高中數(shù)學(xué)《冪函數(shù)》導(dǎo)學(xué)案

第：百,本初等;函數(shù)（【）

DIERZHANG2.3事函數(shù)

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.幕函數(shù)的定義

魚一般地，函數(shù)y=P叫做叫函數(shù)，其中％是自變量，a是常數(shù).

2.幕函數(shù)y=K與指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)（?！?,且aWl）的區(qū)別

事函數(shù)IZy=K的底數(shù)為自變量，指數(shù)是常數(shù);指數(shù)函數(shù)正好相

反,指數(shù)函數(shù)叵b=爐中，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量.

3.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出基函數(shù)y=x,y=f,y=%3,丁

=%錯(cuò)誤!，的圖象（如圖）.

它們的性質(zhì)如下表.

2I—1

哥函數(shù)y=^y=^),=X3y=z亍

因(一8,0)U

定義域ZR⑹R田[0,+8)

(0,+oo)

」｛yly￡R

值域[9]R[T51]0,+8)血R圜[0,+8)

且

X

哥函數(shù)y=^y=x2產(chǎn)工亍,=]一】

回非奇

奇偶性以奇同一園奇「奇

非偶

?-￡[0.固]共(0,

單調(diào)性gif，oc)增；團(tuán)增國(guó)增+8)減;

■zG(-8,01減■ZG(-8,0)減

定點(diǎn)(1,1)

自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)函數(shù)y=V+2是幕函數(shù).()

(2)幕函數(shù)的圖象必過(guò)(0,0)和(1,1)這兩點(diǎn).()

(3)指數(shù)函數(shù)曠=爐(“>0,且“W1)的定義域?yàn)镽,與底數(shù)。無(wú)關(guān),

塞函數(shù)的定義域?yàn)镽,與指數(shù)也無(wú)關(guān).()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

(1)若是幕函數(shù)，則機(jī)=.

(2)(教材改編P79T。已知幕函數(shù)八》=犬的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,8),則八一

2)=---------

(3)若)=6^是塞函數(shù)，則該函數(shù)的值域是.

答案(1)1(2)-8(3)(—8,+oo)

卜課堂互動(dòng)探究

『釋疑解難』

(1)暴函數(shù)的圖象大致分為下表中的幾類:

函數(shù)了=彳°定義域值域圖象

—2R[0.48)

丁一73

?>1

_3

?V—彳RR

r

函數(shù)了=7。定義域值域圖象

y="百RR

0<a<l

1[0,-8)[0,-8)

y

函數(shù)y=jra定義域值域圖象

y

尸—{]LzWO}

0X

了=］一十(0,+8)(0,+8)V

a<00X

、y

—2

尸彳{.zzWO)(0,+8)2

LX

0

(2)幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別

名稱

式子

常數(shù)JC

指數(shù)函數(shù)了=aa為底數(shù)，a>0,且aKl指數(shù)氟值

幕函數(shù)y=jcaa為指數(shù).aGR底數(shù)氟值

探究1基函數(shù)的定義

例1(1)在函數(shù)①y=n②y=%2,③y=21④y=l,⑤》=2/,

⑥y=x錯(cuò)誤!中，是幕函數(shù)的是()

A.①②④⑤B.③④⑥

C.①②⑥D(zhuǎn).①②④⑤⑥

2

（2）已知幕函數(shù)y=Q"一加-1）W-2“-3,求此事函數(shù)的解析式，并

指出其定義域.

解析（1）嘉函數(shù)是形如y=K（a為常數(shù)）的函數(shù)，①是a=-1的

情形，②是a=2的情形，⑥是a=一義的情形，所以①②⑥都是嘉函

數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是黑函數(shù)；⑤中的系數(shù)是2,所以不是募函

數(shù)；④是常函數(shù)，不是嘉函數(shù).所以只有①②⑥是嘉函數(shù).

2

（2）'.'y=（m2—m—l）yn~2m~3為基函數(shù)，

/.m2—m—1=1,解得m=2或機(jī)=—1.

當(dāng)m=2時(shí)，一2/徨-3=—3,貝|y=%3,且有%/（）；

故機(jī)=—1時(shí)，m2—2m—3=0,則y=x°,且有無(wú)#0.

故所求塞函數(shù)的解析式為y=x-3或＞=%。，它們的定義域都是

{%戶0}.

