高中數(shù)學(xué)選修2-3《2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差》測試卷解析版

高中數(shù)學(xué)選修2-3《2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差》測試卷

解析版

一.解答題(共50小題)

1.某校高一年級模仿《中國詩詞大會》節(jié)目舉辦學(xué)校詩詞大會，進(jìn)入正賽的條件為：電腦

隨機(jī)抽取10首古詩，參賽者能夠正確背誦6首及以上的進(jìn)入正賽.若學(xué)生甲參賽，他背

誦每一首古詩的正確的概率均為上.

2

(1)求甲進(jìn)入正賽的概率；

(2)若進(jìn)入正賽，則采用積分淘汰制，規(guī)則是：電腦隨機(jī)抽取4首古詩，每首古詩背誦

正確加2分，錯誤減1分.由于難度增加，甲背誦每首古詩正確的概率為2,求甲在正

5

賽中積分X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.

【分析】(1)甲進(jìn)入正賽，即甲答對的題目數(shù)為6,7,8,9或者10道，分別根據(jù)二項(xiàng)

分布的相關(guān)公式計(jì)算概率相加即可；

(2)列出正賽中X的所有可能的取值，分別計(jì)算概率，列出分布列計(jì)算期望即可.

【解答】解：(1)甲進(jìn)入正賽的概率為P=

1010

C?oX(1)+c]0(1)叫C；oX(1)+c?0X4叫叫X吊1。=/嚴(yán)

(「6+r7+p8+p9+p10)=J.

L10L10u10u10L10512

所以甲進(jìn)入正賽的概率為期；

512

(2)甲的積分X的可能的取值為8分，5分，2分，-1分，-4分，

4

則P(X=8)=rV心)4=16,p(x=5)=「3心)33=_52，p(X=2)=

F15，6251八5)5625

。涌)2/)2=黑，

P(X=-1)=c：xN祗)」謹(jǐn),P(X=-4)=c：X隹)4=裝，

所以X的概率分布列為：

X852-1-4

P1696216216811

625625625625625

所以E(X)=8X16+5X-92+2X212-216-4*一雙=生

6256256256256255

第1頁共54頁

所以甲在正賽中積分X的數(shù)學(xué)期望為匹.

5

【點(diǎn)評】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，考查分析和解決

問題的能力，是中檔題.

2.現(xiàn)有一款智能學(xué)習(xí)APP,學(xué)習(xí)內(nèi)容包含文章學(xué)習(xí)和視頻學(xué)習(xí)兩類，且這兩類學(xué)習(xí)互不影

響.已知該APP積分規(guī)則如下：每閱讀一篇文章積1分，每日上限積5分；觀看視頻累

計(jì)3分鐘積2分，每日上限積6分.經(jīng)過抽樣統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，文章學(xué)習(xí)積分的概率分布表如

表1所示，視頻學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表2所示.

表1

文章學(xué)習(xí)積分12345

概率工2工工

g?-90

表2

視頻學(xué)習(xí)積分246

概率_1

-3

（1）現(xiàn)隨機(jī)抽取1人了解學(xué)習(xí)情況，求其每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率；

（2）現(xiàn)隨機(jī)抽取3人了解學(xué)習(xí)情況，設(shè)積分不低于9分的人數(shù)為"求E的概率分布及

數(shù)學(xué)期望.

【分析】（1）直接利用已知條件求出概率.

所以概率吟吟得吟卷方《

所以每日學(xué)習(xí)積分不低于（9分）的概率為至，

9

（2）由題意可知，隨機(jī)變量§的所有可能取值為0,1,2,3.

由（1）知每個人積分不低于（9分）的概率為5.

9

第2頁共54頁

則p（E=o）=*）3=_^；

p（曰）=4盧）.《）2=四=里;

3^9）%，729243

P（H）=C鴻）峙嗡嗡;

i=3）借尸子爵

所以，隨機(jī)變量S的概率分布列為

0123

P6480100125

729243243729

64

所以E（S）=o?.+1,241300125^5

7297297297293

所以，隨機(jī)變量W的數(shù)學(xué)期望為”.

