

【解析】

(1)利用代入消參的方法即可將兩個參數方程轉化為普通方程；

(2)利用參數方程，結合點到直線的距離公式，將問題轉化為求解二次函數最值的問題，即可求得.

【詳解】

(1)直線/的普通方程為》一百/+8=().

在曲線C的參數方程中，y2=l2s2=4x,

所以曲線C的普通方程為y2=4x.

（2）設點P（3d,2底）.

點P到直線/的距離d=l"2-6s+8|=3吧左5.

22

當s=i時，所以點p到直線/的距離的最小值為

22

此時點P的坐標為（3,26）.

【點睛】

本題考查將參數方程轉化為普通方程，以及利用參數方程求距離的最值問題，屬中檔題.

---

3

【解析】

分析：可先用向量的數量積公式將原式變形為：bccosA+2?ccosB=3abcosC,然后再結合余弦定理整理為

cr+2b1=3c1，再由cosC的余弦定理得到a,b的關系式，最后利用基本不等式求解即可.

詳解：已知AAZC+2反=與，可得bccosA+2accos3=3aZ?cosC,將角A,B,C的余弦定理代入得

221>2

/+2〃=3c2,由「a2+b2-c23a+3、亞,當a=b時取到等號，故cosC的最小值為出.

cosC=----------=-------——>—a

lablab3J

點睛：考查向量的數量積、余弦定理、基本不等式的綜合運用，能正確轉化通.前+2麗?覺=3巨?麗是解題關

鍵.屬于中檔題.

16.乙、丁

【解析】

本題首先可根據題意中的“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目分為四種情況，然后對四種情況依次進行

分析，觀察四人所猜測的結果是否沖突，最后即可得出結果.

【詳解】

從表中可知，若甲猜測正確，則乙，丙，丁猜測錯誤，與題意不符，故甲猜測錯誤；若乙猜測正確，則依題意丙猜測

無法確定正誤，丁猜測錯誤；若丙猜測正確，則丁猜測錯誤；綜上只有乙，丙猜測不矛盾，依題意乙，丙猜測是正確

的，從而得出乙，丁獲獎.

所以本題答案為乙、丁.

【點睛】

本題是一個簡單的合情推理題，能否根據“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目所給條件分為四種情況并

通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關鍵，考查推理能力，是簡單題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)y2=4x,P(2,2夜)；(2)1.

【解析】

(1)根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，可得p值，即可求拋物線C的方程從而可得解；

(2)設直線/的方程為：x+my-1=0,代入儼=4%，得，盧4加y-4=0,設4(xi,ji),B(M,戶)，則yi+y2=-

2

4m,jij2=-4,xi+x2=2+4/n,xixi=L西=(%-2,-272),PB=(必-2,y2-2\f2),由此能求出而.而

的最大值.

【詳解】

(1)丁點尸是拋物線V=2px(p>0)的焦點，P(2,jo)是拋物線上一點，|PF|=3,

?，?2+'=3,

2

解得：p=2,

，拋物線。的方程為V=4x,

??,點尸(2,〃)(n>0)在拋物線。上，

/.n2=4x2=8,

由〃>0,得〃=20,：.P(2,272).

(2)VF(1,0),J設直線，的方程為:x+mj-l=0,

代入了2=4X,整理得，j2+4/nj-4=0

設A(xi,Jl),B(孫，32),

則yi,丁2是y2+4/wy-4=0的兩個不同實根，

?**ji+j2=-4m,y-2=-4,

xi+xi=(1-znji)+(1-myi)=2-/〃(J1+J2)=2+4〃/,

xiX2=(1-my\)(1-myi)=1-m(ji+j2)+m2jiy2=l+4/n2-4m2=l,

PA=(X]-2,y-PB=(“2-2,%-25/5),

PAPB=(xi-2)(X2-2)+(y-2及)(y「2叵)

=xiX2-2(X1+X2)+4+丁]%一2四(y+%)+8

=1-4-8/w2+4-4+8-y2機+8

=-8/n2+85/2，〃+5

B

=-8(m-旺)2+l.

2

.?.當機=注時，中.而取最大值1.

2

【點睛】

本題考查拋物線方程的求法，考查向量的數量積的最大值的求法，考查拋物線、直線方程、韋達定理等基礎知識，考

查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題.

18.(1)(x—a)-+(y—1)-=/+1,x—y+2=0；(2)2.

【解析】

(1)由p=2sin。+2acos。得夕2=22sin。+2apcos。，求出曲線C的直角坐標方程.由直線I的參數方程消去參

數/,即求直線/的普通方程；

x=-2+—t'

2

(2)將直線/的參數方程化為標準式廠(，為參數)，代入曲線。的直角坐標方程，韋達定理得

，一憶，

2

t^+t2,t；t2,點P在直線/上，貝111PM+|叩=力|+回，即可求出a的值.

【詳解】

(1)由p=2sin6+2acos?？傻胮2=2/?sin6+2apeos。，

即12+y2=2y+2ax,即(x—a):+(y—ij=a2+1,

???曲線C的直角坐標方程為(x—a)?+(y—I)?=/+1,

x—2+yp2.t

由直線/的參數方程〈「a為參數)，消去，得x-y+2=o,

.y=42t

即直線/的普通方程為x-y+2=o.

