河北邢臺一中2024屆高一數(shù)學第二學期期末達標測試試題含解析

河北邢臺一中2024屆高一數(shù)學第二學期期末達標測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則等于()A． B． C． D．2．已知集合，對于滿足集合A的所有實數(shù)t，使不等式恒成立的x的取值范圍為A． B．C． D．3．已知，若關(guān)于x的不等式的解集為，則（）A． B． C．1 D．74．過正方形的頂點，作平面，若，則平面和平面所成的銳二面角的大小是A． B．C． D．5．若三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，且三棱錐的體積為，則球的體積為()A． B． C． D．6．矩形中，，若在該矩形內(nèi)隨機投一點，那么使得的面積不大于3的概率是（）A． B． C． D．7．下列表達式正確的是（）①，②若，則③若，則④若，則A．①② B．②③ C．①③ D．③④8．把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人,則事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是()A．對立事件B．互斥但不對立事件C．不可能事件D．必然事件9．在棱長為2的正方體中，是內(nèi)（不含邊界）的一個動點，若，則線段的長的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知實數(shù)滿足且，則下列關(guān)系中一定正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知三個事件A，B，C兩兩互斥且，則P(A∪B∪C)=__________.12．數(shù)列滿足：（且為常數(shù)），，當時，則數(shù)列的前項的和為________.13．函數(shù)，的值域是_____．14．（如下圖）在正方形中，為邊中點，若，則__________．15．給出以下四個結(jié)論：①過點，在兩軸上的截距相等的直線方程是；②若是等差數(shù)列的前n項和，則；③在中，若，則是等腰三角形；④已知，，且，則的最大值是2.其中正確的結(jié)論是________（寫出所有正確結(jié)論的番號）.16．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝7，S6＝63，則an＝_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列an滿足an+1=2an（1）求證:數(shù)列bn（2）求數(shù)列an的前n項和為S18．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，，.（1）若，求△ABC的周長；（2）若CD為AB邊上的中線，且，求△ABC的面積.19．如圖，三棱柱，底面，且為正三角形，，，為中點．（1）求證：直線平面；（2）求二面角的大小．20．在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個面積為的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排寬的綠化，綠化造價為200元/，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價為100元/.設(shè)矩形的長為.（1）設(shè)總造價（元）表示為長度的函數(shù)；（2）當取何值時，總造價最低，并求出最低總造價.21．在四棱錐中，，．（1）若點為的中點，求證：平面；（2）當平面平面時，求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由題意變形，運用余弦定理，可得cosB，再由同角的平方關(guān)系，可得所求值．【題目詳解】2b2﹣2a2＝ac+2c2，可得a2+c2﹣b2ac，則cosB，可得B＜π，即有sinB．故選A．【題目點撥】本題考查余弦定理的運用，考查同角的平方關(guān)系，以及運算能力，屬于中檔題．2、B【解題分析】

由條件求出t的范圍，不等式變形為恒成立，即不等式恒成立，再由不等式的左邊兩個因式同為正或同為負處理．【題目詳解】由得，，

不等式恒成立，即不等式恒成立，即不等式恒成立，

只需或恒成立，

只需或恒成立，

只需或即可．

故選：B．【題目點撥】本題考查了一元二次不等式的解法問題，難度較大，充分利用恒成立的思想解題是關(guān)鍵．3、B【解題分析】

由韋達定理列方程求出，即可得解．【題目詳解】由已知及韋達定理可得，，，即，，所以．故選：．【題目點撥】本題考查一元二次方程和一元二次不等式的關(guān)系、韋達定理的應(yīng)用等，屬于一般基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】法一：建立如圖(1)所示的空間直角坐標系，不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為＝，故所求的二面角的大小是45°.法二：將其補成正方體．如圖(2)，不難發(fā)現(xiàn)平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小為45°.5、A【解題分析】

由的體積計算得高，已知將三棱錐的外接球，轉(zhuǎn)化為長2，寬2，高的長方體的外接球，求出半徑，可得答案．【題目詳解】∵，，故三棱錐的底面面積為，由平面，得，又三棱錐的體積為，得，所以三棱錐的外接球，相當于長2，寬2，高的長方體的外接球，故球半徑，得，故外接球的體積.故選：A．【題目點撥】本題考查了三棱錐外接球的體積，三棱錐體積公式的應(yīng)用，根據(jù)已知計算出球的半徑是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．6、C【解題分析】

先求出的點的軌跡（一條直線），然后由面積公式可知時點所在區(qū)域，計算其面積，利用幾何概型概率公式計算概率．【題目詳解】設(shè)到的距離為，，則，如圖，設(shè)，則點在矩形內(nèi)，，，∴所求概率為．故選C．【題目點撥】本題考查幾何概型概率．解題關(guān)鍵是確定符合條件點所在區(qū)域及其面積．7、D【解題分析】

根據(jù)基本不等式、不等式的性質(zhì)即可【題目詳解】對于①，.當，即時取，而，.即①不成立。對于②若，則，若，顯然不成立。對于③若，則，則正確。對于④若，則，則，正確。所以選擇D【題目點撥】本題主要考查了基本不等式以及不等式的性質(zhì)，基本不等式一定要滿足一正二定三相等。屬于中等題。8、B【解題分析】試題分析：把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，但除了事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”還有“丙分得紅牌”，所以這兩者不是對立事件，答案為B.考點：互斥與對立事件.9、C【解題分析】