3

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：概率的應(yīng)用，數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能

力和轉(zhuǎn)換能力及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.

3.一個盒子中裝有大小相同的2個白球、3個紅球，現(xiàn)從中先后有放回地任取球兩次，每

次取一個球，看完后放回盒中.

（1）求兩次取得的球顏色相同的概率;

（2）若在2個白球上都標(biāo)上數(shù)字1,3個紅球上都標(biāo)上數(shù)字2,記兩次取得的球上數(shù)字之

和為X,求X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）.

【分析】（1）每次取得白球的概率為2,取得紅球的概率為3,根據(jù)相互獨(dú)立事件的積

55

事件的概率乘法公式求解即可；

（2）隨機(jī)變量X的所有可能的取值分別為2,3,4,分別求出對應(yīng)的概率，列出分布列

求期望即可.

【解答】解：（1）依題意，每次取球，取得紅球的概率為3,取得白球的概率為2,

55

所以兩次取得的球顏色相同的概率尸=2x-+-x-=—：

555525

（2）根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的所有可能的求值分別為2,3,4,

且尸（x=2）=2><2=_￡,p（x=3）=「1x2x3=21,p（x=4）=3'旦=

55252552555

9

25

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所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X234

P4129

252525

所以E(X)=2X-L+3X￡+3X_L=3.

252525

【點(diǎn)評】本題考查了古典概型的概率，離散型隨機(jī)變量的概率分布列，主要考查分析解

決問題的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

4.2020年6月，第十六屆歐洲杯足球賽將在12個國家的13座城市舉行.某體育網(wǎng)站組織

球迷對德國、西班牙、法國、葡萄牙四支熱門球隊(duì)進(jìn)行競猜，每位球迷可從四支球隊(duì)中

選出一支球隊(duì)，現(xiàn)有三人參與競猜.

(1)若三人中每個人可以選擇任何一支球隊(duì)，且選擇每個球隊(duì)都是等可能的，求四支球

隊(duì)中恰好有兩支球隊(duì)有人選擇的概率；

(2)若三人中有一名女球迷，假設(shè)女球迷選擇德國隊(duì)的概率為工，男球迷選擇德國隊(duì)的

3

概率為2,記x為三人中選擇德國隊(duì)的人數(shù)，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.

5

C2c2

【分析】(1)由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式可知滿足題意的概率值為p二三生二..

(2)由題知f=0,1,2,3,計(jì)算相應(yīng)的概率值可得p(g=o)=且，p(&=i)=ai,

2525

p(&=2)=-匕，p(^=3)=—＞據(jù)此得到相應(yīng)的分布列，計(jì)算其數(shù)學(xué)期望為E(G)=&.

157515

【解答】解：(1)設(shè)恰好有兩支球隊(duì)被人選擇為事件A,

由于三人等可能的選擇四支球隊(duì)中的任意一支，有43種不同選擇，

每種選擇可能性相等，故恰好有兩支球隊(duì)被人選擇有種不同選擇，

所以2口)=上產(chǎn)=生?

4316

(2)由題知彳=0,1,2,3,

且p(&=0)x(卷

P(&=l)=yx(f)24XC2XfXf=^8__11

25~25

P(=2)=1XC2xf44)2=^-^

-15'P(&⑻飛X()-

第4頁共54頁

的分布列為:

0123

p61144

25251575

，E(g)=0*++1乂圣+2乂魯+3乂嚏於

N3N31L510X0

【點(diǎn)評】本題主要考查古典概型概率公式，離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等知識,

意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力，是中檔題.

5.某射擊小組有甲、乙、丙三名射手，己知甲擊中目標(biāo)的概率是旦，甲、丙二人都沒有擊

4

中目標(biāo)的概率是工，乙、丙二人都擊中目標(biāo)的概率是上.甲乙丙是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立.