答案（1）C（2）見(jiàn)解析

拓展提升

判斷函數(shù)是幕函數(shù)的依據(jù)

判斷一個(gè)函數(shù)是否為黑函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=K（a為常

數(shù)）的形式，即滿足：（1）指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為L(zhǎng)

【跟蹤訓(xùn)練1]⑴在函數(shù)y=2，y=2%2,y=x2-\-x,y=l中，

基函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

（2）已知y=（M+2加—2）x錯(cuò)誤!+2”一3是塞函數(shù)，求加，〃的值.

答案（1）B（2）見(jiàn)解析

解析(l)；y=%=/2,所以是嘉函數(shù)；y=2%2由于出現(xiàn)系數(shù)2,

因此不是嘉函數(shù)；丫=9+%是兩項(xiàng)和的形式，不是嘉函數(shù)；從y=l=

%。(%#0)可以看出，常函數(shù)y=l的圖象比基函數(shù)y=%。的圖象多了一

個(gè)點(diǎn)(0,1),所以常函數(shù)y=l不是寡函數(shù).

：，+2機(jī)一2=1,[m=-3,

解得｛_3

(2)由題意得＜小2-1W0,

n

2n—3=0,[~r

所以m=-3,n=2-

探究2塞函數(shù)的圖象及應(yīng)用

例2塞函數(shù)y=%2,y=x~x,y=%錯(cuò)誤!，y=x錯(cuò)誤!在第一象限內(nèi)

的圖象依次是圖中的曲線()

A.。2,C1,。3,。4

B.Ci>C3,Q,C4

C.C3，Cl,C1,C4

D.Ci,。4,Q,。3

解析由于在第一象限內(nèi)直線％=1的右側(cè)，嘉函數(shù)y=y的圖象

從上到下相應(yīng)的指數(shù)a由大變小，即福函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)直線工

=1右側(cè)的“高低”關(guān)系是“指大圖高”，故嘉函數(shù)y=%2在第一象

限內(nèi)的圖象為G,在第一象限內(nèi)的圖象為。4,y=x錯(cuò)誤!在第一

象限內(nèi)的圖象為。2,y=x錯(cuò)誤!在第一象限內(nèi)的圖象為C3.

答案D

拓展提升

事函數(shù)圖象的特征

(1)在第一象限內(nèi)，直線％=1的右側(cè)，各得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的指數(shù)

逆時(shí)針增大；在第一象限內(nèi)，直線％=1的左側(cè)，指數(shù)也呈逆時(shí)針增

大.

(2)嘉函數(shù)y=f,若a>0,在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增；若a<0,

在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減.

(3)圖象的凹凸性：在第一象限內(nèi)，當(dāng)0<a<l,曲線上凸；當(dāng)a>l,

曲線下凹；當(dāng)a<0,曲線下凹.

【跟蹤訓(xùn)練2】(1)如圖是幕函數(shù)與在第一象限內(nèi)

的圖象，貝1]()

B.H<—l,O<m<l

C.—1<7?<0>m>l

D.n<—1,m>\

(2)已知函數(shù)y=x錯(cuò)誤!.

①求其定義域；

②判斷其奇偶性；

③已知該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，試補(bǔ)全圖象，并由

圖象確定單調(diào)區(qū)間.

答案(1)B(2)見(jiàn)解析

解析(1)在(0,1)內(nèi)?。,作直線1=祀，與各圖象有交點(diǎn)，則“點(diǎn)

低指數(shù)大”.如圖所示，0<m<l,n<—1.

(2)①7=4=編，定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.

②設(shè)y=/U)，因?yàn)榘艘?)=’(一助2=虹=/(%),且定義域關(guān)于坐

2

標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)是偶函數(shù).

③因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則作出它在第一象限的圖象關(guān)于y軸的對(duì)

稱圖象，即得函數(shù)y=x錯(cuò)誤!的圖象，如圖所示.

根據(jù)圖象易知，函數(shù)錯(cuò)誤!在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，在區(qū)

間(一8,0］上是減函數(shù).

探究3幕函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

例3比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

(1)2.3錯(cuò)誤！，2.4錯(cuò)誤！；

(2)(啦)錯(cuò)誤！，(錯(cuò)誤!)錯(cuò)誤??；

(3)(—0.31)錯(cuò)誤！，0.35錯(cuò)誤!.