(II)點尸的直角坐標為。(一2,0),則點尸在直線/上.

x=-2+—t'

2

將直線I的參數方程化為標準式(，為參數)，代入曲線。的直角坐標方程，整理得

及

y=——t

2

廣-(3A/5+￡+4Q+4=0,

???直線/與曲線。交于M,N兩點，

.?.△=(3夜+&a『一4(4a+4)>0,即(a—l)?>O,：.a^i.

設息M,N所對應的參數分別為t\,t\,

由韋達定理可得￡?+i2=3j5+/v，2=4a+4,

?/a>0,t\+12>0,t\t2>0,t\>0,12>0.

???點尸在直線/上，|+1=>；|+,2'l=t；+72=3&+3a=58,

:.a=2.

【點睛】

本題考查參數方程、極坐標方程和普通方程的互化及應用，屬于中檔題.

19.(1)(a+l)x-y+l=0(2)答案見解析(3)答案見解析

【解析】

(1)設曲線y=/(x)在點/(0,7(0))處的切線的斜率為Z,可求得左=/'(0)=。+1,/(0)=1,利用直線的點斜式

方程即可求得答案；

(2)由(I)知，f'M=e\ax+a+l),分a=0時，a>0,a<0三類討論，即可求得各種情況下的f(x)的單調區(qū)

間為；

(3)分。=0與a兩類討論，即可判斷函數/0)的零點個數.

【詳解】

(1)Qf(x)=e*(ar+1),

f'(x)=e\ax+1)+aex=ex(ax+a+1),

設曲線y=/(x)在點M(O,f(0))處的切線的斜率為我,

貝!1%=/'(0)=e*(ax+1)+aex=ea(a+1)="+1,

又/(0)=l，

，曲線y=/(x)在點M(0，f(0))處的切線方程為：y-l=(a+l)x,即(a+l)x-y+l=0；

(2)由(1)知，r(x)=e*(ar+a+I),

故當a=0時，r(x)=">0,所以.f(x)在R上單調遞增;

當a>()時，x€(-oo,-空3,f'(x)<0；xe(-^^,+℃),f'(x)>0；

aa

???/(X)的遞減區(qū)間為(—，-膽)，遞增區(qū)間為(-3，+oo);

aa

當。<0時，同理可得〃x)的遞增區(qū)間為(7,-@巴)，遞減區(qū)間為(-@里，+8);

aa

綜上所述，。=0時，/(X)單調遞增為(-8,+8),無遞減區(qū)間；

當。>0時，f(X)的遞減區(qū)間為(3,一空3,遞增區(qū)間為(-9口，+<?)；

aa

當a<0時，f(x)的遞增區(qū)間為(f,-四)，遞減區(qū)間為(-回，+8)；

aa

(3)當。=0時，/(無)=e*>0恒成立，所以/(x)無零點；

當時，由f(x)=ex(ax+\)=0,得：x=---,只有一個零點.

a

【點睛】

本題考查利用導數研究曲線上某點的切線方程，利用導數研究函數的單調性，考查分類討論思想與推理、運算能力,

屬于中檔題.

20.(1)證明見解析；(2)當帖="時，AC與平面PCD所成的角為30。.

【解析】

(1)連接交AC于。，由相似三角形可得段=：,結合生=：得出OE//P3,故而依//平面ACE；

OB2EP2

(2)過A作4尸_1_尸￡>,可證AF_L平面PCD,根據NACE=30計算AE,得出NAD/的大小，再計算R4的長.

【詳解】

(1)證明：連接8。交AC于點O,連接OE,

DOCDIDE

QCD//AB,

：.OEHPB

又「OEu平面ACE,P8a平面4CE,

平面ACE.

(2)-.-CD±AD,CD1PA,ADr^PA^A

\CZ)A平面PAD

作AF_LP￡>,尸為垂足，連接CF

平面引O,AFu平面RID

：.CD±AF,有AF工PD,CDp[PD=D,：.CF上平面PCD

ZACF就是AC與平面PCD所成的角，.?.ZACF=30°,

AC^y/AD2+CD2=V22?AF=-^，

sinZADF=—=-，cosZADF=71-sin2ZADF=-

AD66

PA2=AD2+DP2-2AD-DPcosZADP=6，PA=y/6

PA=指時，AC與平面PC。所成的角為30。.

【點睛】

本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與線面角的計算，屬于中檔題.

21.(I)0.4773；(H)〃。=50.0,4”7.8；(DI)詳見解析.

【解析】

(I)由題知這只蜻蜓是A種還是8種的可能性是相等的，所以

尸(45<Z<55)=1xP(45<X<55)+^x尸(454y455),代入數值運算即可；

(II)可判斷均值應為為=絲產=50.0,再結合(1)和題干備注信息可得45=4-0.644,55=4+0.64%,進而

求解；

(皿)求得P(42.24T457.8)=P(〃一(r4T4〃+b)=0.6827,該分布符合二項分布，故卬~8(3,0.6827),列出分布列,

計算出對應概率，結合E(W)=〃p即可求解:

【詳解】

(I)記這只蜻蜓的翼長為人

因為A種蜻蜓和8種蜻蜓的個體數量大致相等，所以這只蜻蜓是A種還是8種的可能性是相等的.

所以P（45</<55）=^xP（45<X<55）+^xP（45<X<55）

=1xP（45<X<45+2x5）+|xP（55-2x5<y<55）

10.954610.9546八

=-x------+-x------=0.4773.

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