124

(1)求乙、丙二人各自擊中目標(biāo)的概率；

(2)設(shè)乙、丙二人中擊中目標(biāo)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【分析】(1)設(shè)甲、乙、丙擊中目標(biāo)分別記為事件A,B,C,貝P(A)=與，且

4

P(A)P(C)=-j

-,由此能求出乙、丙二人各自擊中目標(biāo)的概率.

P(B)P(C)q

(2)由題意X的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和

E(X).

【解答】解：(1)設(shè)甲、乙、丙擊中目標(biāo)分別記為事件4,B,C,

則P(4)=2,

4

/P(—A)P—(C)1E((143-)[l-P(C)]^1y

且有｛,叫，

P(B)P(C)-1P(B)P(C)-1

解得p(B)=3,pco=2.

83

二.乙擊中目標(biāo)的概率為3,丙擊中目標(biāo)的概率為2.

83

(2)由題意X的可能取值為0,1,2,

P(X=2)=X

4

P(X=0)=P(B)P(C)=—X—=—>

8324

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P(X=l)=1-P(X=0)-P(X=2)=耳

24

.?.X的分布列為：

X012

P513_1

24247

【點(diǎn)評】本題考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查對立事件概

率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

6.為了豐富學(xué)生的課余生活，某校決定在每周的同一時間開設(shè)舞蹈、美術(shù)、聲樂、棋類四

門校本活動課程，甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門校本活動課程中隨機(jī)選一門進(jìn)行學(xué)

習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一課程都是等可能的.

(1)求甲、乙、丙三人均不選擇舞蹈課程的概率

(2)設(shè)X為甲、乙、丙三人中選擇舞蹈課程的人數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X).

【分析】(1)利用相互對立與相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出甲、乙、丙三人均

不選擇舞蹈課程的概率P.

(2)由題意可得：X=0,1,2,3.利用互斥事件的概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件的概

率計(jì)算公式即可得出分布列、數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(1)甲、乙、丙三人均不選擇舞蹈課程的概率P=/)3=符.

(2)由題意可得：X=0,1,2,3.

P(X=0)P(X=1)=riXAxAx—=-^->P(X=2)=p2xAxAxA=

643444643444

2,P(X=3)=23=工.

6464

.?.x的概率分布列:

X0123

P(X)272791

64646464

.?.數(shù)學(xué)期望E(X)=ox2±+1X.2L+2XA.+3XJL=-3.

646464644

【點(diǎn)評】本題考查了互斥事件、相互獨(dú)立與對立事件的概率計(jì)算公式、分布列與數(shù)學(xué)期

望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

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7.袋中裝有9只球，其中標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的小球各2個，標(biāo)數(shù)字5的小球有1個，從

袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等，用W表示取出的3個小球上的最

大數(shù)字.

（1）求取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率;

（2）求隨機(jī)變量己的分布列和期望.

【分析】（1）一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A,利用古典概型概率

公式求解即可.

（2）.由題意可知孑所有可能的取值為：2,3,4,5；求出概率，得到分布列，然后求

解期望.

【解答】解：（1）.一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A

則N為一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同,

rlrl

v9

（2）.由題意可知?所有可能的取值為：2,3,4,5；

C豺;+C；C：41

P(&=2)=

C98421

方以+C；以164

P(&=3)=

8421

C6C2+C6C2363

P(&=4)=,

C9847

2

^￡r128.1,

nP(=5)=c3=84=3

的分布列為：

g2345

P143,1

五五73

則E（&）=2X《+3X言+4X曰+5X《第

答：隨機(jī)變量t的期望是費(fèi).

【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的

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能力.

8.某同學(xué)理科成績優(yōu)異，今年參加了數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物4門學(xué)科競賽.已知該同學(xué)

數(shù)學(xué)獲一等獎的概率為2,物理，化學(xué)，生物獲一等獎的概率都是工，且四門學(xué)科是否

32

獲一等獎相互獨(dú)立.

