小學(xué)奧數(shù)專題28-不規(guī)則圖形面積計(jì)算

不規(guī)那么圖形面積計(jì)算〔1〕我們?cè)?jīng)學(xué)過的三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形，一般稱為根本圖形或規(guī)那么圖形.我們的面積及周長都有相應(yīng)的公式直接計(jì)算.如下表：實(shí)際問題中，有些圖形不是以根本圖形的形狀出現(xiàn)，而是由一些根本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長無法應(yīng)用公式直接計(jì)算.一般我們稱這樣的圖形為不規(guī)那么圖形。那么，不規(guī)那么圖形的面積及周長怎樣去計(jì)算呢？我們可以針對(duì)這些圖形通過實(shí)施割補(bǔ)、剪拼等方法將它們轉(zhuǎn)化為根本圖形的和、差關(guān)系，問題就能解決了。一、例題與方法指導(dǎo)例1 如右圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10厘米和12厘米.求陰影局部的面積。思路導(dǎo)航：陰影局部的面積等于甲、乙兩個(gè)正方形面積之和減去三個(gè)“空白〞三角形〔△ABG、△BDE、△EFG〕的面積之和。例2 如右圖，正方形ABCD的邊長為6厘米，△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積.思路導(dǎo)航：∵△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，∴四邊形AECF的面積與△ABE、△ADF的面積都等于正方形ABCD的。在△ABE中，因?yàn)锳B=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面積為2×2÷2=2。所以S△AEF=S四邊形AECF-S△ECF=12-2=10〔平方厘米〕。BC例3 BC思路導(dǎo)航：在等腰直角三角形ABC中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴陰影局部面積=S△ABG-S△BEF=25-8=17〔平方厘米〕。 例4 如右圖，A為△CDE的DE邊上中點(diǎn)，BC=CD，假設(shè)△ABC〔陰影局部〕面積為5平方厘米.求△ABD及△ACE的面積.思路導(dǎo)航：取BD中點(diǎn)F，連結(jié)AF.因?yàn)椤鰽DF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它們的面積相等，都等于5平方厘米.∴△ACD的面積等于15平方厘米，△ABD的面積等于10平方厘米。又由于△ACE與△ACD等底、等高，所以△ACE的面積是15平方厘米。二、穩(wěn)固訓(xùn)練 1. 如右圖，在正方形ABCD中，三角形ABE的面積是8平方厘米，它是三角形DEC的面積的，求正方形ABCD的面積。解：過E作BC的垂線交AD于F。在矩形ABEF中AE是對(duì)角線，所以S△ABE=S△AEF=8.在矩形CDFE中DE是對(duì)角線，所以S△ECD=S△EDF。D 2. 如右圖，：S△ABC=1，AE=ED,BD=BC.求陰影局部的面積。D解：連結(jié)DF。∵AE=ED，∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED 3. 如右圖，正方形ABCD的邊長是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的長DG為5厘米，求它的寬DE等于多少厘米？解：連結(jié)AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4〔AD上的高〕.∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，∴S△AGD=AH×DG÷2，∴AH=8×2÷5=3.2〔厘米〕，∴DE=3.2〔厘米〕。 4. 如右圖，梯形ABCD的面積是45平方米，高6米，△AED的面積是5平方米，BC=10米，求陰影局部面積.解：∵梯形面積=〔上底+下底〕×高÷2即45=〔AD+BC〕×6÷2，45=〔AD+10〕×6÷2，∴AD=45×2÷6-10=5米?！唷鰽DE的高是2米。EBC的高等于梯形的高減去△ADE的高，即6-2=4米， 5. 如右圖，四邊形ABCD和DEFG都是平行四邊形，證明它們的面積相等.證明：連結(jié)CE，ABCD的面積等于△CDE面積的2倍，而DEFG的面積也是△CDE面積的2倍?！郃BCD的面積與DEFG的面積相等。不規(guī)那么圖形面積計(jì)算〔2〕不規(guī)那么圖形的另外一種情況，就是由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長方形等規(guī)那么圖形組合而成的，這是一類更為復(fù)雜的不規(guī)那么圖形，為了計(jì)算它的面積，常常要變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睢⑵囱a(bǔ)、旋轉(zhuǎn)等手段使之轉(zhuǎn)化為規(guī)那么圖形的和、差關(guān)系，同時(shí)還常要和“容斥原理〞〔即：集合A與集合B之間有：SA∪B＝SA＋Sb-SA∩B〕合并使用才能解決。例題與方法指導(dǎo)例1 . 如右圖，在一個(gè)正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個(gè)半圓.求陰影局部的面積。解法1：把上圖靠下邊的半圓換成〔面積與它相等〕右邊的半圓，得到右圖.這時(shí)，右圖中陰影局部與不含陰影局部的大小形狀完全一樣，因此它們的面積相等.所以上圖中陰影局部的面積等于正方形面積的一半。解法2：將上半個(gè)“弧邊三角形〞從中間切開，分別補(bǔ)貼在下半圓的上側(cè)邊上，如右圖所示.陰影局部的面積是正方形面積的一半。解法3：將下面的半圓從中間切開，分別貼補(bǔ)在上面弧邊三角形的兩側(cè)，如右圖所示.陰影局部的面積是正方形的一半.例2. 如右圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓，求陰影局部面積。解：由容斥原理S陰影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD例3 如右圖，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半徑AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求陰影局部的面積。例4. 如右圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB＝20厘米，如果陰影〔Ⅰ〕的面積比陰影〔Ⅱ〕的面積大7平方厘米，求BC長。分析陰影〔Ⅰ〕比陰影〔Ⅱ〕的面積大7平方厘米，就是半圓面積比三角形ABC面積大7平方厘米；又知半圓直徑AB＝20厘米，可以求出圓面積.半圓面積減去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面積，進(jìn)而求出三角形的底BC的長.穩(wěn)固訓(xùn)練 1. 如右圖，兩個(gè)正方形邊長分別是10厘米和6厘米，求陰影局部的面積。分析陰影局部的面積，等于底為16、高為6的直角三角形面積與圖中〔I〕的面積之差。而〔I〕的面積等于邊長為6的正方形的面積減去以6為半徑的圓的面積。2. 如右圖，將直徑AB為3的半圓繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)AB到達(dá)AC的位置，求陰影局部的面積〔取π=3〕.解：整個(gè)陰影局部被線段CD分為Ⅰ和Ⅱ兩局部，以AB為直徑的半圓被弦AD分成兩局部，設(shè)其中AD右側(cè)的局部面積為S，由于弓形AD是兩個(gè)半圓的公共局部，去掉AD弓形后，兩個(gè)半圓的剩余局部面積相等.即Ⅱ=S，由于： 3. 如右圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