先判斷是正四面體，可得正四面體的棱長為，則的最大值為的長，的最小值是到平面的距離，結(jié)合不在三角形的邊上，計算可得結(jié)果.【題目詳解】由正方體的性質(zhì)可知，是正四面體，且正四面體的棱長為，在內(nèi)，的最大值為，的最小值是到平面的距離，設(shè)在平面的射影為,則為正三角形的中心，，，的最小值為，又因為不在三角形的邊上，所以的范圍是，故選C.【題目點撥】本題主要考查正方體的性質(zhì)及立體幾何求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義以及平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將立體幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.10、D【解題分析】

由已知得，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【題目詳解】由且，，由得,A錯；由得，B錯；由于可能為0，C錯；由已知得，則，D正確．故選：D.【題目點撥】本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)是解題關(guān)鍵，特別是性質(zhì)：不等式兩同乘以一個正數(shù)，不等號方向不變，不等式兩邊同乘以一個負數(shù)，不等號方向改變．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0.9【解題分析】

先計算，再計算【題目詳解】故答案為0.9【題目點撥】本題考查了互斥事件的概率計算，屬于基礎(chǔ)題型.12、【解題分析】

直接利用分組法和分類討論思想求出數(shù)列的和.【題目詳解】數(shù)列滿足：（且為常數(shù)），，當時，則，所以（常數(shù)），故，所以數(shù)列的前項為首項為，公差為的等差數(shù)列.從項開始，由于，所以奇數(shù)項為、偶數(shù)項為，所以，故答案為：【題目點撥】本題考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，同時也考查了分類討論的思想，屬于中檔題.13、【解題分析】

首先根據(jù)的范圍求出的范圍，從而求出值域?！绢}目詳解】當時，，由于反余弦函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，且所以值域為故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)值域的求法：首先求出內(nèi)函數(shù)的值域再求外函數(shù)的值域。屬于基礎(chǔ)題。14、【解題分析】∵，根據(jù)向量加法的三角形法則，得到∴λ=1，．則λ+μ=．故答案為．點睛：此題考查的是向量的基本定理及其分解，由條件知道，題目中要用和，來表示未知向量，故題目中要通過正方形的邊長和它特殊的直角，來做基底，表示出要求的向量，根據(jù)平面向量基本定理，系數(shù)具有惟一性，得到結(jié)果．15、②④【解題分析】

①中滿足題意的直線還有，②中根據(jù)等差數(shù)列前項和的特點，得到，③中根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系進行化簡計算，從而進行判斷，④中根據(jù)基本不等式進行判斷.【題目詳解】①中過點，在兩軸上的截距相等的直線還可以過原點，即兩軸上的截距都為，即直線，所以錯誤；②中是等差數(shù)列的前n項和，根據(jù)等差數(shù)列前項和的特點，，是一個不含常數(shù)項的二次式，從而得到，即，所以正確；③中在中，若，則可得，所以可得或，所以可得或，從而得到為直角三角形或等腰三角形，所以錯誤；④中因為，，且，由基本不等式，得到，所以，當且僅當，即時，等號成立.所以，即的最大值是，所以正確.故答案為：②④【題目點撥】本題考查截距相等的直線的特點，等差數(shù)列前項和的特點，判斷三角形形狀，基本不等式求積的最大值，屬于中檔題.16、【解題分析】

利用等比數(shù)列的前n項和公式列出方程組，求出首項與公比，由此能求出該數(shù)列的通項公式．【題目詳解】由題意，,不合題意舍去；當?shù)缺葦?shù)列的前n項和為，即，解得，所以，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)S【解題分析】

（1）計算得到bn+1bn（2）根據(jù)（1）知an【題目詳解】(1)因為bn+1b所以數(shù)列bn(2)因為bn=aSn【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的證明，分組求和，意在考查學生的計算能力和對于數(shù)列方法的靈活運用.18、（1）（2）【解題分析】

（1）由正弦定理可得，再結(jié)合余弦定理可得，再求邊長即可得解；（2）由余弦定理可得，再利用三角形面積公式求解即可.【題目詳解】解：（1）因為，所以，即，即，即，即,又，則，則，又，則，即，即△ABC的周長為；（2）因為，，在中，由余弦定理可得：，則，即，即,所以.【題目點撥】本題考查了正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，重點考查了三角形的面積公式，屬中檔題.19、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】

（1）連交于，連，則點為中點，為中點，得，即可證明結(jié)論；（1）為正三角形，為中點，可得，再由底面，得底面，得，可證平面，有，為的平面角，解，即可求出結(jié)論.【題目詳解】（1）連交于，連，三棱柱，側(cè)面為平行四邊形，所以點為中點，為中點，所以，因為平面，平面，所以直線平面；（2）為正三角形，為中點，可得，三棱柱，所以，底面，所以底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，為的平面角，在中，，，所以，所以二面角的大小為.【題目點撥】本題考查線面平行的證明，用幾何法求二面角的平面角，做出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.20、（1），（2）當時，總造價最低為元【解題分析】

（1）根據(jù)題意得矩形的長為，則矩形的寬為，中間區(qū)域的長為，寬為列出函數(shù)即可．（2）根據(jù)（1）的結(jié)果利用基本不等式即可．【題目詳解】（1）由矩形的長為，則矩形的寬為，則中間區(qū)域的長為，寬為，則定義域為則整理得，（2）當且僅當時取等號，即所以當時，總造價最低為元【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的表示方法，以及基本不等式的應(yīng)用．在利用基本不等式時保證一正二定三相等，屬于中等題．21、（1）見解析；（2）.【解題分析】

(I)結(jié)合平面與平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,結(jié)合平面與平面性質(zhì),證明結(jié)論.(II)建立空間坐標系,分別計算平面PCD和平面PDB的法向量,結(jié)合向量數(shù)量積公式,計算余弦值,即可.【題目詳解】(Ⅰ)取的中點為，