（1）求該同學(xué)至多有一門學(xué)科獲得一等獎的概率;

（2）用隨機(jī)變量X表示該同學(xué)獲得一等獎的總數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（X）.

【分析】（1）該同學(xué)至多有一門學(xué)科獲得一等獎是指四門學(xué)科均沒有獲得一等獎或四六

學(xué)科中恰有一門獲得一等獎，由此能求出該同學(xué)至多有一門學(xué)科獲得一等獎的概率.

（2）用隨機(jī)變量X表示該同學(xué)獲得一等獎的總數(shù)，則X的可能取值為0,1,2,3,4,

分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

【解答】解：（1）該同學(xué)至多有一門學(xué)科獲得一等獎是指:

四門學(xué)科均沒有獲得一等獎或四六學(xué)科中恰有一門獲得一等獎,

,該同學(xué)至多有一門學(xué)科獲得一等獎的概率:

p=（i-Z）（i-A）（i-A）（i-A）+2.（i-A）（i-A）（i-A）+3義工x（i-2）

3222322223

(1-1)(1-1)=1.

224

（2）用隨機(jī)變量X表示該同學(xué)獲得一等獎的總數(shù)，則X的可能取值為0,1,2,3,4,

=(i-2)(i-A）（i-l）（i-

P(X=0)2)=24)

322

=fx(ix(i4)+3x(i-f)x4x(iT)x(T)=

P(X=l)X(

/J//Ct

5

24

P(X=2)=3xgx5x(1X(1-5)+(1X《x!x(1-5)]=上

322322224

P(X=3)=3X^X(l-!)X《Xq+(1欄)X《X!x5=二，

32，22322224

21112

P(X=4)=-=-X-=-X-=-X==令’

322224

?,?X的概率分布列為:

X01234

p15972

2424242424

數(shù)學(xué)期望E(X)=QX^+1X^+2XA+3X^+4XA=^

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【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查

二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

9.某物理老師準(zhǔn)備從3道經(jīng)典題和5道原創(chuàng)題中隨機(jī)選擇4道題組成一份物理競賽試卷.

(1)求該試卷至少有1道經(jīng)典題的概率；

(2)根據(jù)以往對試卷的評價分析，經(jīng)典題評價指數(shù)一般為a(a為常數(shù))，原創(chuàng)題評價指

數(shù)一般為24.試卷的評價指數(shù)為每道題的評價指數(shù)之和，求這份物理競賽試卷評價指數(shù)

的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

【分析】(1)設(shè)“至少有1道經(jīng)典題”為事件A,則事件A的對立事件仄為“隨機(jī)選擇4

道題中沒有經(jīng)典題”，利用對立事件概率計(jì)算公式能求出該試卷至少有1道經(jīng)典題的概率.

(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示這份物理競賽試卷評價指數(shù)，x表示選用經(jīng)典題的條數(shù)，則x的

所有可能取值為0,1,2,3,依題意X=ax+2a(4-x)=8a-“x,故X的可能取值為

8a,la,6a,5a,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E(X).

【解答】解：(1)設(shè)“至少有1道經(jīng)典題”為事件4,

則事件A的對立事件可為“隨機(jī)選擇4道題中沒有經(jīng)典題”，

則P(A)-P(A)=1-上=11.

C414

該試卷至少有1道經(jīng)典題的概率為」S.

14

(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示這份物理競賽試卷評價指數(shù)，

x表示選用經(jīng)典題的條數(shù)，則x的所有可能取值為0,1,2,3,

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X8。7a6a5a

P1_33_1

五7714

E(X)=8aX-^-+7aX-1"+6aX"|"+5aX

14771414

【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查

對立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

10.已知集合4={1,2,3,4}和集合B={1,2,3,???,”},其中心5,"CN*.從集合A

中任取三個不同的元素，其中最小的元素用S表示；從集合8中任取三個不同的元素，

其中最大的元素用7表示.記X=7-S.