解(l)：y=x錯(cuò)誤!為［0,+8)上的增函數(shù)，且2.3<2.4,

二.2.3錯(cuò)誤!<2.4錯(cuò)誤!.

(2):)=*錯(cuò)誤!為(0,+8)上的減函數(shù)，且錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!，

二.(6)錯(cuò)誤!〉(錯(cuò)誤!)錯(cuò)誤!.

(3)：y=x錯(cuò)誤!為R上的偶函數(shù)，.*.(-0.31)錯(cuò)誤！=0.31錯(cuò)誤!.

又函數(shù)錯(cuò)誤!為［0,+8)上的增函數(shù)，且0.31<0.35,

「.0.31錯(cuò)誤!<0.35錯(cuò)誤！，即(一0.31)錯(cuò)誤!<0.35錯(cuò)誤!.

拓展提升

比較大小的方法

比較易值的大小，關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)：

(1)若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮嘉函數(shù)；

(2)若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；

(3)若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮借助中間量，這個(gè)中間量的底數(shù)

與所比較數(shù)的一個(gè)底數(shù)相同，指數(shù)與另一個(gè)數(shù)的指數(shù)相同，那么這個(gè)

數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間，進(jìn)而比較大小.

【跟蹤訓(xùn)練3】比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

⑴眇與即5；

(2)—3.143與一兀3.

23

解⑴?.,>=正在［0,+8)上是增函數(shù)且不>；,

?二眇即

(2):丁=如是R上的增函數(shù)，且3.14<兀，

/.3.143<TI3,「.一3.143>—7t3.

例4若(3—2根)錯(cuò)誤!>0+1)錯(cuò)誤!，求實(shí)數(shù)"2的取值范圍.

解因?yàn)閥=x錯(cuò)誤!在定義域［0,+8)上是增函數(shù)，

3—2m^0,

2

所以j120,解得一1

,3—2m>m+1,

故實(shí)數(shù)加的取值范圍為［—1,|).

拓展提升

利用幕函數(shù)解不等式的步驟

利用募函數(shù)解不等式，實(shí)質(zhì)是已知兩個(gè)函數(shù)值的大小，判斷自變

量的大小，常與嘉函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題.求解步驟如下：

(1)確定可以利用的信函數(shù)；

(2)借助相應(yīng)的易函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自

變量的大小關(guān)系；

(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用.

【跟蹤訓(xùn)練4】已知幕函數(shù)了=(病+加-5)廿2Per,當(dāng)工￡(0,

+8)時(shí)，y隨X的增大而減小，求此事函數(shù)的解析式.

解,.,>=(=+m-5)/2是嘉函數(shù)，

m2+m—5=1,即(加-2)(m+3)=0,

'.m=2或m=—3.

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，2加一3=-3,y=%3是嘉函數(shù)，且滿足當(dāng)

(0,+8)時(shí)，y隨％的增大而減?。?/p>

當(dāng)/篦=—3時(shí)，m2—2m—3=12,>=%修是得函數(shù)，但不滿足當(dāng)％

￡(0,+8)時(shí)，y隨％的增大而減小，故舍去.

.,.y=%-3(%wo).

I既裳提加

簡(jiǎn)單鬲函數(shù)的性質(zhì)

(1)所有幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義，且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1).

(2)如果a>0,幕函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，在［0,+8)上有意義，且是

增函數(shù).

(3)如果a<0,幕函數(shù)在％=0處無(wú)意義，在(0,十8)上是減函

數(shù).

(4)在(1,+8)上，隨基指數(shù)的增大，圖象逐漸靠上.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.下列函數(shù)是塞函數(shù)的是()

A.y=5xB.y=^

C.y=5xD.y=(x+l)3

答案B

解析函數(shù))=5、是指數(shù)函數(shù)，不是嘉函數(shù)；函數(shù)y=5%是正比

例函數(shù)，不是零函數(shù)；函數(shù)y=(x+l)3的底數(shù)不是自變量％,故不是

黑函數(shù)；函數(shù)丁=^是寡函數(shù).

2.設(shè).=2。3,b=302,c=7。1,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<h<cD.c<h<a

答案A

解析?=203=8°-1,=30-2=9°-1,c=7°-1,由嘉函數(shù)y=/」在(0,

+8)上單調(diào)遞增，可知c<a<0.