(1)當(dāng)〃=5時，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望￡(X)；

(2)求P(X=〃一3).

【分析】(1)計(jì)算X的取值對應(yīng)的S和T的取值，利用組合數(shù)公式計(jì)算概率，得出分布

列和數(shù)學(xué)期望；

(2)利用組合數(shù)公式計(jì)算概率.

【解答】解：(1)S的可能取值為1,2,T的可能取值為3,4,5；

則X的可能取值為1,2,3,4,

P(X=l)=C-?±=J_,P(X=2)=與?-1+-!?烏=_j_,

C：C540c：C5C4C520

r2r2r2r2r2

P(X=3)=—|-?—1-=A,P(X=4)=—|>?一!"=*_,

「3,3'3「2g「3「320

v4v5v4Jv5

X的分布列為:

X1234

P1339

4020京20

E(X)-1XA+2X_S_+3XS.+4X_5_=

4208204

(2)S的可能取值為1,2,T的取值可能為3,4,5,……，n,

.?.當(dāng)X=〃-3時，5=1,T=n-2,或S=2,T=n-1.

222

：.P(X=n-3)/_3+工.C吁=3心一：3)(211—).

C：C：C4C：2n(n-l)(n-2)

【點(diǎn)評】第一問考察了隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解問題，計(jì)算概率時需考慮全

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面；第二問和第一問方法上類似，注意分析清楚兩種情況，利用組合的方法列出公式求

解，展開組合公式計(jì)算得出結(jié)果，總體難度適中.

11.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)入新華書店購買數(shù)學(xué)課外閱讀書籍，經(jīng)過篩選后，他們都對4,B,

C三種書籍有購買意向.己知甲同學(xué)購買書籍4,B,C的概率分別為3,1,1,乙同

423

學(xué)購買書箱A,B,C的概率分別為2,1,1,假設(shè)甲、乙是否購買A,B,C三種書

322

箱相互獨(dú)立.

（1）求甲同學(xué)購買3種書箱的概率：

（2）設(shè)甲、乙同學(xué)購買2種書箱的人數(shù)為X,求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，容易計(jì)算甲同學(xué)購買3種書箱的概率;

（2）分別計(jì)算甲、乙同學(xué)購買2種書籍的概率為“，P2,可得pi=p2,所以X?8（2,

巨），求出分布列，期望即可.

12

【解答】解：（1）記“甲同學(xué)購買3種書籍”為A,則P（A）=lX-X-=--

4238

答:甲同學(xué)購買3種書籍的概率為工；

8

（2）設(shè)甲、乙同學(xué)購買2種書籍的概率為pi，p2,

則m/吟X"H吟吟+"/乂1=5

312

211911115

P2==x4X-=-+■=-x4Xx4X

32232232212

所以Pi=P2，所以X?3(2,A)

12

2

coXX-

P(X=0)249P(X=l)=「1X—p

1441212

(X=2)X2X(―)。=-^-

“人"2)<12，144

所以X的分布列為:

X012

p497025

144144144

E（X）=0*49+1義一（。_+2><_2」._=a,

1441441446

答所求數(shù)學(xué)期望為

6

【點(diǎn)評】本題考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查了二項(xiàng)分布，考查離散型隨機(jī)

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變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，考查分析解決問題的能力，屬于中檔題.

12.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級如表:

質(zhì)量指標(biāo)值加25WmV3515WmV25或35WmOV"7〈15或45WmV

<4565

等級一等品二等品三等品

某企業(yè)從生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測其質(zhì)量指標(biāo)值，得到右

圖的率分布直方圖.（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（1）該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，開展了質(zhì)量提升月”活動，活動后再抽樣

檢測，產(chǎn)品三等品數(shù)y近似滿足y?a（io,15,loo）,請測算“質(zhì)量提升月”活動后這

種產(chǎn)品的“二等品率“（一、二等品其占全部產(chǎn)品百分比）較活動前提高多少個百分點(diǎn)？

（2）若企業(yè)每件一等品售價180元，每件二等品售價150元，每件三等品售價120元，

以樣本中的頻率代替相應(yīng)概率，現(xiàn)有一名聯(lián)客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X

（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【分析】（1）求出樣本中一等品和二等品在樣本中所占比例為80%,得到100件產(chǎn)品中

三等品為15件，推出一、二等品率增加了5個百分點(diǎn).

（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為240,270,300,330,360.求出概率，得到分布列，

然后求解期望即可.

【解答】解：（1）根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)知，樣本中一等品和二等品共有：（0.5+0.18+0.12）

X100=80（件）

在樣本中所占比例為80%,

活動后產(chǎn)品三等品數(shù)y近似滿足y?“（io,15,100）,

所以100件產(chǎn)品中三等品為15件，一、二等品數(shù)為100-15=85（件）合格率為85%,

所以一、二等品率增加了5個百分點(diǎn).

（2）由樣品估計(jì)總體知，該企業(yè)隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品為一等品的概率為工，二等品的概率

2

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為丑_,三等品的概率為上，

105

隨機(jī)變量X的所有可能取值為240,270,300,330,360.

P(X=240)=44凄，

I313

P(X=270)=C；x/X亳承，

乙1U3

x

P(X=300)=CJxfx-14^W

P(X=330)=C；x/x今哈.

P(X=360)=yX^=^>

所以X的分布列為：

X240270300330360

P(X)132931

2525looIo24

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=240X上+270X2+300X-^-+330X義+360X4=318?

N31UU1U4

【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，是基本知識的考查.

13.某大學(xué)綜合評價面試測試中，共設(shè)置兩類考題：A類題有4個不同的小題，B類題有3

個不同的小題.某考生從中任抽取3個不同的小題解答.

（1）求該考生至少抽取到2個A類題的概率；

（2）設(shè)所抽取的3個小題中B類題的個數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與均值.

【分析】（1）利用古典概率與互斥事件概率計(jì)算公式即可得出.

（2）設(shè)所抽取的3個小題中8類題的個數(shù)為X,則X的取值為0,1,2,3.利用超幾

何分布列計(jì)算公式即可得出.

C2c1+c3

【解答】解：（1）該考生至少抽取到2個A類題的概率尸=一

C；35

（2）設(shè)所抽取的3個小題中8類題的個數(shù)為X,則X的取值為0,1,2,3.

C3C2p1p1p2

空=型，P(X=2)=嶺=絲，P(X

p(x=o)=T=_L,p(x=i)=—

C；35,35,35

=3)=—^=J_,

C；35

,隨機(jī)變量x的分布列為：

第13頁共54頁

X0123

P418121

35353535

均值￡X=OX_L+1X_1§.+2X.11+3XJ^=J..

353535357

【點(diǎn)評】本題考查了古典概率與互斥事件概率計(jì)算公式、超幾何分布列計(jì)算公式及其數(shù)

學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

14.盒子中放有大小形狀完全相同的10個球，其中4個紅球，6個白球.

（1）某人從這盒子中有放回地隨機(jī)抽取3個球，求至少抽到1個紅球的概率；

（2）某人從這盒子中不放回地隨機(jī)抽取3個球，記每抽到1個紅球得紅包獎勵20元，

每抽到1個白球得紅包獎勵10元，求該人所得獎勵彳的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【分析】（1）記至少抽到1個紅球的事件為A,

法1：至少抽到1個紅球的事件，分為三種情況，即抽到1個紅球，抽到2個紅球和抽到

3個紅球，利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率乘法求解即可；

法2：至少抽到1個紅球的事件的對立事件為3次均沒有取到紅球（或3次均取到白球）,

利用對立事件概率公式求解即可.

（2）由題意，隨機(jī)變量？可能的取值為30,40,50,60,求出概率得到分布列，然后求

解期望.