3.函數(shù)y=x錯(cuò)誤!的圖象大致是圖中的()

答案B

解析...函數(shù)y=x錯(cuò)誤!是奇函數(shù)，且。=錯(cuò)誤!>1,...函數(shù)圖象為

B.

4.已知幕函數(shù)/(%)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),則/3=-

答案乎

解析設(shè)募函數(shù)為y=K(a為常數(shù)).

...函數(shù)式幻的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),.*.2=4%

/.a=1,.7/U)=X錯(cuò)誤!，，描誤!=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.

5.已知幕函數(shù)y=Tm-9(m￡N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在區(qū)間

(0,+8)上是減函數(shù)，求八%)的解析式.

解I.寨函數(shù))=戶"一9在(0,+8)上是減函數(shù)，

/.3m—9<0,即wi<3.

又.\m=l,2.

又)=好”一9的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即該函數(shù)是偶函數(shù)，

.,.3加一9是偶數(shù)..,.m=1.

:?八%)=/6(%*0).

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.下列命題中正確的是()

A.當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的圖象是一條直線

B.塞函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)（0,0）,（1,1）兩點(diǎn)

C.若塞函數(shù)）=K的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則曠=非在定義域上是

增函數(shù)

D.幕函數(shù)的圖象不可能在第四象限

答案D

解析當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閧4xW0,x￡R},其圖

象為兩條射線，故A不正確；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)）=犬的圖象不過(guò)（0,0）

點(diǎn)，故B不正確；得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但其在定義

域內(nèi)不是增函數(shù)，故C不正確；當(dāng)了>0,a￡R時(shí)，y=K>0,則嘉函

數(shù)的圖象都不在第四象限，故D正確.

2.下列函數(shù)在（一8,0）上為減函數(shù)的是（）

A.y=x錯(cuò)誤！B.y=%2c.曠=如D.y=x2

答案B

解析,:A,C項(xiàng)在（-8,0）上為增函數(shù)；D項(xiàng)中曠=%一2=%在

（—8,0）上也是增函數(shù)，故選B.

3.設(shè)。=仔|錯(cuò)誤!，6=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，C=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，則。，h,C的大

小關(guān)系是（）

A.a>h>cB.c>a>b

C.a<b<cD.b>c>a

答案C

解析?函數(shù)在R上是減函數(shù)，又|>|,

..[I]錯(cuò)誤!（錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，即a<b.又...函數(shù)y=%錯(cuò)誤!在R上是增函數(shù)，

32⑶

且，仁）錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！，即。>乩：.a<b<c.

4.若嘉函數(shù)曠=（病+3根+3）/2⑵廠3的圖象不過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，則（）

A.m=~2B.m=-\

C.m=—2或機(jī)=—1D.-—1

答案A

解析根據(jù)箱函數(shù)的概念，得/+3m+3=1,解得機(jī)=—1或

加=-2.若加=-1,則y=/4,其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不符合

題意，舍去；若根=—2,則>=%一3,其圖象不過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱.

5.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和y=ox—：的圖象可能是

解析當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)1是減函數(shù)，且在y軸上的截距

—!>0,y=d在(0,+8)上是減函數(shù)，「.A,D兩項(xiàng)均不正確.對(duì)于

B,C兩項(xiàng)，若a>0則y=ox—：是增函數(shù)，B項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確，故

選C.

二'填空題

2

6.若黑函數(shù)y=(〃z2—m一1).支"-2機(jī)-1在(0,十8)上是增函數(shù)，則

答案T

解析由嘉函數(shù)的定義可知，"於一加一1=1,解得機(jī)=—1或機(jī)

=2,當(dāng)m=-1時(shí)，)=/,在(0,+8)上是增函數(shù)，符合題意；當(dāng)

機(jī)=2時(shí)，在(0,+8)上是減函數(shù)，不符合題意，所以m=一

1.

7.塞函數(shù)y=/i在［-4,一2］上的最小值為.

答案二

解析1在(-8,0)上單調(diào)遞減，...y=x?在［―4,—2］

上遞減，在［―4,—2］上的最小值是一宗

8.已知幕函數(shù)錯(cuò)誤!，若勺(10—2”)，則Q的取值范

圍是.

答案(3,5)

解析