【解答】解：（1）記至少抽到1個紅球的事件為A,

法1：至少抽到1個紅球的事件，分為三種情況，即抽到1個紅球，抽到2個紅球和抽到

3個紅球，每次是否取得紅球是相互獨(dú)立的，且每次取到紅球的概率均為2,

5

所以P⑷=嗎q）電2+c辭）2*卷+曰（看）3=攝；

答：至少抽到1個紅球的概率為里，

125

法2：至少抽到1個紅球的事件的對立事件為3次均沒有取到紅球（或3次均取到白球）,

每次取到紅球的概率均為2（每次取到白球的概率均為3）,

55

所以P（A）=1-竟聲）3=里-；

35125

答：至少抽到1個紅球的概率為里.

125

（2）由題意，隨機(jī)變量孑可能的取值為30,40,50,60,

第14頁共54頁

1

P（己=30）=-\P（t=40）

C36

^10

1

-

p（e=6o）

30

所以隨機(jī)變量t的分布表為:

30405060

P31

0~2Io30

所以隨機(jī)變量《的數(shù)學(xué)期望為優(yōu)=30X』+40xJL+50Xa+60X2=42（元）

621030

【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用，考

查計(jì)算能力.

15.一輛汽車前往目的地需要經(jīng)過4個有紅綠燈的路口.汽車在每個路口遇到綠燈的概率為

3（可以正常通過），遇到紅燈的概率為工（必須停車）.假設(shè)汽車只有遇到紅燈或到達(dá)

44

目的地才停止前進(jìn)，用隨機(jī)變量t表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對

值.

（1）求汽車在第3個路口首次停車的概率；

（2）求孑的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

【分析】（D汽車在第3個路口首次停車是指汽車在前兩個路口都遇到綠燈，在第3個

路口遇到綠燈，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出汽車在第3個路口首次停車

的概率.

（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為X,則X?8（4,3）,用隨機(jī)變量？表示前往目的

4

地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對值.1的可能取值為0,2,4,P（彳=0）=P（X

=2）=-^,P聶=2）=P（X=l）+P（X=3）P（S=4）=P（X=4）+P

256256

（x=o）=B_,由此能求出1的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E（S）.

256

【解答】解：（1）汽車在第3個路口首次停車是指汽車在前兩個路口都遇到綠燈，在第3

個路口遇到綠燈，

...汽車在第3個路口首次停車的概率為：

第15頁共54頁

(2)設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為X,則X?B(4,3),

4

用隨機(jī)變量W表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對值.

則E的可能取值為0,2,4,

P(?=0)=尸(X=2)=c2產(chǎn)中『懸，

P9=2)=P(X=l)+P(X=3)

=c：q)(?+c渭尸.)=瑞

P(W=4)=P(X=4)+P(X=0)=(g)4+(A)4=.82L,

44256

...2的概率分布列為：

024

P5412082

256256256

數(shù)學(xué)期望E=QX-^-+2X-^^-+4X-^-=—■

u256'256"25632

【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查

相互獨(dú)立事件概率乘法公式、二項(xiàng)分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔

題.

16.已知某盒子中共有6個小球，編號為1號至6號，其中有3個紅球、2個黃球和1個綠

球，這些球除顏色和編號外完全相同.

(1)若從盒中一次隨機(jī)取出3個球，求取出的3個球中恰有2個顏色相同的概率；

(2)若從盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取4次，求恰有3次取到黃球的概率：

(3)若從盒中逐一取球，每次取后不放回，記取完黃球所需次數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的

分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

【分析】(1)分同紅色和同黃色兩類；

(2)4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)生3次；

(3)古典概型概率公式可得.

C2c1+C2cl

【解答】解(1)取出的3個球中恰有2個顏色相同的概率P=332&=迫；

020

(2)若從盒中逐一取球，每次取后立即放回，則取得黃球的概率為2=工

63

則恰有3次取到黃球的概率尸=C3X(1)3(1-1)=